דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חוקי הלוגריתמים - מכפלה, מנה וחזקה - לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות הבעת לוגריתמים בעזרת שני לוגריתמים נתונים, מערכת משוואות לוגריתמיות, בדיקה אם שתי פונקציות לוגריתמיות זהות כשמתחשבים בתחום ההגדרה, ושימוש בחוקים בתוך חקירת פונקציות עם ln ו-e^x. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

81 שאלותקלה: 43בינונית: 31קשה: 7

שאלה 1 · חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקהשאלה קצרה · קלה

נתון כי log⁡a2=m\log_a 2=m ו-log⁡a5=k\log_a 5=k, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1.

א.

הביעו באמצעות mm ו-kk את log⁡a(50a)\log_a\left(50\sqrt{a}\right).

ב.

הביעו באמצעות mm ו-kk את log⁡a1.6\log_a 1.6.

שאלה 2 · חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקהשאלה קצרה · בינונית

המספרים החיוביים x,yx,y והבסיס aa (a>0a>0, a≠1a\ne1) מקיימים: log⁡ax+log⁡ay=3\log_a x+\log_a y=3, log⁡ax−log⁡ay=1\log_a x-\log_a y=1, וכן xy=64xy=64.

א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את xx ואת yy.

שאלה 3 · פונקציה מעריכית עם שתי אסימפטוטות: מספר פתרונות ושטח הפוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2e2xe2x−6ex+8f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+8}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x) ואת נקודת הקיצון שלה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=6exe2x−6ex+8g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+8}. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x) ו-g(x)g(x).

ג.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=m לכל ערך של mm.

ד.

השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)f(x) ו-g(x)g(x) ובין הישרים x=ln⁡5x=\ln5 ו-x=ln⁡dx=\ln d (d>5d>5) שווה ל-ln⁡3\ln3. מצאו את dd.

שאלה 4 · פונקציה לוגריתמית: חקירה, ln של פונקציה ואינטגרלשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=ln⁡(x)+2ln⁡(x)−2f(x)=\frac{\ln(x)+2}{\ln(x)-2}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

מצאו את תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x).

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

הראו כי f(x)>1f(x)>1 לכל x>e2x>e^2, והסבירו מדוע למשוואה f(x)=f′(x)f(x)=f'(x) אין פתרון בתחום x>e2x>e^2.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(f(x))g(x)=\ln(f(x)).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x).

(2)

מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x) המאונכות לצירים, וסרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x).

ד.

נסמן ב-SS את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), ציר ה-xx והישרים x=8x=8 ו-x=10x=10.

הסבירו מדוע g(x)>0g(x)>0 בקטע 8≤x≤108\le x\le10, והביעו באמצעות SS את ∫810ln⁡(3f(x)) dx\int_8^{10}\ln(3f(x))\,dx.

שאלה 5 · חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקהשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=log⁡(x2)−log⁡((x−1)2)f(x)=\log\left(x^2\right)-\log\left((x-1)^2\right) ו-g(x)=2log⁡xx−1g(x)=2\log\frac{x}{x-1}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות.

ב.

מצאו את כל ערכי xx שעבורם f(x)=g(x)f(x)=g(x).

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון נסתר וחיתוכיםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ex−k1−exf(x)=e^x-\frac{k}{1-e^x}, המוגדרת לכל x≠0x\neq0. k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x)f(x). הביעו באמצעות kk אם יש צורך.

ב.

חקרו: מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגן, לפי ערכי kk.

ג.

מצאו את כל ערכי kk שעבורם לגרף f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם ציר ה-xx, וקבעו כמה נקודות חיתוך יש בכל מקרה.

ד.

הציבו k=2k=2.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים x=ln⁡2x=\ln2 ו-x=ln⁡3x=\ln3.

שאלה 7 · שתי פונקציות מעריכיות: חקירה, זיהוי גרפים ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2e2xe2x−6ex+5f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+5} ו-g(x)=6exe2x−6ex+5g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה המשותף של הפונקציות.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי f′(x)=4e2x(5−3ex)(e2x−6ex+5)2f'(x)=\frac{4e^{2x}\left(5-3e^x\right)}{\left(e^{2x}-6e^x+5\right)^2}, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x) ו-g(x)g(x).

ג.
(1)

הראו כי f(x)−g(x)=2e2x−6exe2x−6ex+5f(x)-g(x)=\frac{2e^{2x}-6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}, וכי המונה של הביטוי הוא הנגזרת של המכנה שלו.

לפניכם סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות. כל אחד מהחלקים של הגרפים מסומן בספרה.

345612
(2)

רשמו לאיזו פונקציה שייך כל אחד מהחלקים. נמקו בעזרת הסימן של f(x)−g(x)f(x)-g(x) בכל קטע ובעזרת סעיף ב.

ד.

היעזרו בסעיף ג(1) וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)f(x) ו-g(x)g(x) ובין הישרים x=ln⁡6x=\ln6 ו-x=ln⁡10x=\ln10.

שאלה 8 · חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקהשאלה קצרה · בינונית

המספרים החיוביים x,yx,y מקיימים log⁡2(x−y)=1+12(log⁡2x+log⁡2y)\log_2(x-y)=1+\frac12\left(\log_2 x+\log_2 y\right).

מצאו את היחס xy\frac{x}{y}.

שאלה 9 · מערכת חזקות שנפתרת בעזרת לוגריתמיםשאלה קצרה · קשה

המספרים החיוביים xx ו-yy מקיימים x3y=210x^3y=2^{10} וגם xy3=26xy^3=2^6.

מצאו את המכפלה xyxy.

שאלה 10 · חקירת מנה לוגריתמית ושטח - עם הדרכהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x⋅ln⁡(x)3+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{3+\ln(x)}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xx של הפונקציה f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx.

ב.
(1)

הראו כי f′(x)=ln⁡2(x)+3ln⁡(x)+3(3+ln⁡(x))2f'(x)=\frac{\ln^2(x)+3\ln(x)+3}{\left(3+\ln(x)\right)^2}.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=3+ln⁡(x)x⋅ln⁡(x)g(x)=\frac{3+\ln(x)}{x\cdot\ln(x)}.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x).

ה.
(1)

הראו כי g(x)=1x+3x⋅ln⁡(x)g(x)=\frac1x+\frac{3}{x\cdot\ln(x)}.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים x=ex=e ו-x=e2x=e^2.

עוד 16 שאלות על חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקה (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=log⁡31+x1−xf(x)=\log_3\frac{1+x}{1-x}, המוגדרת בתחום −1<x<1-1<x<1.

  2. לוגריתם של סדרה הנדסית הוא סדרה חשבונית (שאלת ביניים · קשה)

    bnb_n היא סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, ומנתה qq. מגדירים סדרה חדשה cn=log⁡2bnc_n=\log_2 b_n.

  3. חקירת פונקציה מעריכית ושטח בעזרת קדומה נתונה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=ex−91−exf(x)=e^x-\frac{9}{1-e^x}, המוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  4. חקירת פונקציה מעריכית ומנה הנשענת עליה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=xex−3ex+1f(x)=xe^x-3e^x+1 המוגדרת לכל xx.

  5. לוגריתם של מספר עשרוני בעזרת חוקי הלוגריתמים (שאלה קצרה · קלה)

    נתון כי log⁡a2=m\log_a 2=m ו-log⁡a5=k\log_a 5=k, כאשר a>0a>0, a≠1a\ne1.

  6. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: חקירה, ln של פונקציה ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2ln⁡(x)+ln⁡(a)ln⁡(x)−ln⁡(a)f(x)=\frac{2\ln(x)+\ln(a)}{\ln(x)-\ln(a)}, aa הוא פרמטר גדול מ-1. בסעיפים א-ג הביעו את תשובותיכם באמצעות aa אם יש צורך.

  7. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר ואינטגרל של פונקציה שלילית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ln⁡(x)+2ln⁡(a)ln⁡(x)−ln⁡(a)f(x)=\frac{\ln(x)+2\ln(a)}{\ln(x)-\ln(a)}, aa הוא פרמטר חיובי, a≠1a\ne1. הביעו את תשובותיכם באמצעות aa אם יש צורך.

  8. שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2e2xe2x−7ex+6f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-7e^x+6}.

  9. הפונקציה ln(1/xⁿ): זיהוי גרף, ביטוי ריבועי בלוגריתם ושטח של g'/g (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(1xn)f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^n}\right), nn הוא מספר טבעי זוגי. לסעיף א(2) - ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  10. הפונקציה : זיהוי גרף, ביטוי ריבועי בלוגריתם ושטח של g'/g (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)nf(x)=\left(\ln x\right)^n, nn הוא מספר טבעי זוגי. לסעיף א(2) - ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  11. חקירת מנה לוגריתמית והפונקציה ההופכית - אסימפטוטה ב-e⁻² (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅ln⁡(x)2+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{2+\ln(x)}.

  12. חקירת , הפונקציה ההופכית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅(ln⁡x)23+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot(\ln x)^2}{3+\ln(x)}.

  13. חקירת פונקציה מעריכית ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ex−41−exf(x)=e^x-\frac{4}{1-e^x}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  14. חקירת , פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=e2x+4exex−1f(x)=e^{2x}+\frac{4e^x}{e^x-1}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  15. הוכחת תכונה של פונקציה לוגריתמית בעזרת חוק החזקה (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=log⁡31+x1−xf(x)=\log_3\frac{1+x}{1-x}, המוגדרת בתחום −1<x<1-1<x<1.

  16. פישוט ביטויים לוגריתמיים בעזרת t=log₂x (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונות הפונקציות f(x)=log⁡2(4x3)f(x)=\log_2\left(4x^3\right) ו-g(x)=log⁡2(2x)g(x)=\log_2(2x), המוגדרות לכל x>0x>0. נסמן t=log⁡2xt=\log_2 x.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (49)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.