שאלות פתוחות: נגזרת של y=√f(x) - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של y=√f(x) לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות גזירה של שורש של ביטוי ריבועי, משיק לגרף √(2x+1) בנקודה נתונה, פרמטר שנקבע לפי נקודה על גרף הנגזרת, ובעיה על מעוין שבה סכום האלכסונים ידוע ומחפשים צלע מינימלית. רוב השאלות ברמה קשה, ויש גם קלות ובינוניות. בחרו מהן לבוחן בגזירת שורשים או לשאלה במבחן, עם פתרונות מלאים בקובץ וורד.

11 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 5

שאלה 1 · ערך הנגזרת של שורש בנקודהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה: g(x)=x2−4g(x)=\sqrt{x^2-4}g(x)=x2−4​.

מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ב-x=−2.5x=-2.5x=−2.5.

שאלה 2 · נגזרת של שורש וסימן הנגזרתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+25f(x)=\sqrt{x^2-6x+25}f(x)=x2−6x+25​.

הראו כי הפונקציה מוגדרת לכל xxx, ומצאו את נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.

שאלה 3 · פרמטר, תחום הגדרה ותחומי עלייה וירידה של שורששאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+16f(x)=\sqrt{x^2+ax+16}f(x)=x2+ax+16​, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את aaa ואת תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 4 · משיק וישר מאונך לו בנקודה על גרף שורששאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}f(x)=2x+1​. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xxx שלה הוא 444. דרך AAA מעבירים את המשיק לגרף הפונקציה, ואת הישר המאונך למשיק בנקודה AAA.

מצאו את משוואת המשיק ואת משוואת הישר המאונך לו.

שאלה 5 · צלע המעוין כפונקציה של האלכסון ונגזרת ההיקףשאלת ביניים · בינונית

במעוין ABCDABCDABCD האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה MMM. סכום האורכים של האלכסונים הוא 40 ס"מ. נסמן ב-2x2x2x את אורך האלכסון ACACAC.
ABCDM

א.

הראו כי MB=20−xMB=20-xMB=20−x, וכי אורך צלע המעוין הוא 2x2−40x+400\sqrt{2x^2-40x+400}2x2−40x+400​.

ב.

קבעו באיזה תחום ערכים יכול להיות xxx.

ג.

רשמו את פונקציית ההיקף P(x)P(x)P(x) ומצאו את הנגזרת P′(x)P'(x)P′(x).

שאלה 6 · הקשר בין הנגזרת של שורש לנגזרת של הביטוי שבתוכושאלה קצרה · קשה

הפונקציה g(x)g(x)g(x) היא פונקציה פולינומיאלית, ונתונה הפונקציה f(x)=g(x)f(x)=\sqrt{g(x)}f(x)=g(x)​.

א.

הנקודה (2,3)(2,3)(2,3) נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ונתון כי f′(2)=13f'(2)=\frac13f′(2)=31​. מצאו את g(2)g(2)g(2) ואת g′(2)g'(2)g′(2).

ב.

נתון כי g(5)=4g(5)=4g(5)=4 ו-g′(5)=6g'(5)=6g′(5)=6. מצאו את f(5)f(5)f(5) ואת f′(5)f'(5)f′(5).

שאלה 7 · מציאת פרמטר מנקודה על גרף הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+af(x)=\sqrt{x^2+a}f(x)=x2+a​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) עובר דרך הנקודה (4,45)\left(4,\frac45\right)(4,54​).

מצאו את aaa.

שאלה 8 · נגזרת של שורש: ערכים של הנגזרת ונקודה עם שיפוע נתוןשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}f(x)=x2−6x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), ומצאו את f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף f(x)f(x)f(x) שבה f′(x)=54f'(x)=\frac54f′(x)=45​.

ג.

הראו כי לכל x>6x>6x>6 מתקיים f′(x)>1f'(x)>1f′(x)>1.

שאלה 9 · משיק מנקודה שאינה על הגרףשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2xf(x)=\sqrt{2x}f(x)=2x​. מהנקודה P(0,2)P(0,2)P(0,2), שאינה על גרף הפונקציה, מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שבה x>0x>0x>0.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA ואת משוואת המשיק.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נגזרת של $x$ בנקודה לפי ההגדרה (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$ .
נקודה על גרף $x^{2} + 2 x + 10$ שבה שיפוע המשיק נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2+2x+10}$ .