שאלות פתוחות: אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אסימפטוטות אנכיות של 1/f(x) ועל התנהגות הגרף בסביבת נקודת אי-הגדרה, לכיתה י"א 4 יחידות. מוצאים את האסימפטוטות מתוך האפסים של המכנה, ובודקים אם הגרף שואף לפלוס או למינוס אינסוף משמאל ומימין לכל אסימפטוטה. בשאלות עם פרמטר נדרש לקבוע מתי יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד, ויש גם שאלה על הזזה f(x-k) שבה x=0 היא אסימפטוטה. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ואפשר להרכיב מהשאלות בוחן קצר או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

23 שאלותקלה: 4בינונית: 13קשה: 6

שאלה 1 · אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה g(x)=14x2−12x+mg(x)=\frac{1}{4x^2-12x+m}g(x)=4x2−12x+m1​, כאשר mmm הוא פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

א.

מצאו את mmm ואת משוואת האסימפטוטה האנכית.

ב.

תארו את התנהגות הפונקציה g(x)g(x)g(x) משני צדי האסימפטוטה האנכית.

שאלה 2 · אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−2x−8g(x)=\frac{1}{x^2-2x-8}g(x)=x2−2x−81​.

א.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

ב.

מצאו את קבוצת הערכים של g(x)g(x)g(x) בתחום שבין שתי האסימפטוטות האנכיות.

שאלה 3 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−a)2f(x)=(x-a)^2f(x)=(x−a)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

בנקודת המפגש שבה x>ax>ax>a העבירו משיק לגרף של f(x)f(x)f(x) ומשיק לגרף של g(x)g(x)g(x). הראו כי שני המשיקים וציר ה-xxx יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-aaa, ומצאו את שטחו.

ד.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 4 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ : אסימפטוטות ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2f(x)=(x−2)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) נפגשים בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3.

ג.

הפונקציה fff יורדת ב-x<2x<2x<2 ועולה ב-x>2x>2x>2. מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

ד.

הראו כי G(x)=−1x−2G(x)=-\frac{1}{x-2}G(x)=−x−21​ היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

ה.

בציור מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy (השטח המקווקו בציור).

שאלה 5 · אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−(m+1)x+mg(x)=\frac{1}{x^2-(m+1)x+m}g(x)=x2−(m+1)x+m1​, כאשר m≠1m\neq1m=1 הוא פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם מתקיים: כאשר xxx מתקרב ל-111 מימין, g(x)→∞g(x)\to\inftyg(x)→∞.

ב.

עבור ערכי mmm שמצאתם, כיצד מתנהגת g(x)g(x)g(x) כאשר xxx מתקרב ל-111 משמאל?

שאלה 6 · פרמטר מתוך כיוון השאיפה ליד אסימפטוטה אנכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−(m+1)x+mg(x)=\frac{1}{x^2-(m+1)x+m}g(x)=x2−(m+1)x+m1​, כאשר m≠1m\neq1m=1 הוא פרמטר.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם מתקיים: כאשר xxx מתקרב ל-111 מימין, g(x)→∞g(x)\to\inftyg(x)→∞.

שאלה 7 · האסימפטוטות האנכיות של 1/fשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−2x−8g(x)=\frac{1}{x^2-2x-8}g(x)=x2−2x−81​.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

שאלה 8 · אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3f(x)=x2−4x+3, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x−k)g(x)=\frac{1}{f(x-k)}g(x)=f(x−k)1​, כאשר kkk הוא פרמטר. ידוע כי x=0x=0x=0 היא אסימפטוטה אנכית של g(x)g(x)g(x), וכי כאשר xxx מתקרב ל-000 משמאל, g(x)→∞g(x)\to\inftyg(x)→∞.

מצאו את kkk.

שאלה 9 · חיוביות של 1/f והיעדר אסימפטוטות אנכיות עם פרמטרשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−2mx+m+2g(x)=\frac{1}{x^2-2mx+m+2}g(x)=x2−2mx+m+21​, כאשר mmm הוא פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם g(x)g(x)g(x) חיובית בכל נקודה של תחום ההגדרה שלה.

ב.

עבור אילו ערכים של mmm אין לגרף g(x)g(x)g(x) אסימפטוטה אנכית?

שאלה 10 · מציאת פרמטר מנקודה על הגרף ואסימפטוטה אנכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=10x+bf(x)=\frac{10}{x+b}f(x)=x+b10​, כאשר bbb פרמטר. גרף הפונקציה עובר בנקודה (0,2)(0,2)(0,2).

מצאו את bbb ואת משוואת האסימפטוטה האנכית של הגרף.

עוד 11 שאלות על אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-5x+6}$ .
שחזור $f (x)$ ריבועית מתוך האסימפטוטות של $\frac{1}{f ( x )}$ והצד שממנו הגרף מתקרב לאסימפטוטה האופקית (שאלת ביניים · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה ריבועית, ומגדירים $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . ידוע כי: - האסימפטוטות האנכיות של $g(x)$ הן $x=-1$ ו- $x=7$ ; - כאשר $x\to\infty$ …
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x+1)^2$ , $g(x)=\frac{16}{f(x)}$ .
סקיצה של $\frac{1}{x + 2}$ ופתרון אי-שוויון כפול מתוך הסקיצה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x+2}$ .
אסימפטוטות אנכיות: התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-4}$ .
ערכי $m$ שעבורם הישר $y = m$ אינו חותך את גרף $\frac{1}{x ^{2} + 2 x - 8}$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2+2x-8}$ . נסמן $f(x)=x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$ , כך ש- $g=\frac1f$ . האסימפטוטות האנכיות של $g$ הן $x=-4$ ו- $x=2$ ,…
אסימפטוטה אנכית יחידה, שאיפה משני צדיה וערכים גדולים לידה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{4x^2-12x+m}$ , כאשר $m$ הוא פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות של $\frac{1}{x - 2}$ (שאלת ביניים · בינונית)
הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x-2}$ , בתחום $x>2$ . מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $g$ , ונוצר מלבן שקדקודיו הם $P$ ,…
תכונות של $\frac{1}{( x - a ) ^{2}}$ ונקודות המפגש עם $(x - a)^{2}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-a)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , $a>1$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר מנקודת הקיצון, אסימפטוטות ומונוטוניות של $\frac{1}{x ^{2} - 6 x + k}$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-6x+k}$ , כאשר $k$ פרמטר. לגרף הפונקציה יש נקודת מקסימום $\left(3,-\frac{1}{4}\right)$ .
מגרף פרבולה לסקיצה של $\frac{1}{f ( x )}$ ולמספר הפתרונות של $g (x) = k$ (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה הריבועית $f(x)$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-3,0)$ ו- $(1,0)$ , חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,-3)$ , ונקודת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 8
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .