דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: לוגריתם של חזקה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על לוגריתם של חזקה לכיתה י"ב, 4 יחידות. התלמידים בודקים לאילו ערכים מתקיים שוויון שמוציא חזקה מתוך הלוגריתם, פותרים מערכת של שתי משוואות עם חזקות של x ו-y, מחשבים ביטוי עם מקדם לפני הלוגריתם, ומשתמשים בערך המקורב של לוגריתם 2 כדי לקבוע כמה ספרות יש למספר גדול. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. סמנו את השאלות שמתאימות לכיתה, ותקבלו דף עבודה או מבחן עם פתרון מלא שאפשר לערוך בוורד.

20 שאלותקלה: 4בינונית: 14קשה: 2

שאלה 1 · לוגריתם של חזקהשאלה קצרה · קלה

נתון השוויון log⁡(x2)−log⁡((x−1)2)=2log⁡xx−1\log\left(x^{2}\right)-\log\left((x-1)^{2}\right)=2\log\frac{x}{x-1}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של כל אחד משני האגפים.

ב.

מצאו את כל ערכי xx שעבורם השוויון מתקיים.

שאלה 2 · לוגריתם של חזקהשאלה קצרה · בינונית

המספרים החיוביים xx ו-yy מקיימים x3y=210x^3y=2^{10} וגם xy3=26xy^3=2^6.

א.

מצאו את המכפלה xyxy.

ב.

מצאו את xx ואת yy.

שאלה 3 · לוגריתם של חזקהשאלה קצרה · קשה

המספרים החיוביים xx ו-yy מקיימים log⁡2(x−y)=1+12(log⁡2x+log⁡2y)\log_2(x-y)=1+\frac12\left(\log_2x+\log_2y\right).

מצאו את היחס xy\frac{x}{y}.

שאלה 4 · לוגריתם של חזקהשאלה קצרה · קלה

נתון כי log⁡2≈0.301\log 2\approx0.301 (לוגריתם לפי בסיס 1010).

חשבו בלי מחשבון ערך מקורב של log⁡125\log 125.

שאלה 5 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aex−5f(x)=e^{2x}-ae^x-5, aa הוא פרמטר.

א.

ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=ln⁡2x=\ln2. חשבו את aa.

הציבו את הערך של aa שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:

ב.
(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)?

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

(4)

לפונקציה f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית אחת. רשמו את משוואתה.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5. על סמך הסעיפים הקודמים ענו:

ג.
(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם הצירים.

(3)

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g(x)g(x) ובין הצירים.

שאלה 6 · מספר הספרות של חזקה גדולה בעזרת לוגריתםשאלת ביניים · קשה

נתון כי log⁡2≈0.301\log 2\approx0.301 (לוגריתם לפי בסיס 1010).

למספר שלם חיובי NN יש nn ספרות בדיוק כאשר 10n−1≤N<10n10^{n-1}\le N<10^n (למשל, 102≤365<10310^2\le365<10^3, ולמספר 365365 יש 33 ספרות).

א.

חשבו בלי מחשבון ערך מקורב של log⁡(2100)\log\left(2^{100}\right).

ב.

כמה ספרות יש למספר 21002^{100}? נמקו.

ג.

כמה ספרות יש למספר 51005^{100}? (הדרכה: 5=1025=\frac{10}{2}.)

שאלה 7 · לוגריתם של חזקהשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 2log⁡510−log⁡542\log_5 10-\log_5 4.

חשבו את ערך הביטוי בלי מחשבון.

שאלה 8 · חקירת פולינום ב-ln x ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=(ln⁡x)3−6(ln⁡x)2f(x)=(\ln x)^3-6(\ln x)^2.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי הישר x=1ex=\frac1e, על ידי הישר x=e2x=e^2 ועל ידי ציר ה-xx.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת שלה: שטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). גרף פונקציית הנגזרת חותך את ציר ה-x בנקודה אחת בלבד - הנקודה B.

B

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x(e^x-2), ומצאו את שיעור ה-x של הנקודה B.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x), ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה. קבעו את סוגה.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר x=ln⁡3x=\ln3.

שאלה 10 · פונקציה לוגריתמית: חקירה, גרף הנגזרת ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=(3+ln⁡x)⋅(ln⁡x−1)f(x)=(3+\ln x)\cdot(\ln x-1).

בסוף השאלה מופיעים שלושה גרפים I-III (לסעיף ה):

גרף I
גרף II
גרף III
א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

אחד מן הגרפים I-III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי הישר x=ex=\sqrt e ועל ידי ציר ה-xx.

עוד 5 שאלות על לוגריתם של חזקה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציה ריבועית ב-ln x: פרמטר, חיתוכים, קיצון וערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−a⋅ln⁡x−3f(x)=(\ln x)^2-a\cdot\ln x-3, aa הוא פרמטר. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx היא (e3,0)(e^3,0).

  2. חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=e3xex−2f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x-2}.

  3. חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, עם משוואה ריבועית ב-, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=e2x+12ex−2f(x)=\frac{e^{2x}+12}{e^x-2}.

  4. הבעת לוגריתם של מכפלת חזקות באמצעות לוגריתמים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון כי log⁡a2=m\log_a 2=m ו-log⁡a5=k\log_a 5=k, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1.

  5. קשר בין חזקות של שני מספרים בעזרת לוגריתמים (שאלת ביניים · בינונית)

    המספרים aa ו-bb גדולים מ-11 ומקיימים a2=b3a^2=b^3.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.