שאלות פתוחות: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על המשפט שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, לכיתה י"א 4 יחידות. השאלות משלבות גאומטריה אנליטית: מוצאים אמצע צלע, משרטטים תיכון ומחשבים שטחים של משולשים שקדקודיהם נתונים במערכת צירים. יש שאלות על משולש החסום במעגל שגובה בו עובר דרך המרכז, על מקבילית שאלכסונה חותך את ציר ה-y, ועל משולש ישר זווית ושווה שוקיים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים לחזרה לקראת מבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

25 שאלותקלה: 4בינונית: 16קשה: 5

שאלה 1 · משולש ישר זווית במערכת צירים: תיכון ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש ABCABCABC שקודקודיו A(−8,0)A(-8,0)A(−8,0), B(0,4)B(0,4)B(0,4), C(−6,6)C(-6,6)C(−6,6). BEBEBE הוא תיכון לצלע ACACAC.
ABCE

א.

הראו כי ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘.

ב.

מצאו את משוואת הצלע ACACAC.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה EEE ואת אורך הקטע ECECEC.

(2)

מצאו את אורך הצלע CBCBCB ואת גודל הזווית CEBCEBCEB.

ד.

מצאו את שטח המשולש ABEABEABE. נמקו.

שאלה 2 · מרובע חסום במעגל במערכת ציריםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC.
ABCDxy

א.

הוכיחו כי ACACAC קוטר במעגל.

ב.

נתון: A(4,3)A(4,3)A(4,3), C(−8,−1)C(-8,-1)C(−8,−1). ידוע כי הקודקודים BBB ו-DDD נמצאים על ציר ה-yyy (ראו ציור).

(1)

מצאו את משוואת המעגל.

(2)

חשבו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD.

ג.

חשבו את גודל הזווית ABDABDABD.

ד.

האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE.

הראו כי: SEDASEDC=AEEC\frac{S_{EDA}}{S_{EDC}}=\frac{AE}{EC}SEDC​SEDA​​=ECAE​ (יחס שטחי המשולשים).

שאלה 3 · מיתר אופקי משתנה במעגל: זווית הראש של משולש חסוםשאלה מלאה · קשה

נתון המעגל (x+2)2+(y−1)2=36(x+2)^2+(y-1)^2=36(x+2)2+(y−1)2=36 שמרכזו MMM. משולש ABCABCABC חסום במעגל. הצלע ABABAB מונחת על הישר y=ky=ky=k, והיא נמצאת מתחת למרכז המעגל (−5<k<1-5<k<1−5<k<1). CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והוא עובר דרך MMM (AAA משמאל ל-BBB).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי AAA ו-BBB ואת אורך הגובה CDCDCD.

ב.

נתון כי שטח המשולש ACMACMACM גדול פי 3 משטח המשולש ADMADMADM. מצאו את kkk, וחשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש ABCABCABC שווה צלעות.

ד.

לאילו ערכים של kkk הזווית ACBACBACB גדולה מ-60∘60^\circ60∘?

שאלה 4 · משולש חסום במעגל: חיתוך עם ישר ושטחשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו M(−1,0)M(-1,0)M(−1,0). הקודקוד C(−6,0)C(-6,0)C(−6,0) נמצא על ציר ה-xxx, והצלע ABABAB נמצאת על הישר y=xy=xy=x, שעובר דרך ראשית הצירים OOO (ראו סרטוט).
ABCMO

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA (ברביע הראשון) ו-BBB.

ג.

מצאו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

הנקודה EEE היא אמצע הצלע ACACAC. מצאו את שטח המשולש EABEABEAB.

שאלה 5 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכזשאלה מלאה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו MMM. CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB. ידוע כי CDCDCD עובר דרך מרכז המעגל.
ABCDM

א.

הוכיחו כי: CA=CBCA=CBCA=CB.

ב.

נתונה משוואת המעגל: (x+1)2+(y−3)2=100(x+1)^2+(y-3)^2=100(x+1)2+(y−3)2=100. משוואת הצלע ABABAB היא: y=−3y=-3y=−3.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

(2)

מצאו את גודל הזוויות של המשולש ACMACMACM.

ד.

(1)

חשבו את אורכי הקטעים CMCMCM ו-DMDMDM.

(2)

חשבו את היחס בין השטחים של המשולשים ACMACMACM ו-ADMADMADM.

שאלה 6 · משולש ישר זווית ושווה שוקיים במערכת ציריםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם משולש ABCABCABC ישר זווית ושווה שוקיים (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘, AC=BCAC=BCAC=BC). שיעורי הקודקוד AAA הם (−16,0)(-16,0)(−16,0). הקודקוד BBB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy, ו-AB=20AB=20AB=20. הקודקוד CCC נמצא מעל הישר ABABAB, כמו בסרטוט.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

BEBEBE הוא תיכון לצלע ACACAC.

מצאו את גודל הזווית CEBCEBCEB.

ד.

הנקודה KKK נמצאת על הקטע EBEBEB כך ששטח המשולש AEKAEKAEK שווה לשטח המשולש AKBAKBAKB. מצאו את אורך הקטע EKEKEK ואת שיעורי הנקודה KKK.

שאלה 7 · מקבילית במערכת צירים: קודקוד, זווית ודמיוןשאלה מלאה · קלה

במקבילית ABCDABCDABCD: A(−9,0)A(-9,0)A(−9,0), B(3,0)B(3,0)B(3,0), C(0,6)C(0,6)C(0,6). הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-yyy, ו-OOO היא ראשית הצירים. האלכסון BDBDBD חותך את COCOCO בנקודה EEE (ראו ציור).
ABCDEO

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ב.

חשבו את הזווית ABCABCABC.

ג.

הוכיחו כי המשולשים OEBOEBOEB ו-CEDCEDCED דומים, ומצאו את יחס הדמיון.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ה.

חשבו את שטח המשולש BECBECBEC.

שאלה 8 · משולש חסום במעגל במערכת צירים: חיתוך, זוויות ושטחיםשאלה מלאה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו MMM, כמתואר בסרטוט.
נתון: M(−7,0)M(-7,0)M(−7,0), C(−20,0)C(-20,0)C(−20,0).
ABCMO

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

נתון: משוואת הצלע ABABAB היא: y=xy=xy=x.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ג.

הנקודה OOO היא ראשית הצירים.

מצאו את גודל הזווית ACOACOACO ואת גודל הזווית AOCAOCAOC.

ד.

מצאו את שטח המשולש ABCABCABC.

ה.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC כך ששטח המשולש EABEABEAB הוא 68.

מצאו את אורך הקטע AEAEAE.

שאלה 9 · מקבילית עם קודקוד משתנה: חלוקת הקטע ותחום השטחשאלה מלאה · קשה

במקבילית ABCDABCDABCD הקודקוד BBB הוא (4,0)(4,0)(4,0), הקודקוד AAA נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx, A(−a,0)A(-a,0)A(−a,0) (a>0a>0a>0), והקודקוד CCC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy. OOO היא ראשית הצירים. האלכסון BDBDBD חותך את COCOCO בנקודה EEE (ראו ציור). נתון: שטח המשולש BOCBOCBOC הוא 12.
ABCDEO

א.

חשבו את הזווית ABCABCABC.

ב.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי הנקודות DDD ו-EEE.

ג.

נתון ששטח המשולש DECDECDEC גדול פי 6.25 משטח המשולש OEBOEBOEB. מצאו את aaa.

ד.

aaa יכול לקבל כל ערך חיובי. מצאו את כל הערכים האפשריים של שטח המשולש BECBECBEC.

שאלה 10 · דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטחשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם דלתון ABCDABCDABCD (AB=CBAB=CBAB=CB, AD=CDAD=CDAD=CD). הקודקוד CCC נמצא ברביע השני. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. נתון: B(0,13)B(0,13)B(0,13), A(−5,1)A(-5,1)A(−5,1).
ABCDxy

א.

(1)

מצאו את אורך הצלע ABABAB.

(2)

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

מצאו את משוואת האלכסון DBDBDB.

ג.

נתון: משוואת הצלע ADADAD היא y=−15xy=-\frac15xy=−51​x.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ד.

הנקודה MMM היא מפגש אלכסוני הדלתון.

מצאו את גודל הזווית ADMADMADM.

ה.

הנקודה EEE היא אמצע הצלע DCDCDC.

חשבו את שטח המשולש ADEADEADE.

עוד 2 שאלות על התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תיכון ושטח משולש במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש $PQR$ שקודקודיו $P(0,0)$ , $Q(8,0)$ , $R(2,6)$ . הנקודה $T$ היא אמצע הצלע $QR$ .
מקבילית במערכת צירים: טנגנס, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במקבילית $ABCD$ : $A(-6,0)$ , $B(4,0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $y$ , ו- $O$ היא ראשית הצירים (ראו ציור). האלכסון $BD$ חותך את $CO$ בנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
משולש חסום במעגל במערכת צירים: חיתוך, זוויות ושטחים · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $M(-5,0)$ , $C(-15,0)$ .
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני. הצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,12)$ , $A(-6,4)$ .
מקבילית במערכת צירים: טנגנס, דמיון ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
במקבילית $ABCD$ : $A(-12,0)$ , $B(6,0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $y$ , ו- $O$ היא ראשית הצירים (ראו ציור). האלכסון $BD$ חותך את $CO$ בנקודה $E$ . נסמן:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול,…
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…
טרפז ואלכסונים: שטחים מיחס דמיון ומגובה משותף (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . נתון: $AB=3DC$ . נסמן את שטח המשולש $DOC$ ב- $S$ .
טרפז חסום במעגל: קטעי אלכסונים ויחסי שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
טרפז ABCD ( $AB\parallel DC$ ) חסום במעגל. האלכסונים AC ו-BD נחתכים בנקודה M. נתון: $AC=12$ , $MD=4$ . נסמן את שטח…
יחסי שטחים בטרפז שאלכסוניו נחתכים (שאלה קצרה · בינונית)
ABCD הוא טרפז ( $AB\parallel DC$ ), ואלכסוניו נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=2.5\cdot DC$ .
שעון חול בטרפז: יחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $K$ . נתון: $AB=6$ , $CD=9$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא 8.
שני משולשים דומים עם צלע משותפת: אורך הצלע ויחס הקטעים על האלכסון (שאלה קצרה · קשה)
במרובע $ABKC$ האלכסונים $AK$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון: $\triangle ABK\sim\triangle AKC$ בהתאמה…