שאלות פתוחות: חקירת פונקציית שורש וסרטוט סקיצה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חקירת פונקציית שורש ושרטוט סקיצה, לכיתה י', 4 יחידות. יש כאן חקירה מלאה של פונקציות כמו x√(4-x²) ו-(x-3)√x, שאלות שבהן חלק מתוצאות החקירה כבר נתונות והמשך עוסק בגרף, ושאלה שבה נתון רק גרף הנגזרת. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה בחקירת פונקציות, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 4קשה: 3

שאלה 1 · מספר הפתרונות של משוואה לפי תחומי העלייה והירידהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)5−xf(x)=(x+1)\sqrt{5-x}f(x)=(x+1)5−x​, המוגדרת בתחום x≤5x\le5x≤5. הפונקציה עולה בתחום x<3x<3x<3 ויורדת בתחום 3<x<53<x<53<x<5, ולה נקודת מקסימום (3,42)(3,4\sqrt2)(3,42​).

כמה פתרונות יש למשוואה (x+1)5−x=5(x+1)\sqrt{5-x}=5(x+1)5−x​=5? נמקו.

שאלה 2 · תחום ערכים ומספר פתרונות של $f (x) = k$ שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}f(x)=(x−6)x​, המוגדרת בתחום x≥0x\ge0x≥0. גרף הפונקציה חותך את הצירים בנקודות (0,0)(0,0)(0,0) ו-(6,0)(6,0)(6,0). הפונקציה יורדת בתחום 0<x<20<x<20<x<2 ועולה בתחום x>2x>2x>2; לה נקודת מקסימום בקצה (0,0)(0,0)(0,0) ונקודת מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt2)(2,−42​).

מצאו את תחום הערכים של הפונקציה, ואת ערכי kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש פתרון אחד בלבד.

שאלה 3 · חקירה וסקיצה של $f (x) = x 4 - x^{2}$ שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−x2f(x)=x\sqrt{4-x^2}f(x)=x4−x2​.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, את נקודות החיתוך של הגרף שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה (כולל נקודות קצה), וקבעו את סוגן. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

שאלה 4 · חקירה וסקיצה של $f (x) = (x - 3) x$ שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)xf(x)=(x-3)\sqrt xf(x)=(x−3)x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודות החיתוך של הגרף שלה עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=3x−32xf'(x)=\frac{3x-3}{2\sqrt x}f′(x)=2x​3x−3​, ומצאו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל קצה התחום) ואת סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

שאלה 5 · חקירה וסקיצה של $f (x) = x - 4 x - 3$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x−4x−3f(x)=x-4\sqrt{x-3}f(x)=x−4x−3​, המוגדרת בתחום x≥3x\ge3x≥3. נתון: f(3)=3f(3)=3f(3)=3.

א.

הראו כי f′(x)=1−2x−3f'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}f′(x)=1−x−3​2​, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

שאלה 6 · מגרף הנגזרת לפונקציה $f (x) = 4 x - x$ שאלה קצרה · בינונית

הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≥0x\ge0x≥0. בסרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), המוגדרת בתחום x>0x>0x>0. הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודה A(4,0)A(4,0)A(4,0).
A(4,0)

א.

היעזרו בגרף: מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), ואת שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון הפנימית שלה. קבעו את סוגה.

ב.

נתון: f(x)=4x−xf(x)=4\sqrt x-xf(x)=4x​−x. מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים ואת שיעורי נקודת הקיצון הפנימית.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חיתוכים, קיצון וסקיצה כשהנגזרת נתונה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(8-x)\sqrt{x+4}$ . הנגזרת שלה היא $f'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{x+4}}$ .
חקירה מלאה וסקיצה של מכפלה עם שורש של ביטוי ריבועי (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+3)\sqrt{9-x^2}$ .

שאלה 1 · מספר הפתרונות של משוואה לפי תחומי העלייה והירידהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · תחום ערכים ומספר פתרונות של f(x)=kשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · חקירה וסקיצה של f(x)=x4−x2​שאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · חקירה וסקיצה של f(x)=(x−3)x​שאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · חקירה וסקיצה של f(x)=x−4x−3​שאלת ביניים · קשה

שאלה 6 · מגרף הנגזרת לפונקציה f(x)=4x​−xשאלה קצרה · בינונית