שאלות פתוחות: מעבר בין בסיסים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מעבר בין בסיסים בלוגריתמים לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן משוואות שמשלבות לוגריתמים בבסיס 2 ו-4 או 3 ו-9, הבעת משתנה אחד בעזרת אחר כשנתונים שני שוויונות מעריכיים, שאלה שבה משתמשים במחשבון ובלוגריתם לפי בסיס 10, וזהויות כלליות לשני בסיסים. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות וקשות. מתאים לבוחן קצר או לדף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

15 שאלותקלה: 10בינונית: 2קשה: 3

שאלה 1 · מעבר בין בסיסיםשאלה קצרה · קלה

נתונות המשוואות: (1) log⁡2x+log⁡4x=6\log_2 x+\log_4 x=6log2​x+log4​x=6; (2) log⁡2x⋅log⁡4x=8\log_2 x\cdot\log_4 x=8log2​x⋅log4​x=8.

א.

פתרו את משוואה (1).

ב.

פתרו את משוואה (2).

שאלה 2 · משוואה עם מכפלת לוגריתמים בבסיסים 2 ו-4שאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה log⁡2x⋅log⁡4x=8\log_2 x\cdot\log_4 x=8log2​x⋅log4​x=8.

פתרו את המשוואה.

שאלה 3 · מעבר בין בסיסיםשאלה קצרה · קשה

נתון כי 4x=54^x=54x=5 ו-5y=85^y=85y=8.

חשבו את xyxyxy.

שאלה 4 · משוואה עם לוגריתמים בבסיסים 9 ו-3שאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה log⁡9x=2log⁡32\log_9 x=2\log_3 2log9​x=2log3​2.

פתרו את המשוואה.

שאלה 5 · חישוב log₂7 במחשבון ושימושים בושאלת ביניים · בינונית

בשאלה זו מותר להשתמש במחשבון (הלוגריתם במחשבון הוא לפי בסיס 101010, ומסומן log⁡\loglog). עגלו תשובות מקורבות לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

א.

הביעו את log⁡27\log_2 7log2​7 באמצעות לוגריתמים לפי בסיס 101010, וחשבו את ערכו המקורב.

ב.

היעזרו בתוצאה של סעיף א (בלי לחשב במחשבון לוגריתמים נוספים), ומצאו ערך מקורב של log⁡449\log_4 49log4​49 ושל log⁡817\log_8\frac17log8​71​.

ג.

פתרו את המשוואה log⁡2x+log⁡7x=1\log_2 x+\log_7 x=1log2​x+log7​x=1. היעזרו בסעיף א, ותנו ערך מקורב של xxx.

שאלה 6 · הקשר בין log_a b ל-log_b aשאלת ביניים · קשה

aaa ו-bbb הם מספרים חיוביים ושונים מ-111.

א.

הוכיחו כי log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1loga​b⋅logb​a=1.

ב.

נתון כי 1<a<b1<a<b1<a<b וכי log⁡ab+log⁡ba=103\log_a b+\log_b a=\frac{10}{3}loga​b+logb​a=310​. מצאו את log⁡ab\log_a bloga​b.

ג.

נתון גם כי b−a=24b-a=24b−a=24. מצאו את aaa ואת bbb, וחשבו את log⁡abba\log_{ab}\frac balogab​ab​.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

השוואה בין פונקציות לוגריתמיות לפי הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט מוצגים הגרפים של הפונקציות $f(x)=\log_2x$ ו- $g(x)=\log_4x$ .
הפונקציה y=logₐx: תחום, חיתוך עם ציר ה-x, אסימפטוטה ועלייה או ירידה (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\log_2 x$ ו- $g(x)=\log_{\frac14}x$ .
השוואה בין פונקציות לוגריתמיות לפי הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\log_3 x$ ו- $g(x)=\log_a x$ , כאשר $a>0$ ו- $a\ne1$ .
השוואה בין פונקציות לוגריתמיות לפי הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתונים המספרים $a=\log_2 5$ , $b=\log_4 5$ , $c=\log_5 4$ ו- $d=\log_{\frac12}5$ .
השוואה בין פונקציות לוגריתמיות לפי הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתון $t>0$ , $t\ne1$ .
מעבר בסיס (שאלה קצרה · קשה)
נתונה המשוואה $\log_x4\cdot\log_2\left(x^2-3x\right)=2$ .
מעבר בסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתון $\log_2 3=a$ ו- $\log_3 5=b$ .
מעבר בסיס (שאלה קצרה · קלה)
המספרים $a,b,c$ גדולים מ- $1$ ומקיימים $\log_a b=\frac32$ ו- $\log_b c=\frac43$ .
משוואות לוגריתמיות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה המשוואה $\log_2x\cdot\log_3x=\log_2x+\log_3x$ .