מבחן לדוגמה: גיאומטריה: משולשים - כיתה ט'

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. כתבו משוואה ומצאו את $t$.

חשבו את $\angle KLN$ ואת $\angle KLM$. איזו זווית נחצתה, ומה גודלה?

חשבו את $\angle LMK$ ואת $\angle KNL$. בדקו את התשובה בעזרת סכום הזוויות במשולש $LNM$.

חשבו את האורכים של שלוש הצלעות של $ABC$ ושל שלוש הצלעות של $DEF$. איזה סוג משולש הוא כל אחד מהם לפי הצלעות?

הוכיחו ש-$\triangle ABC\cong\triangle DEF$ בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. כתבו לפי איזה משפט.

חשבו את השטח ואת ההיקף של כל אחד משני המשולשים. דנה אומרת: "המשולש $DEF$ נמצא בצד של ה-$x$ השליליים, ולכן השטח שלו קטן יותר." הסבירו למה היא טועה.

במשולש $PQR$ נתון $PQ=PR$, וזווית הראש היא $\angle QPR=\alpha$. חוצה הזווית $\angle PQR$ וחוצה הזווית $\angle PRQ$ נחתכים בנקודה $O$.

הוכיחו ש-$\angle QOR=90^\circ+\frac{\alpha}{2}$. אחר כך מצאו את זוויות המשולש $PQR$ אם $\angle QOR=131^\circ$.

במשולש $ABC$ (כלשהו) $\angle BAC=\alpha$. מאריכים את $BC$ מעבר ל-$C$ עד הנקודה $D$. חוצה הזווית $\angle ABC$ וחוצה הזווית החיצונית $\angle ACD$ נפגשים בנקודה $T$.

הוכיחו ש-$\angle BTC=\frac{\alpha}{2}$.

הוכיחו:

1) $NC \perp AB$

2) $AC = CB$

3) $AO = OP$

1) איזה סוג מרובע הוא מרובע $OPCN$? הסבירו.

2) נתון: $PC = 4$ ס"מ, $OP = 3$ ס"מ

חשבו את שטח המרובע $OPCN$. נמקו את דרך החישוב.

שטח משולש $OPD$ הוא $S$.

1) הביעו את שטח המשולש $APD$ באמצעות $S$. נמקו.

2) פי כמה גדול שטח המקבילית $ABCD$ משטח המשולש $APD$?

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$, בין $B$ ל-$C$. נתון: $DA=DC$.

הוכיחו: $BC>AB$.

המשולש $KLM$ שווה שוקיים: $KL=KM$, והבסיס שלו $LM$. הנקודה $T$ נמצאת בתוך המשולש $KLM$. נתון: $\angle TLK>\angle TMK$.

הוכיחו: $TL>TM$.

מצאו את $\angle AMB$. נמקו.

הסבירו למה $N$ היא אמצע הקטע $AB$, ומצאו את $\angle AMN$.

בכמה מטרים הפנס נמוך מהקו $AB$? כלומר, מהו $MN$? נמקו.

מהו המרחק בין העמודים? כתבו את התשובה עם שורש, ודייקו גם עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

באיזה גובה מעל הקרקע נמצא הפנס? האם אדם שגובהו $1.9$ מ' יכול לעבור מתחת לפנס בלי להתכופף?

הוכיחו: $\angle QTR=2\cdot\angle QPR$.

נתון גם: $RT=RQ$. מה גודל הזווית $\angle QPR$? נמקו.

הוכיחו: $\triangle AOB\sim\triangle COD$, והסבירו מדוע $\frac{x+2}{2x-4}=\frac{x+5}{3x-6}$. פתרו את המשוואה. איזה פתרון נפסל, ומדוע?

נתון: $DC=8$ ס"מ. חשבו את $AB$ ואת אורכי שני האלכסונים. מהו היחס בין שטח המשולש $AOB$ לשטח המשולש $COD$?

האם יש טרפז שבו נקודת המפגש של האלכסונים היא אמצע האלכסון $AC$? מה צריך להתקיים בין הבסיסים כדי ש-$O$ תהיה אמצע $AC$? הסבירו.