שאלות פתוחות: מערכת משוואות לינאריות בייצוג גרפי: פתרון יחיד, אין פתרון, אינסוף פתרונות - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על מערכת משוואות לינאריות בייצוג גרפי: פתרון יחיד, אין פתרון, אינסוף פתרונות, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "הקו הישר". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מספר הפתרונות של מערכת לפי המצב ההדדי של הישריםשאלה קצרה · קלה

לפניכם שלוש מערכות של שתי משוואות לינאריות:
(1) {y=3x−26x−2y=4(2) {y=−x+42x+2y=5(3) {y=2x+1x+y=1\text{(1)}\ \begin{cases}y=3x-2\\6x-2y=4\end{cases}\qquad\text{(2)}\ \begin{cases}y=-x+4\\2x+2y=5\end{cases}\qquad\text{(3)}\ \begin{cases}y=2x+1\\x+y=1\end{cases}(1) {y=3x−26x−2y=4​(2) {y=−x+42x+2y=5​(3) {y=2x+1x+y=1​

קבעו עבור כל מערכת אם יש לה פתרון יחיד, אין לה פתרון או שיש לה אינסוף פתרונות, ונמקו לפי המצב ההדדי של שני הישרים. למערכת שיש לה פתרון יחיד - מצאו אותו.

שאלה 2 · בחירת משוואה שנייה לפי מספר הפתרונותשאלה קצרה · בינונית

נתון הישר ℓ: 2x+3y=12\ell:\ 2x+3y=12ℓ: 2x+3y=12 ונתונה הנקודה P(0,−2)P(0,-2)P(0,−2).
ℓ
P
ענו על שני הסעיפים. הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה PPP, כך שלמערכת המשוואות של ℓ\ellℓ ושל הישר הזה אין פתרון.

ב.

מצאו את הערכים של aaa ושל ccc שעבורם למערכת 
{2x+3y=124x+ay=c\begin{cases}2x+3y=12\\4x+ay=c\end{cases}{2x+3y=124x+ay=c​
 יש אינסוף פתרונות.

שאלה 3 · מערכת עם פרמטר: מיון לפי מספר הפתרונותשאלה קצרה · קשה

נתונה מערכת המשוואות, כאשר kkk פרמטר:
{(k−1)x+2y=43x+ky=k+3\begin{cases}(k-1)x+2y=4\\3x+ky=k+3\end{cases}{(k−1)x+2y=43x+ky=k+3​

מצאו עבור אילו ערכים של kkk יש למערכת פתרון יחיד, עבור אילו אין לה פתרון ועבור אילו יש לה אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות, רשמו את משוואת הישר שכל נקודותיו הן פתרונות.

שאלה 4 · פתרון מערכת משוואות בעזרת גרףשאלה קצרה · קלה

בגרף שלפניכם מתוארים הישרים ℓ1: y=x+1\ell_1:\ y=x+1ℓ1​: y=x+1 ו-ℓ2: y=−2x+7\ell_2:\ y=-2x+7ℓ2​: y=−2x+7.
ℓ1​ℓ2​
-2-1123456-2-112345678

היעזרו בגרף ומצאו את הפתרון של מערכת המשוואות 
{y=x+1y=−2x+7\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+7\end{cases}{y=x+1y=−2x+7​
. בדקו את הפתרון בהצבה בשתי המשוואות.

שאלה 5 · מערכת עם שני פרמטרים: אינסוף פתרונות ואין פתרוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה מערכת המשוואות 2x+ay=12x+ay=12x+ay=1, ax+8y=bax+8y=bax+8y=b, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

א.

מצאו את כל הזוגות (a,b)(a,b)(a,b) שעבורם למערכת יש אינסוף פתרונות.

ב.

עבור אילו ערכים של aaa ו-bbb אין למערכת אף פתרון?

שאלה 6 · מערכת עם פרמטר: מתי נקודת החיתוך ברביע הראשוןשאלת ביניים · קשה

נתונה מערכת המשוואות, כאשר kkk פרמטר:
{x+2y=6kx+4y=3k\begin{cases}x+2y=6\\kx+4y=3k\end{cases}{x+2y=6kx+4y=3k​

א.

הראו שאין ערך של kkk שעבורו למערכת יש אינסוף פתרונות, ומצאו את הערך של kkk שעבורו אין למערכת פתרון.

ב.

עבור k≠2k\ne2k=2 פתרו את המערכת: הביעו באמצעות kkk את xxx ואת yyy.

ג.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם נקודת החיתוך של שני הישרים נמצאת ברביע הראשון (לא על הצירים).

שאלה 7 · מספר הפתרונות של מערכת ומיקום הפתרוןשאלה קצרה · בינונית

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

נתונה מערכת המשוואות 
{2x+y=54x+2y=c\begin{cases}2x+y=5\\4x+2y=c\end{cases}{2x+y=54x+2y=c​
, כאשר ccc פרמטר. עבור אילו ערכים של ccc יש למערכת אינסוף פתרונות, ועבור אילו ערכים אין לה פתרון?

ב.

נתונה מערכת המשוואות 
{x+y=3ax−y=1\begin{cases}x+y=3\\ax-y=1\end{cases}{x+y=3ax−y=1​
, כאשר aaa פרמטר. מצאו את aaa שעבורו למערכת יש פתרון יחיד, והוא נקודה על ציר ה-xxx.