שאלות פתוחות: מעבר בסיס - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על מעבר בסיס בלוגריתמים לכיתה י"ב (4 יחידות). בשאלות מבטאים לוגריתמים בבסיסים שונים בעזרת a ו-b נתונים, פותרים משוואות שבהן מופיעים לוגריתמים בבסיס 2 ו-4 או 3 ו-9, ומחשבים ביטוי בשרשרת של שלושה מספרים שהלוגריתמים ביניהם ידועים. יש גם משוואה עם מכפלת לוגריתמים שהנעלם נמצא באחד הבסיסים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. בוחרים שאלות לבוחן או לדף עבודה, מקבלים פתרונות מלאים ומייצאים לוורד.

8 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מעבר בסיסשאלה קצרה · קלה

נתון log⁡23=a\log_2 3=alog2​3=a ו-log⁡35=b\log_3 5=blog3​5=b.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את log⁡1520\log_{15}20log15​20.

שאלה 2 · מעבר בסיסשאלה קצרה · בינונית

נתון כי log⁡23=a\log_2 3=alog2​3=a ו-log⁡25=b\log_2 5=blog2​5=b.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את log⁡1512\log_{15}12log15​12.

שאלה 3 · מעבר בסיסשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה log⁡x4⋅log⁡2(x2−3x)=2\log_x4\cdot\log_2\left(x^2-3x\right)=2logx​4⋅log2​(x2−3x)=2.

פתרו את המשוואה.

שאלה 4 · מעבר בסיסשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה log⁡9x=2log⁡32\log_9 x=2\log_3 2log9​x=2log3​2.

פתרו את המשוואה.

שאלה 5 · מעבר בסיסשאלה קצרה · בינונית

המספרים a,b,ca,b,ca,b,c גדולים מ-111 ומקיימים log⁡ab=32\log_a b=\frac32loga​b=23​ ו-log⁡bc=43\log_b c=\frac43logb​c=34​.

חשבו את log⁡c(ab)\log_c\left(a\sqrt b\right)logc​(ab​).

שאלה 6 · מכפלת לוגריתמים בשרשרתשאלת ביניים · קשה

בשאלה זו aaa, bbb, ccc הם מספרים חיוביים ושונים מ-111.

א.

הוכיחו כי log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b\cdot\log_b c=\log_a cloga​b⋅logb​c=loga​c.

ב.

חשבו בלי מחשבון את ערך המכפלה log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋅log⁡67⋅log⁡78\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 6\cdot\log_6 7\cdot\log_7 8log2​3⋅log3​4⋅log4​5⋅log5​6⋅log6​7⋅log7​8.

ג.

nnn הוא מספר טבעי, n≥3n\ge3n≥3. ידוע כי log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅…⋅log⁡n(n+1)=5\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\ldots\cdot\log_n(n+1)=5log2​3⋅log3​4⋅log4​5⋅…⋅logn​(n+1)=5 (בכל גורם הבסיס גדול ב-111 מהבסיס של הגורם הקודם, והגורם האחרון הוא log⁡n(n+1)\log_n(n+1)logn​(n+1)). מצאו את nnn.

שאלה 7 · משוואה עם לוגריתמים בבסיסים 2 ו-4שאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה log⁡2x+log⁡4x=6\log_2 x+\log_4 x=6log2​x+log4​x=6.

פתרו את המשוואה.

שאלה 8 · הבעת לוגריתמים בעזרת log₆2שאלת ביניים · בינונית

נתון כי log⁡62=m\log_6 2=mlog6​2=m.

א.

הביעו באמצעות mmm את log⁡63\log_6 3log6​3.

ב.

הביעו באמצעות mmm את log⁡23\log_2 3log2​3.

ג.

הביעו באמצעות mmm את log⁡324\log_3 24log3​24.