שאלות פתוחות: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית - כיתה י' 5 יח"ל

תרגול בשאלות פתוחות על זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית לכיתה י' 5 יחידות. יש חישוב זוויות כשהמרכז נמצא בתוך הזווית ההיקפית או מחוצה לה, הוכחה של המשפט בעזרת קוטר, כוכב עם 7 קודקודים שחסום במעגל, משולש חד-זוויות חסום עם גובה לצלע, וחוצה זווית שחותך את המעגל באמצע קשת. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה. בחרו שאלות לבוחן או למבחן במעגל, עם פתרונות מלאים וקובץ Word.

13 שאלותקלה: 1בינונית: 7קשה: 5

שאלה 1 · זווית היקפית מתוך האנך מהמרכז למיתרשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר PQPQPQ. KKK היא נקודה על המיתר כך ש-OK⊥PQOK\perp PQOK⊥PQ, ו-∠POK=35∘\angle POK=35^\circ∠POK=35∘.
NNN היא נקודה על הקשת הגדולה PQPQPQ.
35°OPQKN

מצאו את הזווית PNQPNQPNQ.

שאלה 2 · חוצה זווית מרכזית ומקבילותשאלה קצרה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO. הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל, כך ש-ODODOD חוצה את הזווית AOCAOCAOC.
OABCD

א.

הוכיחו כי OD∥BCOD\parallel BCOD∥BC.

ב.

נתון: ∠ABC=35∘\angle ABC=35^\circ∠ABC=35∘. מצאו את ∠ODC\angle ODC∠ODC.

שאלה 3 · סכום זוויות של כוכב החסום במעגלשאלה קצרה · קשה

במעגל שמרכזו בנקודה OOO חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים ACACAC, CECECE, EGEGEG, GBGBGB, BDBDBD, DFDFDF, FAFAFA (ראו סרטוט).
OABCDEFG

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: ∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G הוא 540∘540^\circ540∘.

שאלה 4 · הוכחת המשפט: זווית מרכזית כפולה מזווית היקפיתשאלת ביניים · בינונית

במעגל שמרכזו OOO הנקודות AAA, BBB, CCC נמצאות על המעגל, והמרכז OOO נמצא בתוך הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB∠ACB. מעבירים את הקוטר CDCDCD.
OCABD

א.

הוכיחו כי ∠AOD=2∠ACO\angle AOD=2\angle ACO∠AOD=2∠ACO.

ב.

הוכיחו כי ∠AOB=2∠ACB\angle AOB=2\angle ACB∠AOB=2∠ACB.

שאלה 5 · הגובה והרדיוס מקודקוד של משולש חסוםשאלת ביניים · קשה

משולש חד-זוויות ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO, והמרכז OOO נמצא בתוך המשולש. ADADAD הוא הגובה לצלע BCBCBC. נסמן: ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β.
OABCD

א.

הביעו באמצעות β\betaβ את הזווית ∠OAC\angle OAC∠OAC.

ב.

הוכיחו: ∠BAD=∠OAC\angle BAD=\angle OAC∠BAD=∠OAC.

ג.

נתון: ∠BAC=70∘\angle BAC=70^\circ∠BAC=70∘, ∠ABC=65∘\angle ABC=65^\circ∠ABC=65∘. מצאו את הזווית ∠DAO\angle DAO∠DAO שבין הגובה ADADAD לרדיוס AOAOAO.

שאלה 6 · חוצה הזווית הישרה ואמצע הקשתשאלה קצרה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, ו-CCC היא נקודה על המעגל (שונה מ-AAA ומ-BBB). חוצה הזווית ∠ACB\angle ACB∠ACB חותך את המעגל בנקודה נוספת DDD (ראו סרטוט).
OABCD

הוכיחו כי DDD היא אמצע הקשת ABABAB שאינה מכילה את CCC, וכי OD⊥ABOD\perp ABOD⊥AB.

שאלה 7 · אמצע קשת וזוויות במשולש שמחוץ למעגלשאלה קצרה · קשה

משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC. נתון: ∠ABC=48∘\angle ABC=48^\circ∠ABC=48∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α. הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-CE=CACE=CACE=CA, כמתואר בסרטוט.
OABCDE

הביעו באמצעות α\alphaα את זוויות המשולש ACE.

שאלה 8 · זווית בין מיתרים נחתכים לפי הקשתותשאלה קצרה · בינונית

במעגל שלפניכם שני מיתרים נחתכים בנקודה שבתוך המעגל.

הסרטוט לסעיף א:
ACBDP
במעגל שבסרטוט המיתרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה PPP. נתון: הקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB ואת DDD) היא 80∘80^\circ80∘, והקשת BDBDBD (שאינה מכילה את AAA ואת CCC) היא 120∘120^\circ120∘. מעבירים את המיתר BCBCBC. חשבו את ∢ABC\sphericalangle ABC∢ABC, את ∢BCD\sphericalangle BCD∢BCD ואת ∢BPD\sphericalangle BPD∢BPD.

שאלה 9 · זווית היקפית על הקשת הגדולהשאלת ביניים · קשה

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאינו קוטר, ו-∠OAB=β\angle OAB=\beta∠OAB=β. הנקודה CCC נמצאת על הקשת הקטנה ABABAB.
βOABC

א.

הביעו באמצעות β\betaβ את גודל הזווית ∠ACB\angle ACB∠ACB.

ב.

נתון כי ∠ACB=4∠OAB\angle ACB=4\angle OAB∠ACB=4∠OAB. מצאו את β\betaβ ואת ∠AOB\angle AOB∠AOB.

שאלה 10 · זווית היקפית מול צלע ידועה: שתי אפשרויותשאלה קצרה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 101010 ס"מ. נתון BC=103BC=10\sqrt{3}BC=103​ ס"מ.

מצאו את כל הגדלים האפשריים של הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC.

עוד 3 שאלות על זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרכז המעגל החוסם מחוץ למשולש (שאלה קצרה · קשה)
הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החוסם את המשולש $ABC$ . הנקודות $A$ ו- $O$ נמצאות משני צדדים שונים של הישר $BC$ . נתון: $\angle OAB=40^\circ$ ,…
צלעות ושטח של משולש חסום מזוויותיו (שאלת ביניים · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ ס"מ. נתון: $\angle BAC=45^\circ$ , $\angle ACB=30^\circ$ .
מזוויות משולש ההשקה לזוויות המשולש (שאלה קצרה · בינונית)
המעגל החסום במשולש $ABC$ משיק לצלעות $AB$ , $BC$ , $CA$ בנקודות $D$ , $E$ , $F$ בהתאמה. נתון: $\angle DEF=55^\circ$ , $\angle DFE=60^\circ$ .