שאלות פתוחות: שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים - כיתה ז'

כמה סמ"ר בד דרושים כדי לכסות את המרובע $ABCD$ (בלי שוליים)? הסבירו את דרך החישוב.

אחותו של יואב בונה עפיפון אחר. גם בו המקלות מאונכים זה לזה ונפגשים בתוך שניהם, המקל הארוך באורך $80$ ס"מ, ושטח הבד $2{,}400$ סמ"ר. מה צריך להיות האורך של המקל השני?

האלכסונים מחלקים את המרובע לארבעה משולשים ישרי זווית: $AMB$, $BMC$, $CMD$ ו-$DMA$. חשבו את השטח של כל אחד מהם, ואת שטח המרובע $ABCD$.

רוני טוען: "אם לשני מרובעים כאלה יש אלכסונים באותם אורכים, אז השטחים שלהם שווים, גם אם הצורות שלהם שונות (למשל, האלכסונים נפגשים במקום אחר)." האם הטענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם? הסבירו.

מיכל טוענת: "אם לשני מרובעים כאלה יש אותו שטח, אז גם האלכסונים שלהם באותם אורכים." האם הטענה נכונה תמיד? אם לא, תנו דוגמה נגדית.

סרטטו סביב המרובע מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים ועוברות דרך ארבעת הקודקודים. חשבו את שטח המלבן, הסבירו למה שטח המרובע $ABCD$ הוא בדיוק מחצית משטח המלבן, ומצאו את שטח המרובע.

מהו האורך של כל אחד מהאלכסונים $AC$ ו-$BD$?

הסבירו למה האלכסונים $AC$ ו-$BD$ מאונכים זה לזה, ורשמו את שיעורי נקודת המפגש שלהם $M$.

חשבו את שטח המרובע $ABCD$. הסבירו את דרך החישוב.

בונים מרובע חדש שגם בו האלכסונים מאונכים זה לזה ונפגשים בתוך שניהם. אלכסון אחד ארוך פי $2$ מ-$AC$, והאלכסון השני באורך של $BD$. מה שטח המרובע החדש? ומה יהיה השטח אם גם האלכסון השני יהיה ארוך פי $2$ מ-$BD$?

יעל אומרת: "בכל מרובע שאלכסוניו מאונכים, אם מאריכים כל אחד משני האלכסונים פי $3$, גם השטח גדל פי $3$." האם יעל צודקת? הסבירו בעזרת המלבן שצלעותיו מקבילות לאלכסונים.

האלכסון $AC$ מחלק את המרובע לשני משולשים: $ABC$ ו-$ADC$. מהו הגובה של כל אחד מהם לצלע $AC$? חשבו את שטחי שני המשולשים.

חשבו את שטח המרובע $ABCD$. עומר אומר שאפשר לקבל את שטח המרובע גם כך: לכפול את אורכי שני האלכסונים ולחלק ב-$2$. בדקו אם במרובע הזה עומר צודק.

מאריכים את הקטע $MD$ מעבר לנקודה $D$ עד לנקודה $E$, כך ש-$ME=7$ ס"מ, ומקבלים את המרובע $ABCE$. בכמה סמ"ר שטח המרובע $ABCE$ גדול משטח המרובע $ABCD$?

מהו האורך של כל אחד מהאלכסונים $AC$ ו-$BD$? הסבירו למה האלכסונים מאונכים זה לזה.

רשמו את שיעורי נקודת המפגש $M$ של האלכסונים, וחשבו את אורכי הקטעים $AM$, $MC$, $BM$ ו-$MD$.

האלכסונים מחלקים את המרובע לארבעה משולשים ישרי זווית. חשבו את שטח המרובע כסכום השטחים של ארבעת המשולשים.

הסבירו למה בכל מרובע כזה $AC\cdot BD=48$. מצאו את כל הזוגות האפשריים של אורכי האלכסונים $AC$ ו-$BD$ על הלוח.

רון בחר $A(1,2)$ ו-$C(9,2)$. הוא רוצה שהקודקוד $B$ יהיה מעל $AC$ והקודקוד $D$ מתחתיו. כמה מרובעים שונים שעומדים בכל התנאים הוא יכול לסרטט? פרטו.

מאיה רוצה לסרטט מרובע כזה (שטחו $24$) שבו האלכסון $AC$ באורך $5$. האם זה אפשרי על הלוח? נמקו.

מאיה מוותרת על התנאי ששטח המרובע $24$, ושומרת על שאר התנאים. מהו השטח הגדול ביותר שיכול להיות למרובע כזה על הלוח? הסבירו ותנו דוגמה לקודקודים.

הסבירו למה בכל מיקום כזה של $D$ האלכסונים $AC$ ו-$BD$ מאונכים זה לזה. חשבו את שטח המשולש $ABC$.

מצאו את שיעורי הנקודה $D$, כך ששטח המרובע $ABCD$ יהיה $45$ יחידות שטח.

נועה מזיזה את $B$ ואת $D$ שמצאתם $3$ יחידות ימינה, ומקבלת את הנקודה $E$ (במקום $B$), את הנקודה $F$ (במקום $D$) ואת המרובע $AECF$. נועה טוענת שהשטח של $AECF$ קטן מ-$45$, כי המרובע "נמתח" הצידה. האם היא צודקת? נמקו.