שאלות פתוחות: נגזרת של מכפלה מהצורה y=g(x)·√f(x) - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של מכפלה מהצורה y=g(x)·√f(x), לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות גזירה של פונקציות כמו x²√(8-x) ו-(x-4)√x, משיק שמאונך לישר y=x ומשמש למציאת פרמטר, פרמטר שנקבע לפי מקום נקודת קיצון, ופונקציה חדשה שמתקבלת מהחסרת ביטוי ליניארי. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ויש גם קלות. מתאים לדף תרגול בגזירה או לשאלה במבחן; הפתרונות המלאים מצורפים, ואת הבחירה אפשר לייצא לוורד.

11 שאלותקלה: 2בינונית: 5קשה: 4

שאלה 1 · גזירת מכפלה של חזקה ושורששאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x28−xf(x)=x^2\sqrt{8-x}f(x)=x28−x​.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) ופשטו אותה למכנה משותף.

שאלה 2 · גזירת מכפלה ופירוק המונה לגורמיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+15)⋅5−xf(x)=(x^2+15)\cdot\sqrt{5-x}f(x)=(x2+15)⋅5−x​.

הראו כי f′(x)=−5(x−1)(x−3)25−xf'(x)=\frac{-5(x-1)(x-3)}{2\sqrt{5-x}}f′(x)=25−x​−5(x−1)(x−3)​.

שאלה 3 · נקודה שבה שיפוע המשיק נתון (הצבה t=√x)שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)xf(x)=(x-4)\sqrt{x}f(x)=(x−4)x​.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק שווה ל-222.

שאלה 4 · נקודות קיצון, כולל קיצון בקצה התחוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x−6)⋅xf(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x}f(x)=(x−6)⋅x​.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · גזירת מכפלה וקיצון, כולל קצה התחוםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)16−xf(x)=(x-4)\sqrt{16-x}f(x)=(x−4)16−x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי f′(x)=36−3x216−xf'(x)=\frac{36-3x}{2\sqrt{16-x}}f′(x)=216−x​36−3x​.

ג.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פרמטר ממשיק מאונך, ואחר כך נקודת קיצוןשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)2x+1f(x)=(x-a)\sqrt{2x+1}f(x)=(x−a)2x+1​, כאשר aaa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=4x=4x=4 מאונך לישר y=xy=xy=x.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה שאינה בקצה תחום ההגדרה, וקבעו את סוגה.

שאלה 7 · משיק המקביל לציר ה-xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−5)xf(x)=(x-5)\sqrt{x}f(x)=(x−5)x​ בתחום x≥0x\ge0x≥0. מגדירים את הפונקציה g(x)=f(x)−7xg(x)=f(x)-7xg(x)=f(x)−7x באותו תחום.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ggg המקביל לציר ה-xxx.

שאלה 8 · פרמטר מנקודת קיצון, ואחר כך משיק בנקודת החיתוך עם ציר ה-yשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−k)2x+9f(x)=(x-k)\sqrt{2x+9}f(x)=(x−k)2x+9​, כאשר kkk פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=−1x=-1x=−1.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy.

שאלה 9 · משוואת משיק ושטח המשולש שהוא יוצר עם הציריםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+2f(x)=(x-3)\sqrt{2x+2}f(x)=(x−3)2x+2​.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ב.

חשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

שאלה 10 · קיצון פנימי כשתחום ההגדרה מפוצלשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2−4x+3f(x)=x\sqrt{x^2-4x+3}f(x)=xx2−4x+3​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של הפונקציה שאינן בקצות תחום ההגדרה, וקבעו את סוגן.

עוד 1 שאלות על נגזרת של מכפלה מהצורה y=g(x)·√f(x)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה, מינימום פנימי ומקסימום בקצה, וערך גדול ביותר בקטע (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x}-3x$ .