דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: אי-שוויונות מעריכיים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אי-שוויונות מעריכיים לכיתה י"ב (4 יחידות). יש אי-שוויונות שהופכים לריבועיים אחרי הצבה, אי-שוויון כפול, אי-שוויון שבו מופיעים בסיסים הפוכים כמו שורש 2 ועוד 1 ושורש 2 פחות 1, וקריאת פתרון מתוך גרף של 2 בחזקת x. לצידם בעיות מילוליות שבהן שואלים מתי חוב יעבור את סכום הפיקדון או מתי אוכלוסייה תעבור ערך מסוים. השאלות מחולקות בין הרמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה עם פתרונות מלאים ולייצא לוורד.

14 שאלותקלה: 4בינונית: 5קשה: 5

שאלה 1 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · קלה

נתון אי-השוויון 9x−2⋅3x−3≥09^x - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 2 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · בינונית

נתון אי-השוויון הכפול 1≤2x2−x≤41\le2^{x^2-x}\le4.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 3 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · קשה

נתון אי-השוויון 3x+1+31−x≤103^{x+1}+3^{1-x}\le10.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 4 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · קלה

נתון אי-השוויון 5x2≤54x5^{x^2}\le5^{4x}.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 5 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניך גרף הפונקציה y=2xy=2^x.

-3-2-11232468

נתונה הפונקציה f(x)=4x−5⋅2x+4f(x)=4^x-5\cdot2^x+4.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx.

ב.

היעזרו בגרף של y=2xy=2^x ומצאו לאילו ערכי xx מתקיים f(x)<0f(x)<0.

שאלה 6 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · קשה

נתון אי-השוויון (2+1)x+(2−1)x≤6\left(\sqrt2+1\right)^{x}+\left(\sqrt2-1\right)^{x}\le6.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 7 · גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדוןשאלה מלאה · קלה

יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל ב-10% בכל שנה (רון לא מחזיר דבר). נסמן ב-tt את מספר השנים מיום ההפקדה.

א.

כתבו את הפונקציה f(t)f(t) המתארת את הסכום בפיקדון של יוסי, ואת הפונקציה g(t)g(t) המתארת את החוב של רון.

ב.

כמה כסף יהיה בפיקדון של יוסי כעבור 10 שנים?

ג.

האם כעבור 10 שנים החוב של רון כבר גדול מהסכום בפיקדון של יוסי? נמקו.

ד.
(1)

הראו כי החוב של רון גדול מהסכום בפיקדון של יוסי כאשר (1.11.02)t>2.5\left(\frac{1.1}{1.02}\right)^t>2.5.

(2)

כעבור כמה שנים שלמות יהיה החוב של רון, לראשונה, גדול מהסכום בפיקדון של יוסי?

שאלה 8 · גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי עריםשאלה מלאה · בינונית

בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה.

בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: מספר התושבים) מתוארים שני גרפים, I ו-II, שמשמשים בסעיף ד.

III
א.

איזו מבין הפונקציות 1-4 מתארת את מספר התושבים בעיר א' לפי השנים (t)(t) מתחילת 2024?

(1) f(t)=120,000⋅1.2tf(t)=120{,}000\cdot1.2^t (2) f(t)=122,400⋅1.02tf(t)=122{,}400\cdot1.02^t (3) f(t)=120,000⋅1.02tf(t)=120{,}000\cdot1.02^t (4) f(t)=122,400⋅2tf(t)=122{,}400\cdot2^t

ב.

כמה תושבים יגורו בעיר א' כעבור 15 שנה?

ג.

בתחילת שנת 2024 גרו בעיר ב' 30,000 תושבים. מספר התושבים בעיר ב' גדל ב-9% בכל שנה.

מצאו את הפונקציה g(t)g(t) המתארת את מספר התושבים בעיר ב' לפי השנים (t)(t).

ד.

בסרטוט שבגזע השאלה מתוארים הגרפים של הפונקציה f(t)f(t) ושל הפונקציה g(t)g(t). איזו פונקציה מתאר גרף II? נמקו.

ה.

בתחילת כל שנה עורכים בשתי הערים מפקד תושבים.

בתחילתה של איזו שנה יגלה המפקד לראשונה שבעיר ב' גרים יותר תושבים מאשר בעיר א'?

שאלה 9 · פונקציה מעריכית לפי נגזרתה עם פרמטר: מתי היא חיוביתשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל xx. נתון: f′(x)=ex−ea−xf'(x)=e^x-e^{a-x}, כאשר a>0a>0 פרמטר. גרף הפונקציה f(x)f(x) עובר בנקודה (0,2)(0,2).

א.

מצאו באמצעות aa את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את f(x)f(x) באמצעות aa.

ג.

לאילו ערכים של aa הפונקציה f(x)f(x) חיובית לכל xx?

ד.

נתון: a=ln⁡4a=\ln4.

דרך נקודת הקיצון של f(x)f(x) העבירו אנך לציר ה-xx. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x), על ידי האנך ועל ידי הצירים.

שאלה 10 · אי-שוויון מעריכי בעזרת פירוק וגרף של 2ˣשאלה קצרה · קלה

בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה y=2xy=2^x.

-3-2-11232468

נתונה הפונקציה f(x)=4x−5⋅2x+4f(x)=4^x-5\cdot2^x+4. נתון כי f(x)=(2x−1)(2x−4)f(x)=\left(2^x-1\right)\left(2^x-4\right).

היעזרו בגרף של y=2xy=2^x ומצאו לאילו ערכי xx מתקיים f(x)<0f(x)<0.

עוד 3 שאלות על אי-שוויונות מעריכיים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. אי-שוויון מעריכי עם בסיס קטן מ-1 (שאלת ביניים · בינונית)

    נתון אי-השוויון (13)x2≥9x−4\left(\frac13\right)^{x^{2}}\ge9^{x-4}.

  2. גדילה מעריכית: מציאת אחוז הריבית מתוך החוב (שאלה מלאה · קשה)

    בתחילת שנת 2024 הפקידה דנה 8,000 ₪ בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום לווה עומר 2,000 ₪, והחוב שלו גדל בכל שנה באחוז קבוע…

  3. אי-שוויון עם 2ˣ ו-2³⁻ˣ בהצבה, וחיתוך עם אי-שוויון נוסף (שאלת ביניים · קשה)

    נתון אי-השוויון 2x+23−x>92^{x}+2^{3-x}>9.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.