שאלות פתוחות: חזקה עם מעריך רציונלי ושורשים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על חזקה עם מעריך רציונלי ושורשים לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מפשטים ביטויים עם חזקות של שליש, פותרים משוואה שהופכת לריבועית בעזרת הצבה, מחשבים ביטוי של שורשים מקוננים, ומשתמשים בנתון על סכום חזקות כדי לחשב ביטוי אחר. לצד אלה יש בעיות גדילה של משתמשים באפליקציה ושל עצים נגועים במטעים, שבהן מופיע מעריך שבור. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מורים יכולים להרכיב מכאן בוחן או מבחן עם פתרונות מלאים ולהוריד אותו בוורד.

35 שאלותקלה: 7בינונית: 18קשה: 10

שאלה 1 · חזקה עם מעריך רציונלי ושורשיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי E=x−1x23+x13+1E=\frac{x-1}{x^{\frac23}+x^{\frac13}+1}E=x32​+x31​+1x−1​, כאשר x>0x>0x>0.

א.

פשטו את הביטוי EEE.

ב.

מצאו את הערך של xxx שבעבורו E=2E=2E=2.

שאלה 2 · גדילה ודעיכה: עצים נגועים בשלושה מטעיםשאלה מלאה · בינונית

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר העצים הנגועים במזיק לפי ימים בשלושה מטעים.
הפונקציה המתארת את מספר העצים הנגועים בכל יום במטע א' היא P(t)=200⋅(1.15)tP(t)=200\cdot(1.15)^tP(t)=200⋅(1.15)t, ובמטע ב' היא R(t)=40⋅(1.4)tR(t)=40\cdot(1.4)^tR(t)=40⋅(1.4)t.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר העצים הנגועים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחד מן המטעים א' וב' את גרף הפונקציה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

מה היה מספר העצים הנגועים במטע ב' לאחר 6 ימים?

ג.

חשבו לאחר כמה ימים מספר העצים הנגועים במטע א' ובמטע ב' היה שווה.

ד.

בזמן הבדיקה הראשונית של מטעים א' וב', במטע ג' מספר העצים הנגועים היה גדול פי 30 ממספר העצים הנגועים במטע ב', לכן הוחלט לרסס את מטע ג' בחומר הדברה, ומספר העצים הנגועים בו קטן באופן מעריכי. לאחר 6 ימים מספר העצים הנגועים במטע ג' היה שליש ממספר העצים הנגועים במטע ב'.

חשבו בכמה אחוזים ירד מספר העצים הנגועים בכל יום במטע ג'.

ה.

הוחלט לרסס מהאוויר כל מטע שבו מספר העצים הנגועים יהיה 800 או יותר. באילו מטעים ירססו מהאוויר במהלך 9 הימים מהבדיקה הראשונית? נמקו.

שאלה 3 · חזקה עם מעריך רציונלי ושורשיםשאלה קצרה · קשה

נתון כי a>1a>1a>1 וכי a13+a−13=3a^{\frac13}+a^{-\frac13}=3a31​+a−31​=3.

א.

מצאו את ערכו של a+a−1a+a^{-1}a+a−1.

ב.

מצאו את ערכו של a−a−1a-a^{-1}a−a−1.

שאלה 4 · חזקה עם מעריך רציונלי ושורשיםשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה x23−5x13+6=0x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}+6=0x32​−5x31​+6=0.

פתרו את המשוואה.

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: משתמשי אפליקציה ואפליקציה מתחרהשאלה מלאה · בינונית

ביום ההשקה של אפליקציה חדשה היו לה 120 אלף משתמשים. מספר המשתמשים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 6 חודשים היו לאפליקציה 300 אלף משתמשים. ביום שבו הגיע מספר המשתמשים ל-300 אלף, הושקה אפליקציה מתחרה. מאותו יום, ירד מספר המשתמשים באפליקציה בקצב מעריכי קבוע. אחרי 4 חודשים מהשקת האפליקציה המתחרה, היה מספר המשתמשים 30% ממספרם ביום השקת המתחרה.

א.

מיום ההשקה ועד יום השקת האפליקציה המתחרה, פי כמה עלה מספר המשתמשים בכל חודש?

ב.

מצאו את האחוז הקבוע שבו ירד מספר המשתמשים באפליקציה בכל חודש מאז השקת האפליקציה המתחרה.

ג.

(1)

כמה חודשים עברו מיום ההשקה של האפליקציה ועד היום שבו היו לה 45 אלף משתמשים בלבד?

(2)

אם לא הייתה מושקת אפליקציה מתחרה, וקצב העלייה במספר המשתמשים לא היה משתנה, כמה משתמשים היו בערך לאפליקציה באותה תקופת זמן שמצאתם בתת-סעיף ג(1)?

שאלה 6 · גדילה ודעיכה: שלושה יישובים שנפגשים ברגע אחדשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים.
ביישוב א' מספר הנדבקים הוא X(t)=200⋅(1.1)tX(t)=200\cdot(1.1)^tX(t)=200⋅(1.1)t, וביישוב ב' הוא Y(t)=25⋅(1.32)tY(t)=25\cdot(1.32)^tY(t)=25⋅(1.32)t.
ביישוב ג' מספר הנדבקים בבדיקה הראשונית (t=0t=0t=0) היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', ומאז הוא קטן באופן מעריכי.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר הנדבקים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחד מן היישובים א', ב' ו-ג' את הגרף שלו מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישובים א' וב' שווה?

ג.

נתון כי ברגע שבו מספר הנדבקים ביישובים א' וב' השתווה, גם ביישוב ג' היה אותו מספר נדבקים. בכמה אחוזים קטן מספר הנדבקים ביישוב ג' בכל יום?

ד.

הוחלט לסגור את בתי הספר בכל יישוב שבו מספר הנדבקים יהיה NNN או יותר בזמן כלשהו במהלך 10 הימים הראשונים (0≤t≤100\le t\le100≤t≤10). מצאו את כל הערכים של NNN שעבורם בתי הספר ייסגרו ביישוב אחד בלבד. נמקו.

שאלה 7 · חזקה עם מעריך רציונלי ושורשיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי S=(7+43)12+(7−43)12S=\left(7+4\sqrt3\right)^{\frac12}+\left(7-4\sqrt3\right)^{\frac12}S=(7+43​)21​+(7−43​)21​.

חשבו את הערך המדויק של SSS (בלי מחשבון).

שאלה 8 · ריבית דריבית: קרן הלוואות ומסלול בריבית משתנהשאלה מלאה · בינונית

קרן הלוואות לעסקים קטנים מלווה כסף בריבית קבועה.

א.

הקרן קבעה ריבית של 2.4% לשנה.

(1)

מאפייה לוותה 600,000 שקלים לשנתיים. מהו גובה הסכום שהיה על המאפייה להחזיר לקרן בתום השנתיים?

(2)

סטודיו לעיצוב לווה 400,000 שקלים ל-9 חודשים. מהו גובה הסכום שהיה עליו להחזיר לקרן בתום 9 החודשים?

(3)

מוסך לווה 1,500,000 שקלים, והחזיר לקרן בתום תקופת ההלוואה סכום של 1,591,626.46 שקלים. מה היה משך תקופת ההלוואה?

ב.

הקרן שינתה את תנאיה והציעה לעסקים שני מסלולי הלוואה חדשים לשנתיים: מסלול 1 - ריבית משתנה: 0.8% ריבית לשנה הראשונה, ו-3% ריבית לשנה השנייה. מסלול 2 - ריבית שנתית קבועה לשנתיים.

עסק לווה סכום מסוים. מה צריכה להיות הריבית השנתית במסלול 2, כדי שבתום השנתיים תקבל הקרן מן העסק את אותו סכום החזר בשני המסלולים? פרטו את חישוביכם.

שאלה 9 · ריבית דריבית: מסלול משתנה ופירעון מוקדםשאלה מלאה · קשה

בנק מלווה כסף לחברות בריבית שנתית קבועה (ריבית דריבית, גם על חלק משנה).

א.

חברה לוותה 800,000 שקלים לשלוש שנים, והחזירה בתומן 836,542.70 שקלים. מהי הריבית השנתית?

ב.

חברה אחרת לוותה סכום מסוים ל-18 חודשים, ושילמה בסך הכול 45,168.33 שקלים ריבית (ההפרש בין מה שהחזירה למה שלוותה). כמה כסף לוותה?

ג.

הבנק הציע מסלולי הלוואה לשנתיים: מסלול 1 - ריבית של r%r\%r% בשנה הראשונה, וריבית גבוהה ממנה ב-1.2 נקודות אחוז בשנה השנייה. מסלול 2 - ריבית קבועה של 2% לשנה. נתון כי בתום שנתיים סכום ההחזר בשני המסלולים שווה.

(1)

מצאו את הריבית בכל אחת משתי השנים במסלול 1.

(2)

שתי חברות לוו אותו סכום, אחת בכל מסלול, ושתיהן פרעו את ההלוואה מוקדם - אחרי 18 חודשים. איזו מהן החזירה סכום גדול יותר? נמקו.

שאלה 10 · חזקה עם מעריך רציונלי ושורשיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי E=(1681)−34⋅823E=\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot 8^{\frac{2}{3}}E=(8116​)−43​⋅832​.

חשבו את ערכו המדויק של EEE (בלי מחשבון).

עוד 17 שאלות על חזקה עם מעריך רציונלי ושורשים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

דעיכה ואחריה גדילה: מספר הדגים באגם (שאלה מלאה · בינונית)
מתחילת שנת 2020, מספר הדגים באגם מסוים קטן בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 6 חודשים מספר הדגים באגם היה 62% ממספר הדגים בתחילת שנת 2020.
דעיכה ואחריה גדילה: מתי הכוורת חוזרת לכמות ההתחלתית (שאלה מלאה · קשה)
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. כמות הדבש לאחר 5 חודשים הייתה 70% מכמות הדבש לאחר חודש אחד. בתחילת…
גדילה ודעיכה: משתמשים בשלוש אפליקציות (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המשתמשים בשלוש אפליקציות לפי ימים. מספר המשתמשים באפליקציה א' הוא…
דעיכה מעריכית: שני אגמים מתייבשים (שאלה מלאה · בינונית)
באזור מדברי יש שני אגמים A ו-B. במשך השנים האגמים מתייבשים, וכמות המים בהם קטנה. חוקר מדד את כמות המים בכל אחד מן האגמים בסוף כל קיץ במשך 12…
דעיכה מעריכית: בניית שני תהליכים מנתונים והשוואה ביניהם (שאלה מלאה · קשה)
חוקר עוקב אחרי שני קרחונים A ו-B שמפשירים. בתחילת המדידות שקל קרחון A 8 אלפי טונות, ובכל שנה הוא איבד 3% ממשקלו בשנה שלפניה. בתחילת המדידות…
דעיכה ואחריה גדילה: מים במאגר (שאלה מלאה · קלה)
מתחילת שנת 2018, כמות המים במאגר מסוים קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 2 חודשים כמות המים במאגר הייתה 81% מכמות המים בתחילת שנת 2018.
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שמנתה היא $q$ , ובה 12 איברים. האיבר השביעי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר השלישי בסדרה.
סדרה הנדסית מתחלפת וסדרה חשבונית שמספר איבריה לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית A ובה 8 איברים. האיבר החמישי בסדרה הוא פי 16 מן האיבר הראשון.
דעיכה מעריכית: תרופה בדם של שני מטופלים (שאלה מלאה · קלה)
שני מטופלים קיבלו תרופות שונות. כמות התרופה בדם קטנה בכל שעה באחוז קבוע. הפונקציה $f(t)=8\cdot(0.9)^t$ מתארת את כמות התרופה (במיליגרם) בדם…
דעיכה של שני בלונים וניפוח מחדש (שאלה מלאה · בינונית)
נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד…
דעיכה בשני קצבים קשורים וניפוח בחזרה לנפח המקורי (שאלה מלאה · קשה)
ביום הקנייה נפח כדור ים היה 2,500 סמ"ק ונפח סירה מתנפחת היה 10,000 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד מהם קטן באחוז קבוע בכל יום. האחוז…
סדרה הנדסית וחשבונית: ריצת התרמה (שאלה מלאה · בינונית)
שתי קבוצות של מועדון ריצה, קבוצת הבוגרים וקבוצת הנוער, השתתפו במבצע התרמה למען מחלקת ילדים בבית חולים. כל קבוצה רשמה את מספר הקילומטרים שרצו…
גדילה: מתי שירות הסטרימינג יעקוף (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2025 היו לשירות סטרימינג A 40 מיליון מנויים, ולשירות סטרימינג B היו 15 מיליון מנויים. מספר המנויים של A עולה ב-8% בכל שנה. מספר…
סידור שורשים מסדרים שונים לפי גודלם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים ארבעת המספרים $\sqrt2$ , $\sqrt[3]{3}$ , $\sqrt[5]{5}$ , $\sqrt[6]{6}$ .
חישוב a+a⁻¹ מתוך סכום של חזקות שליש (שאלה קצרה · קשה)
נתון כי $a>1$ וכי $a^{\frac13}+a^{-\frac13}=3$ .
החוק השלישי של קפלר: חזקות עם מעריך רציונלי (שאלת ביניים · בינונית)
לפי החוק השלישי של קפלר, עבור גוף המקיף את השמש מתקיים $T=a^{\frac32}$ , כאשר $T$ הוא זמן הקפה אחת סביב השמש (בשנים) ו- $a$ הוא המרחק הממוצע…
פישוט ביטוי עם חזקות רבע ופתרון משוואה (שאלת ביניים · קשה)
נתון הביטוי $E=\frac{x^{\frac12}+x^{-\frac12}-2}{x^{\frac14}-x^{-\frac14}}$ , כאשר $x>1$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא…
גדילה ודעיכה: התפשטות נגיף ומתן חיסון · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 3
בתחילת שנת 2020 התגלה נגיף ביישוב מסוים. מספר החולים ביישוב עלה בקצב מעריכי קבוע. כשהתגלה הנגיף היו ביישוב 104 חולים בנגיף, וכעבור חמישה חודשים היו ביישוב 200…
ריבית דריבית: הלוואות בנקאיות ומסלול בריבית משתנה · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
אחד הבנקים מלווה כסף לגופים מסחריים בריבית קבועה.
דעיכה ואחריה גדילה: כמות הדבש בכוורת · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 8 חודשים כמות הדבש בכוורת הייתה 45% מכמות הדבש בתחילת שנת 2018.
דעיכה מעריכית: הפשרת שני קרחונים וגידול מספר כלבי הים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 3
בים הצפוני יש שני קרחונים A ו-B. במשך השנים הקרחונים מפשירים ומאבדים ממשקלם. חוקרת מדדה את המשקל של כל אחד מן הקרחונים בכל קיץ במשך 10 שנים. לפניכם סרטוט המתאר…
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יחס בין איברים וסכומים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 1
נתונה סדרה הנדסית A שמנת שלה היא $q$ , ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.
דעיכה של שני גופים מתנפחים: גלגל ים ומזרן ים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 3
אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד…
סדרה הנדסית וחשבונית: איסוף בקבוקים למחזור · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור…