שאלות פתוחות: עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x) - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך הפונקציה f(x), לכיתה י"א 4 יחידות. הרעיון המרכזי הוא שכאשר f עולה, 1/f יורדת, ולכן קדקוד הפרבולה הופך לנקודת קיצון של g. יש שאלות שבהן מוצאים פרמטר מתוך ערך המקסימום של g או מתוך כך שאין לה אסימפטוטות אנכיות, ויש שאלות על פולינום ממעלה שלישית עם גרף. השאלות בינוניות ברובן, לצד שאלות קשות ומעט קלות, ובוחרים את השאלות המתאימות לדף עבודה או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

26 שאלותקלה: 2בינונית: 15קשה: 9

שאלה 1 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ : אסימפטוטות ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2f(x)=(x−2)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) נפגשים בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3.

ג.

הפונקציה fff יורדת ב-x<2x<2x<2 ועולה ב-x>2x>2x>2. מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

ד.

הראו כי G(x)=−1x−2G(x)=-\frac{1}{x-2}G(x)=−x−21​ היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

ה.

בציור מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy (השטח המקווקו בציור).

שאלה 2 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+6x+cf(x)=x^2+6x+cf(x)=x2+6x+c, כאשר ccc פרמטר, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. ידוע כי לגרף g(x)g(x)g(x) אין אסימפטוטות אנכיות, וכי הערך הגדול ביותר של g(x)g(x)g(x) הוא 13\frac{1}{3}31​.

א.

מצאו את ccc.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x), ואת קבוצת הערכים של g(x)g(x)g(x).

שאלה 3 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−4x+mg(x)=\frac{1}{x^2-4x+m}g(x)=x2−4x+m1​, כאשר mmm הוא פרמטר.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם יש לפונקציה g(x)g(x)g(x) נקודת מקסימום מקומי, והביעו באמצעות mmm את שיעורי הנקודה.

שאלה 4 · תחומי העלייה והירידה של 1/f כש-f חיובית תמידשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=x2−4x+5f(x)=x^2-4x+5f(x)=x2−4x+5 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 5 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−6x+ag(x)=\frac{1}{x^2-6x+a}g(x)=x2−6x+a1​, כאשר aaa הוא פרמטר. לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת מקסימום מקומי שבה y=−15y=-\frac{1}{5}y=−51​.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 6 · פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f'שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+5x+bf(x)=x^3-3x^2+5x+bf(x)=x3−3x2+5x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הוכיחו כי לפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

ב.

לאילו ערכים של mmm יש לגרף הפונקציה בדיוק שני משיקים ששיפועם mmm?

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שברביע הראשון ששיפועו 5 חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=0.6x=0.6x=0.6. מצאו את bbb.

ד.

עבור ה-bbb שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​. מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x), קבעו את סוגה, ורשמו את האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

שאלה 7 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)שאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה ריבועית, ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עובר בנקודה (0,14)\left(0,\frac{1}{4}\right)(0,41​), והנקודה (2,12)\left(2,\frac{1}{2}\right)(2,21​) היא נקודת קיצון של g(x)g(x)g(x).

א.

קבעו את סוג נקודת הקיצון (2,12)\left(2,\frac{1}{2}\right)(2,21​) של g(x)g(x)g(x). נמקו.

ב.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

שאלה 8 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−a)2f(x)=(x-a)^2f(x)=(x−a)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

בנקודת המפגש שבה x>ax>ax>a העבירו משיק לגרף של f(x)f(x)f(x) ומשיק לגרף של g(x)g(x)g(x). הראו כי שני המשיקים וציר ה-xxx יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-aaa, ומצאו את שטחו.

ד.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 9 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^2+2x+3f(x)=−x2+2x+3, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 10 · קיצון ותחומי מונוטוניות של 1/f עם נקודות אי-הגדרהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^2+2x+3f(x)=−x2+2x+3, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

עוד 14 שאלות על עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2+kx+9}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות, וכי הערך הגדול ביותר של $g(x)$ …
פרמטר מתוך ערך המקסימום של 1/f ותחומי מונוטוניות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-6x+a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $g(x)$ יש נקודת מקסימום מקומי שבה $y=-\frac{1}{5}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x+1)^2$ , $g(x)=\frac{16}{f(x)}$ .
שחזור $f (x)$ ריבועית מתוך האסימפטוטות של $\frac{1}{f ( x )}$ והצד שממנו הגרף מתקרב לאסימפטוטה האופקית (שאלת ביניים · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה ריבועית, ומגדירים $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . ידוע כי: - האסימפטוטות האנכיות של $g(x)$ הן $x=-1$ ו- $x=7$ ; - כאשר $x\to\infty$ …
עלייה, ירידה ונקודות קיצון של 1/f(x) מתוך f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-4x+5$ ו- $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
סקיצה של $\frac{1}{x + 2}$ ופתרון אי-שוויון כפול מתוך הסקיצה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x+2}$ .
נקודת הקיצון של 1/f כשקדקוד f מתחת לציר ה-x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+3$ . האפסים של $f$ הם $x=1$ ו- $x=3$ .
ערכי $m$ שעבורם הישר $y = m$ אינו חותך את גרף $\frac{1}{x ^{2} + 2 x - 8}$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2+2x-8}$ . נסמן $f(x)=x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$ , כך ש- $g=\frac1f$ . האסימפטוטות האנכיות של $g$ הן $x=-4$ ו- $x=2$ ,…
מציאת f מתוך נקודת קיצון של 1/f (שאלת ביניים · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה ריבועית, ו- $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ , והנקודה…
שחזור $f (x)$ ריבועית מנקודת המקסימום של $\frac{1}{f ( x )}$ ובדיקת מפגש הגרפים (שאלת ביניים · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה ריבועית, ומגדירים $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . לפונקציה $g$ יש נקודת מקסימום $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ , ונתון כי…
אסימפטוטה אופקית וחיתוך עם ישרים אופקיים כש- $f (x)$ חיובית תמיד (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2+6x+10}$ .
תכונות של $\frac{1}{( x - a ) ^{2}}$ ונקודות המפגש עם $(x - a)^{2}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-a)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , $a>1$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר מנקודת הקיצון, אסימפטוטות ומונוטוניות של $\frac{1}{x ^{2} - 6 x + k}$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2-6x+k}$ , כאשר $k$ פרמטר. לגרף הפונקציה יש נקודת מקסימום $\left(3,-\frac{1}{4}\right)$ .
מגרף פרבולה לסקיצה של $\frac{1}{f ( x )}$ ולמספר הפתרונות של $g (x) = k$ (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה הריבועית $f(x)$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-3,0)$ ו- $(1,0)$ , חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,-3)$ , ונקודת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 8
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נקודות החיתוך של $f$ ו- $\frac{1}{f}$ לפי פרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=k+\frac{1}{x^2}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי.