שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרה - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון של פונקציית שורש, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרה, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות פונקציות כמו (x-6)√x ו-x ועוד 4√(5-x), שורש של ביטוי ריבועי, פונקציה שמוגדרת רק בתחום חסום, ופרמטרים שנקבעים לפי המשיק או לפי תחום החיוביות של הנגזרת. רוב השאלות ברמה קשה ובינונית, ויש גם קלה. מתאים לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

19 שאלותקלה: 1בינונית: 8קשה: 10

שאלה 1 · נקודות קיצון, כולל קיצון בקצה התחוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(x−6)⋅xf(x)=(x-6)\cdot\sqrt{x}f(x)=(x−6)⋅x​.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 2 · נגזרת של שורש וסימן הנגזרתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+25f(x)=\sqrt{x^2-6x+25}f(x)=x2−6x+25​.

הראו כי הפונקציה מוגדרת לכל xxx, ומצאו את נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.

שאלה 3 · פרמטר, תחום הגדרה ותחומי עלייה וירידה של שורששאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+16f(x)=\sqrt{x^2+ax+16}f(x)=x2+ax+16​, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את aaa ואת תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 4 · נגזרת של סכום פולינום ושורש ונקודות קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+45−xf(x)=x+4\sqrt{5-x}f(x)=x+45−x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והראו כי f′(x)=1−25−xf'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{5-x}}f′(x)=1−5−x​2​.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), כולל נקודות קצה, וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · פרמטר מתוך סימן הנגזרת, ערך מקסימלי וחיתוך עם ציר xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x−kxf(x)=\sqrt{x}-kxf(x)=x​−kx בתחום x≥0x\ge0x≥0, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) נמצא מעל ציר ה-xxx בדיוק בתחום 0<x<40<x<40<x<4.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה fff, ונמקו.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה fff עם ציר ה-xxx.

שאלה 6 · גזירת מכפלה וקיצון, כולל קצה התחוםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)16−xf(x)=(x-4)\sqrt{16-x}f(x)=(x−4)16−x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי f′(x)=36−3x216−xf'(x)=\frac{36-3x}{2\sqrt{16-x}}f′(x)=216−x​36−3x​.

ג.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 7 · פרמטר ממשיק מאונך, ואחר כך נקודת קיצוןשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)2x+1f(x)=(x-a)\sqrt{2x+1}f(x)=(x−a)2x+1​, כאשר aaa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=4x=4x=4 מאונך לישר y=xy=xy=x.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה שאינה בקצה תחום ההגדרה, וקבעו את סוגה.

שאלה 8 · קיצון פנימי וקיצון בקצה של סכום שורש ופונקציה קוויתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=16−2x+12xf(x)=\sqrt{16-2x}+\frac12xf(x)=16−2x​+21​x, המוגדרת בתחום x≤8x\le8x≤8.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 9 · תחומי עלייה וירידה כשתחום ההגדרה מפוצלשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=x2+6xg(x)=\sqrt{x^2+6x}g(x)=x2+6x​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 10 · תחומי עלייה וירידה, מינימום פנימי ומקסימום בקצה, וערך גדול ביותר בקטעשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xx−3xf(x)=x\sqrt{x}-3xf(x)=xx​−3x.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי כל נקודות הקיצון שלה (כולל קצה תחום ההגדרה). קבעו את סוגן.

ג.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בקטע 0≤x≤160\le x\le160≤x≤16.

עוד 9 שאלות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

קיצון פנימי כשתחום ההגדרה מפוצל (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x^2-4x+3}$ .
חקירה וסקיצה של $f (x) = (x - 3) x$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-3)\sqrt x$ .
חקירה וסקיצה של $f (x) = x 4 - x^{2}$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$ .
נקודות קיצון ובחירת גרף הנגזרת של $f (x) = (x - 4) x$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-4)\sqrt{x}$ . לפניכם ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירה וסקיצה של $f (x) = x - 4 x - 3$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-4\sqrt{x-3}$ , המוגדרת בתחום $x\ge3$ . נתון: $f(3)=3$ .
פרמטר מנקודת קיצון ומציאת כל נקודות הקיצון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-x)\sqrt x$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית שבה $x=2$ .
זיהוי גרף הפונקציה וגרף הנגזרת על אותה מערכת צירים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-3)\sqrt{x+3}$ , המוגדרת בתחום $x\ge-3$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x>-3$ . בסרטוט שלפניכם שני גרפים, I…
פרמטר מערך ה- $y$ של נקודת קיצון (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{2x+b}-\frac12x$ , כאשר $b$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית ששיעור ה- $y$ שלה הוא $3$ .
הזזה אנכית שבה ציר ה- $x$ משיק לגרף (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ .