שאלות פתוחות: חישוב צלע במשולש ישר זווית - כיתה י' 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חישוב צלע במשולש ישר זווית בעזרת טריגונומטריה, לכיתה י', 4 יחידות. השאלות כוללות סולם שנשען על קיר בזווית נתונה, מגדל שרואים את ראשו משתי נקודות, משולש ישר זווית עם זווית וניצב נתונים, גובה ליתר, ומשולש שקודקודיו במערכת צירים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה עם בעיות מילוליות וגאומטריות, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

19 שאלותקלה: 4בינונית: 11קשה: 4

שאלה 1 · סולם נשען על קיר: חישוב ניצבים לפי יתר וזוויתשאלה קצרה · קלה

סולם שאורכו 666 מ' נשען על קיר אנכי. הקצה התחתון של הסולם מונח על רצפה אופקית, והסולם יוצר עם הרצפה זווית של 68∘68^\circ68∘.

א.

לאיזה גובה על הקיר מגיע הקצה העליון של הסולם?

ב.

מה המרחק בין הקצה התחתון של הסולם לבין הקיר?

שאלה 2 · סולם נשען על קיר: מה קורה ב-0° וב-90°שאלת ביניים · בינונית

סולם שאורכו 555 מ' נשען על קיר אנכי, ורגלו מונחת על רצפה אופקית. הזווית בין הסולם לרצפה היא α\alphaα. נסמן ב-hhh את גובה הקצה העליון של הסולם מעל הרצפה, וב-ddd את המרחק של רגל הסולם מהקיר (ראו סרטוט).
hdα

א.

הביעו את hhh ואת ddd באמצעות α\alphaα.

ב.

הציבו בביטויים שמצאתם בסעיף א' את α=0∘\alpha=0^\circα=0∘ ואת α=90∘\alpha=90^\circα=90∘, ותארו במילים את מצב הסולם בכל אחד מהמקרים.

ג.

חשבו את היחס hd\frac{h}{d}dh​ עבור α=60∘\alpha=60^\circα=60∘, והראו שהוא שווה ל-tan⁡60∘\tan60^\circtan60∘. מה קורה ליחס hd\frac{h}{d}dh​ כאשר α=90∘\alpha=90^\circα=90∘, ומה זה מלמד על tan⁡90∘\tan90^\circtan90∘?

שאלה 3 · חוצה זווית וטריגונומטריה במערכת ציריםשאלה קצרה · קשה

המשולש ABCABCABC ישר זווית ב-BBB, ו-BBB היא ראשית הצירים. הקודקוד A(0,8)A(0,8)A(0,8) נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד CCC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xxx.
הקטע ADADAD חוצה את הזווית BACBACBAC, והנקודה D(4,0)D(4,0)D(4,0) נמצאת על הצלע BCBCBC (ראו סרטוט).
ABDC

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC ואת משוואת הישר ACACAC.

שאלה 4 · היקף ושטח של משולש ישר זווית לפי ניצב וזוויתשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה. נתון: AC=12AC=12AC=12 ס"מ, ∠A=40∘\angle A=40^\circ∠A=40∘.
CAB

חשבו את ההיקף ואת השטח של המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · מ-sinα לצלעות של משולש ישר זוויתשאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה, ו-∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α. נתון: sin⁡α=513\sin\alpha=\frac{5}{13}sinα=135​, BC=10BC=10BC=10 (ראו סרטוט).
αCAB

א.

מצאו את cos⁡α\cos\alphacosα בעזרת הזהות sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1sin2α+cos2α=1.

ב.

חשבו את אורך היתר ABABAB.

ג.

חשבו את אורך הניצב ACACAC בעזרת cos⁡α\cos\alphacosα, ובדקו את התוצאה במשפט פיתגורס.

שאלה 6 · גובה מגדל משתי נקודות תצפיתשאלה קצרה · קשה

מגדל עומד על קרקע אופקית. מהנקודה AAA שעל הקרקע רואים את ראש המגדל בזווית של 30∘30^\circ30∘ מעל הקרקע. מתקרבים אל המגדל לאורך קו ישר 202020 מ', עד הנקודה BBB, ומשם רואים את ראש המגדל בזווית של 60∘60^\circ60∘ מעל הקרקע. הנקודות AAA ו-BBB ובסיס המגדל נמצאים על ישר אחד.

מצאו את גובה המגדל ואת המרחק מהנקודה BBB לבסיס המגדל.

שאלה 7 · זווית קהה במשולש: גובה שנופל מחוץ למשולששאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: AB=7AB=7AB=7, AC=8AC=8AC=8, ושטח המשולש הוא 14314\sqrt3143​.

א.

מצאו את sin⁡∠BAC\sin\angle BACsin∠BAC ואת שני הערכים האפשריים של הזווית BACBACBAC.

ב.

CDCDCD הוא הגובה מהקודקוד CCC לישר ABABAB. נתון כי הנקודה DDD נמצאת על המשך הצלע BABABA, מעבר לנקודה AAA. מצאו את גודל הזווית BACBACBAC, ואת אורכי הקטעים CDCDCD ו-ADADAD.

ג.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

שאלה 8 · הגובה ליתר: הבעת קטעים באמצעות $α$ שאלת ביניים · קשה

במשולש ישר הזווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘) הקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB. נתון: AB=20AB=20AB=20. נסמן ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את אורכי הקטעים ACACAC ו-ADADAD.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את אורכי הקטעים CDCDCD ו-DBDBDB.

ג.

נתון כי DB=3⋅ADDB=3\cdot ADDB=3⋅AD. מצאו את α\alphaα ואת אורך הגובה CDCDCD.

שאלה 9 · מזווית לשיפוע: ישרים בזוויות $6 0^{\circ}$ ו- $3 0^{\circ}$ עם ציר ה- $x$ שאלת ביניים · בינונית

הישר ℓ\ellℓ עובר דרך הנקודה A(−2,0)A(-2,0)A(−2,0) ויוצר זווית של 60∘60^\circ60∘ עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx. הישר ℓ\ellℓ חותך את ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את השיפוע של הישר ℓ\ellℓ ואת משוואתו.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB, וחשבו את אורך הקטע ABABAB בעזרת טריגונומטריה.

ג.

הישר BCBCBC יורד, יוצר זווית חדה של 30∘30^\circ30∘ עם ציר ה-xxx, וחותך את ציר ה-xxx בנקודה CCC. מצאו את שיעורי הנקודה CCC ואת השיפוע של הישר BCBCBC, והראו כי ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

שאלה 10 · שטח טרפז ישר זווית שאלכסונו מאונך לשוקשאלה קצרה · קשה

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC) נתון: ∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ∠DAB=90∘, AD=6AD=6AD=6 ס"מ, ∠ABD=30∘\angle ABD=30^\circ∠ABD=30∘. האלכסון BDBDBD מאונך לשוק BCBCBC (ראו סרטוט).
30°ABCD

חשבו את שטח הטרפז.

עוד 5 שאלות על חישוב צלע במשולש ישר זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

צלע במשולש ישר זווית במערכת צירים לפי השטח (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $OKL$ : $O$ ראשית הצירים, $K(8,0)$ , והקודקוד $L$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . נסמן $\angle OKL=\beta$ .
חישוב קטעים במשולשים ישרי זווית שנוצרים מאלכסונים מאונכים (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט). נתון:…
סולם נשען על קיר: זווית הסולם עם הקרקע (שאלת ביניים · בינונית)
סולם שאורכו $6.5$ מ' נשען על קיר אנכי. תחתית הסולם, $A$ , נמצאת על קרקע אופקית במרחק $2.5$ מ' מהקיר, וראש הסולם, $B$ , נשען על הקיר. $C$ היא…
היקף משולש ישר זווית כשנתונים השטח וזווית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. נתון: $\angle B=50^\circ$ , ושטח המשולש הוא $30$ סמ"ר.
היקף ושטח של משולש שהגובה ליתר חותך (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הוא הגובה ליתר $AB$ . נתון: $AB=20$ ס"מ, $\angle B=35^\circ$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הניצב שמול זווית של 30° והמשפט ההפוך (שאלה קצרה · קלה)
שני הסעיפים עוסקים במשולשים שונים ואינם תלויים זה בזה.
אורך רמפה מהגובה ומזווית השיפוע (שאלה קצרה · קלה)
רמפה לכיסא גלגלים מובילה מהמדרכה אל פתח של בניין. הרמפה עולה לגובה של $0.6$ מ', והיא יוצרת עם המדרכה האופקית…
מידות מסך מלבני מזווית האלכסון ומההיקף (שאלה קצרה · בינונית)
מסך טלוויזיה הוא מלבן $ABCD$ , והצלע $AB$ היא הצלע התחתונה שלו. האלכסון $AC$ יוצר עם הצלע $AB$ זווית של…
צלע של משולש כסכום היטלים של שתי הצלעות האחרות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ מסמנים ב- $a,b,c$ את הצלעות שמול הזוויות $\alpha,\beta,\gamma$ בהתאמה. הזוויות $\beta$ ו- $\gamma$ …