דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: משולש שווה שוקיים: המשפטים ההפוכים - כיתה ט'

המשפטים ההפוכים של משולש שווה שוקיים לכיתה ט': הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים מתוך זוויות שוות, חוצי זווית או גבהים. השאלות משלבות ישרים מקבילים, מקבילית שבה חוצה זווית חותך צלע, דלתון עם חוצי זוויות, וחוצי זוויות במשולש שדרך נקודת המפגש שלהם עובר ישר מקביל לבסיס. יש גם גבהים לשוקיים ושאלה במערכת צירים. הרמות: רמה א', רמה ב' ומצוינות. אפשר לאסוף מכאן שאלות הוכחה לבוחן או למבחן, ולהוריד אותן ל-Word עם הוכחות מלאות.

56 שאלותרמה א': 23רמה ב': 18מצוינות: 15

שאלה 1 · זוויות בביטויים בין מקבילים: משולש שווה שוקיים וחוצה זוויתשאלת ביניים · רמה א'

הישרים kk ו-mm מקבילים. הנקודות AA ו-CC נמצאות על הישר kk, והנקודה BB נמצאת על הישר mm. על הישר mm מסמנים את הנקודה EE משמאל ל-BB ואת הנקודה DD מימין ל-BB.

נתון (במעלות): ∠EBA=2x−10\angle EBA=2x-10, ∠BAC=x+30\angle BAC=x+30, ∠ACB=3x−65\angle ACB=3x-65.

ABCDEkm
א.

איזה זוג זוויות הן ∠EBA\angle EBA ו-∠BAC\angle BAC? מצאו את xx, וחשבו את שלוש הזוויות הנתונות.

ב.

הוכיחו שהמשולש ABCABC שווה שוקיים. אילו שתי צלעות שלו שוות?

ג.

הוכיחו שהקרן BCBC חוצה את הזווית ∠ABD\angle ABD.

שאלה 2 · קטע שמקביל לשוק במשולש שווה שוקייםשאלת ביניים · רמה ב'

במשולש KLMKLM נתון KL=KMKL=KM. זווית הראש ∠LKM\angle LKM שווה למחצית של זווית הבסיס ∠KLM\angle KLM.

הנקודה NN נמצאת על הבסיס LMLM, והנקודה PP נמצאת על השוק KMKM. נתון: ∠PNM=72∘\angle PNM=72^\circ.

KLMNP
א.

חשבו את שלוש הזוויות של המשולש KLMKLM.

ב.

הוכיחו: NP∥KLNP\parallel KL.

ג.

חשבו את הזוויות של המשולש NPMNPM. אילו שתי צלעות של המשולש NPMNPM שוות? נמקו.

שאלה 3 · מקבילית, אנכים וטרפז ישר זוויתשאלה מלאה · מצוינות

נתון:

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית

(AB∥CD, AD∥BC)(AB \parallel CD,\ AD \parallel BC)

הנקודה NN היא אמצע ABAB

NC∥APNC \parallel AP

AP⊥DCAP \perp DC

ABCDPNO
א.

הוכיחו:

1) NC⊥ABNC \perp AB

2) AC=CBAC = CB

3) AO=OPAO = OP

ב.

1) איזה סוג מרובע הוא מרובע OPCNOPCN? הסבירו.

2) נתון: PC=4PC = 4 ס"מ, OP=3OP = 3 ס"מ

חשבו את שטח המרובע OPCNOPCN. נמקו את דרך החישוב.

ג.

שטח משולש OPDOPD הוא SS.

1) הביעו את שטח המשולש APDAPD באמצעות SS. נמקו.

2) פי כמה גדול שטח המקבילית ABCDABCD משטח המשולש APDAPD?

שאלה 4 · חוצה זווית במקבילית יוצר משולש שווה שוקייםשאלת ביניים · רמה א'

KLMNKLMN היא מקבילית, ו-KL<KNKL<KN. חוצה הזווית ∠LKN\angle LKN חותך את הצלע LMLM בנקודה PP.

KLMNP
א.

הוכיחו: LP=KLLP=KL.

ב.

הוכיחו: PM=KN−KLPM=KN-KL. היקף המקבילית 4040 ס"מ ו-KL=7KL=7 ס"מ. חשבו את PMPM.

ג.

נתון גם: ∠KNM=64∘\angle KNM=64^\circ. חשבו את ∠KPM\angle KPM.

שאלה 5 · חוצי זוויות בדלתון יוצרים דלתון קטןשאלת ביניים · רמה ב'

PQRSPQRS הוא דלתון: PQ=PSPQ=PS, RQ=RSRQ=RS, ו-PRPR הוא האלכסון הראשי. QEQE חוצה את ∠PQS\angle PQS (EE על PSPS), ו-SFSF חוצה את ∠PSQ\angle PSQ (FF על PQPQ). חוצי הזוויות נחתכים בנקודה TT.

PQRSEFT
א.

נתון: ∠QPS=64∘\angle QPS=64^\circ. חשבו את ∠PQS\angle PQS, והראו ש-∠TQS=∠TSQ\angle TQS=\angle TSQ. מה גודלן?

ב.

הסבירו למה TQ=TSTQ=TS, ולמה המרובע TQRSTQRS הוא דלתון.

ג.

נתון גם: ∠QRS=50∘\angle QRS=50^\circ. חשבו את ארבע הזוויות של הדלתון TQRSTQRS.

שאלה 6 · ישר מקביל דרך מפגש של שני חוצי זוויותשאלת ביניים · מצוינות

במשולש ABCABC חוצה הזווית ∠ABC\angle ABC וחוצה הזווית ∠ACB\angle ACB נחתכים בנקודה TT. דרך TT מעבירים ישר המקביל ל-BCBC. הישר חותך את הצלע ABAB בנקודה KK ואת הצלע ACAC בנקודה LL.

ABCTKL
א.

הוכיחו ש-KB=KTKB=KT וש-LC=LTLC=LT.

ב.

הוכיחו שהיקף המשולש AKLAKL שווה ל-AB+ACAB+AC, לא חשוב מה צורת המשולש ABCABC. נתון: AB=15AB=15 ס"מ, AC=13AC=13 ס"מ, KB=4.5KB=4.5 ס"מ ו-LC=3.9LC=3.9 ס"מ. חשבו את KLKL ואת היקף המשולש AKLAKL.

ג.

במשולש אחר באותה בנייה נתון AB=ACAB=AC ו-∠BAC=52∘\angle BAC=52^\circ. הוכיחו ש-TB=TCTB=TC, וחשבו את ∠BTC\angle BTC ואת ∠KTB\angle KTB.

שאלה 7 · שני גבהים במשולש שווה שוקיים ודלתוןשאלת ביניים · רמה א'

ABCABC הוא משולש שווה שוקיים (AB=ACAB=AC) שכל זוויותיו חדות. BEBE הוא הגובה לשוק ACAC, ו-CDCD הוא הגובה לשוק ABAB. הגבהים נחתכים בנקודה HH.

ABCDEH
א.

הוכיחו ש-△DBC≅△ECB\triangle DBC\cong\triangle ECB, והסיקו שהמשולש HBCHBC שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו ש-HD=HEHD=HE.

ג.

הוכיחו שהמרובע ADHEADHE הוא דלתון. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ. חשבו את ∠DHE\angle DHE ואת ∠BHC\angle BHC.

שאלה 8 · דלתון שאלכסוניו על הצירים, ומלבן בתוכושאלה מלאה · מצוינות

במערכת צירים הנקודות BB ו-DD נמצאות על ציר ה-xx (BB משמאל לראשית OO ו-DD מימינה), והנקודות AA ו-CC נמצאות על ציר ה-yy (AA מעל OO ו-CC מתחתיה). נתון: ∠ABD=∠ADB\angle ABD=\angle ADB.

בתוך המרובע ABCDABCD מסרטטים מלבן PQRSPQRS שצלעותיו מקבילות לצירים, וכל קודקוד שלו נמצא על צלע אחרת של ABCDABCD: PP על ABAB, QQ על ADAD, RR על DCDC, SS על CBCB. נתון: P(−3,4)P(-3,4), R(3,−2)R(3,-2).

xyABCDPQRS
א.

הוכיחו ש-OB=ODOB=OD ושהמרובע ABCDABCD הוא דלתון.

ב.

מצאו את השיעורים של QQ ושל SS. נמקו.

ג.

נתון גם: OD=6OD=6. מצאו את משוואות הישרים ADAD ו-CDCD, ואת השיעורים של AA ושל CC.

ד.

חשבו את אורכי האלכסונים ACAC ו-BDBD, את שטח הדלתון ואת היקפו (בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה).

ה.

גיל אומר: "בדלתון ABCDABCD האלכסונים שווים ומאונכים זה לזה, ולכן הוא ריבוע." האם גיל צודק? נמקו.

שאלה 9 · נקודה על האלכסון וזווית כפולהשאלה קצרה · מצוינות

KLMNKLMN היא מקבילית. הנקודה PP נמצאת על האלכסון KMKM, ונתון: ∠LPM=2⋅∠KMN\angle LPM=2\cdot\angle KMN.

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

KLMNP
א.

הוכיחו: PK=PLPK=PL.

ב.

במקבילית כזו נתון בנוסף: LP=LMLP=LM, והזווית ∠PLM\angle PLM גדולה פי 55 מהזווית ∠PKL\angle PKL. חשבו את הזוויות של המקבילית.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (47)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.