שאלות פתוחות: התיכון ליתר במשולש ישר זווית, בשילוב מרובעים - כיתה ט'

נתון: $\angle ABC=32^\circ$. חשבו את $\angle BAM$, את $\angle BAH$ ואת $\angle HAM$. נמקו כל שלב.

עכשיו $\angle ABC=\beta$, כאשר $\beta<45^\circ$ (והקרן $AM$ שוב בין $AB$ ל-$AH$). הוכיחו: $\angle HAM=90^\circ-2\beta$.

מה קורה לזווית $\angle HAM$ ולנקודות $H$ ו-$M$ כאשר $\beta=45^\circ$? הסבירו.

הוכיחו: $HM=\frac{AB}{2}$ ו-$HN=\frac{AC}{2}$.

נתון: $AB=13$ ס"מ, $AC=15$ ס"מ, $AH=12$ ס"מ. חשבו את $BH$, את $HC$, את $HM$ ואת $HN$, ואת היקף המרובע $AMHN$.

הוכיחו: $\angle MHN=\angle BAC$.

במשולש $ABC$ נתון: $\angle ACB=90^\circ$, $\angle B=60^\circ$. $CM$ הוא התיכון ליתר $AB$, ואורכו $5$ ס"מ.

חשבו את האורכים של $AB$ ושל $BC$. הסבירו למה המשולש $CMB$ שווה צלעות, וחשבו את $AC$ (כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה).

במשולש $KLM$ נתון: $\angle KLM=90^\circ$, $\angle K=30^\circ$, $LM=8$ ס"מ. $N$ היא אמצע היתר $KM$, ו-$NP$ הוא האנך מ-$N$ לניצב $KL$ (הנקודה $P$ על $KL$).

חשבו את האורכים של $LN$ ושל $NP$.

הוכיחו: $\angle QTR=2\cdot\angle QPR$.

נתון גם: $RT=RQ$. מה גודל הזווית $\angle QPR$? נמקו.

הוכיחו: $\angle APD=90^\circ$.

נתון: $\angle ADC=64^\circ$. חשבו את הזוויות של המשולש $PMD$ ואת הזוויות של המשולש $AMP$.

הוכיחו שבכל מקבילית כזו (לא רק כאשר $\angle ADC=64^\circ$) מתקיים $PM\parallel DC$.

הוכיחו ש-$N$ היא אמצע הניצב $DE$.

הוכיחו: $NR=\frac{DF}{4}$.

נתון: $DE=32$ ס"מ, $EF=24$ ס"מ. חשבו את $NR$, את $MN$ ואת היקף המשולש $DNR$.

הוכיחו שהמרובע $DBEC$ הוא מקבילית.

הוכיחו: $BM=\frac{AC}{2}$.

נתון: $BM=8.5$ ס"מ, $BC=8$ ס"מ. חשבו את היקף המלבן $ABCD$ ואת אורך הקטע $AE$.

הוכיחו ש-$TE=\frac{MN}{2}$ ו-$TF=\frac{NP}{2}$, והסיקו ש-$NETF$ מעוין.

נתון: $MP=18$ ס"מ, $NQ=24$ ס"מ. חשבו את ההיקפים ואת השטחים של שני המעוינים $MNPQ$ ו-$NETF$. מה היחס בין ההיקפים, ומה היחס בין השטחים?

$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$, $CB=CD$ ו-$AB\ne CB$. האלכסונים נפגשים בנקודה $O$. $K$ היא אמצע הצלע $AB$, ו-$L$ היא אמצע הצלע $BC$.

הוכיחו ש-$BKOL$ דלתון ושהיקפו חצי מהיקף $ABCD$. האם $BKOL$ מעוין? נמקו.

נתון: $BC=8$ ס"מ, $BD=15$ ס"מ.

חשבו את $BM$ ואת $AM$. נמקו.

בטרפז אחר כזה נתון: $\angle BDC=30^\circ$.

הוכיחו שהמשולש $MBC$ שווה צלעות, מצאו את זוויות הטרפז, והוכיחו: $AB=BC$.