שאלות פתוחות: זוויות היקפיות על אותה קשת ועל קשתות שוות - כיתה י' 5 יח"ל

בעמוד זה שאלות פתוחות על זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת או על קשתות שוות לכיתה י' 5 יחידות. התלמידים מחשבים זוויות במיתרים נחתכים, מוכיחים דמיון ושוויון זוויות במרובע חסום, עובדים עם ריבוע חסום ונקודה על הקשת, עם משולש שווה צלעות חסום ומיתר מקביל, ועם חוצי זוויות שחותכים את המעגל. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה ואפשרות להוריד ל-Word.

13 שאלותקלה: 3בינונית: 6קשה: 4

שאלה 1 · זוויות היקפיות על אותה קשת ומיתרים נחתכיםשאלה קצרה · קלה

הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות לפי סדר זה על מעגל, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABD=30∘\angle ABD=30^\circ∠ABD=30∘, ∠BDC=42∘\angle BDC=42^\circ∠BDC=42∘.
ABCDE

מצאו את גודל הזווית ∠AED\angle AED∠AED.

שאלה 2 · זוויות היקפיות על צלעות ריבוע חסוםשאלה קצרה · בינונית

ABCDABCDABCD הוא ריבוע החסום במעגל. הנקודה EEE נמצאת על הקשת הקטנה ADADAD, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

הוכיחו: ∠AEB=∠BEC=∠CED\angle AEB=\angle BEC=\angle CED∠AEB=∠BEC=∠CED.

שאלה 3 · זוויות היקפיות על קשתות שוותשאלה קצרה · קשה

הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות על מעגל בסדר זה, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE. נתון: AB=BCAB=BCAB=BC.
ABCDE

הוכיחו כי ∠AEB=∠BAD\angle AEB=\angle BAD∠AEB=∠BAD.

שאלה 4 · גובה במשולש חסום וזוויות היקפיותשאלה קצרה · קלה

המשולש ABCABCABC חסום במעגל, ובו ∠ABC=48∘\angle ABC=48^\circ∠ABC=48∘ ו-∠ACB=72∘\angle ACB=72^\circ∠ACB=72∘. ADADAD הוא הגובה לצלע BCBCBC, והמשכו חותך את המעגל בנקודה FFF, כמתואר בסרטוט.
ABCFD

מצאו את גודל הזווית ∠ABF\angle ABF∠ABF.

שאלה 5 · זוויות היקפיות במשולש שווה צלעות חסום ומקביליתשאלת ביניים · בינונית

משולש שווה צלעות ABCABCABC חסום במעגל. הנקודה DDD נמצאת על הקשת ACACAC שאינה מכילה את BBB.
דרך CCC העבירו מיתר CLCLCL המקביל ל-BDBDBD. המיתרים ALALAL ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE (ראו ציור).
ABCDLE

א.

מצאו את הזוויות ∢ADB\sphericalangle ADB∢ADB ו-∢CDB\sphericalangle CDB∢CDB, ונמקו.

ב.

הראו כי ∢ALC=60∘\sphericalangle ALC=60^\circ∢ALC=60∘, והסיקו כי AL∥CDAL\parallel CDAL∥CD.

ג.

הוכיחו כי המרובע LEDCLEDCLEDC הוא מקבילית.

שאלה 6 · חוצי זוויות במשולש חסום: הנקודה D על המעגלשאלת ביניים · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC חותך את המעגל בנקודה DDD (שונה מ-AAA). חוצה הזווית ∠ABC\angle ABC∠ABC חותך את הקטע ADADAD בנקודה III. נסמן: ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha∠BAC=2α, ∠ABC=2β\angle ABC=2\beta∠ABC=2β.
ABCDI

א.

הוכיחו: ∠DBC=∠DCB=α\angle DBC=\angle DCB=\alpha∠DBC=∠DCB=α, והסיקו כי DB=DCDB=DCDB=DC.

ב.

הוכיחו: DI=DBDI=DBDI=DB.

ג.

נתון: ∠BAC=64∘\angle BAC=64^\circ∠BAC=64∘, ∠ABC=50∘\angle ABC=50^\circ∠ABC=50∘. מצאו את זוויות המשולש BDIBDIBDI.

שאלה 7 · מרובע חסום: זיהוי משולשים דומים לפי זוויות היקפיותשאלה קצרה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. הנקודה EEE נמצאת על האלכסון ACACAC כך ש-∠ABE=∠DBC\angle ABE=\angle DBC∠ABE=∠DBC, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

הוכיחו כי △ABE∼△DBC\triangle ABE\sim\triangle DBC△ABE∼△DBC.

שאלה 8 · מיתרים שווים ומשולש שווה צלעות במעגלשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל. נתון: ∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ∠ABC=70∘, ∠ACB=50∘\angle ACB=50^\circ∠ACB=50∘. הנקודה DDD נמצאת על הקשת ACACAC שאינה מכילה את BBB, כך ש-CD=CBCD=CBCD=CB.
ABCD

א.

מצאו את גודל הזווית ∠ABD\angle ABD∠ABD.

ב.

הוכיחו כי המשולש BCDBCDBCD שווה צלעות.

שאלה 9 · מזוויות שוות לטרפז שווה שוקייםשאלת ביניים · קשה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל (הקודקודים לפי סדר זה). נתון: ∠ACB=∠CAD\angle ACB=\angle CAD∠ACB=∠CAD, AD>BCAD>BCAD>BC.
ABCD

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז שווה שוקיים.

ב.

נתון גם: AD=14AD=14AD=14 ס"מ, BC=4BC=4BC=4 ס"מ, והיקף המרובע הוא 444444 ס"מ. חשבו את שטח המרובע.

שאלה 10 · מיתרים נחתכים: אורך מיתר מדמיון משולשיםשאלה קצרה · בינונית

המיתרים ACACAC ו-BDBDBD של מעגל נחתכים בנקודה EEE. נתון: AE=4AE=4AE=4 ס"מ, BE=6BE=6BE=6 ס"מ, CE=9CE=9CE=9 ס"מ, AB=5AB=5AB=5 ס"מ.

מצאו את אורך המיתר DCDCDC.

עוד 3 שאלות על זוויות היקפיות על אותה קשת ועל קשתות שוות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק באמצע קשת ומיתר מקביל (שאלה קצרה · קשה)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל, ו-E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A. בנקודה E מעבירים משיק למעגל, והנקודות S ו-T נמצאות עליו משני צדי E…
מיתרים נחתכים: דמיון ויחס קטעים (שאלת ביניים · בינונית)
במעגל שני מיתרים נחתכים בנקודה שבתוך המעגל.
שני מעגלים נחתכים: משולשים דומים לכל ישר דרך נקודת החיתוך (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר העובר דרך $A$ חותך את המעגל השמאלי בנקודה $C$ ואת המעגל הימני בנקודה $D$ . ישר אחר העובר דרך $A$ …