מבחן לדוגמה: קדם אנליזה: הפונקציה 1/f(x) - כיתה י"א 4 יח"ל

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $g(x)$, את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

מצאו באמצעות $a$ את נקודות המפגש של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

בנקודת המפגש שבה $x>a$ העבירו משיק לגרף של $f(x)$ ומשיק לגרף של $g(x)$. הראו כי שני המשיקים וציר ה-$x$ יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-$a$, ומצאו את שטחו.

הביעו באמצעות $a$ את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$, $g(x)$ וציר ה-$y$.

מצאו את $f(x)$ ואת תחום ההגדרה של $g(x)$.

מצאו את התחומים שבהם $g(x)$ חיובית ואת התחומים שבהם $g(x)$ שלילית.

הסבירו מדוע לגרף של $g(x)$ אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$. מצאו את ערכי $x$ שבהם $g(x)=-\frac{1}{7}$, ובדקו שהם מתאימים לתחומים שמצאתם בסעיף ב.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $g(x)$, את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

מצאו באמצעות $a$ את נקודות המפגש של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

מצאו את $m$ ואת משוואת האסימפטוטה האנכית.

תארו את התנהגות הפונקציה $g(x)$ משני צדי האסימפטוטה האנכית.

הוכיחו כי לפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

לאילו ערכים של $m$ יש לגרף הפונקציה בדיוק שני משיקים ששיפועם $m$?

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $A$ שברביע הראשון ששיפועו 5 חותך את ציר ה-$x$ בנקודה שבה $x=0.6$. מצאו את $b$.

עבור ה-$b$ שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f'(x)}$. מצאו את נקודת הקיצון של $g(x)$, קבעו את סוגה, ורשמו את האסימפטוטה האופקית של $g(x)$.

הראו כי שטח המלבן אינו תלוי במיקום הנקודה $P$, ומצאו אותו.

נתון כי היקף המלבן הוא $\frac{20}{3}$. מצאו את שיעורי הנקודה $P$.

חשבו את שטח המרובע $ABCD$.

מצאו את $f(x)$.

מצאו את ערכי $x$ שעבורם $g(x)\ge\frac{1}{3}$.