שאלות פתוחות: שאלות הוכחה בשילוב ידע מחטיבת הביניים (חפיפה, מרובעים, קטע אמצעים) - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על הוכחות בשילוב ידע מחטיבת הביניים: חפיפה, מרובעים וקטע אמצעים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מוכיחים חפיפת משולשים, תכונות של מקבילית וטרפז, ושימוש בקטע אמצעים, לרוב יחד עם חישובים במערכת צירים. יש שאלות על טרפז ישר זווית שבו חוצי זוויות נפגשים על השוק, על מרובע שבו אלכסון חוצה זווית, ועל משולש שאמצע צלעו על ציר ה-x. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, והמורה יכול לבחור מהן לדף חזרה או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

29 שאלותקלה: 7בינונית: 17קשה: 5

שאלה 1 · גאומטריה אנליטית: מאמצע צלע לקטע אמצעיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. משוואת הצלע ABABAB היא y=−0.5x+2y=-0.5x+2y=−0.5x+2, ושיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 5. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx, אורכה 6, והקודקוד CCC נמצא מימין לציר ה-yyy.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB, וחשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

מצאו את אמצע הקטע ACACAC, והראו שהוא נמצא על ציר ה-yyy. נסמן אותו ב-DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx, החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

מצאו את שיעורי EEE, והראו ש-EEE היא אמצע הצלע ABABAB.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE, והשוו אותו לאורך BCBCBC. הסבירו את התוצאה.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ו.

המשולשים AEDAEDAED ו-ABCABCABC דומים. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAEDAED לשטח המשולש ABCABCABC?

שאלה 2 · מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCDABCD נקודה FFF היא אמצע הצלע BCBCBC. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה EEE.
ABCDEF

א.

(1)

הוכיחו כי: FE∥ABFE\parallel ABFE∥AB.

(2)

הוכיחו כי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB דומים, וחשבו את יחס שטחיהם.

ב.

נתון: A(−3,1)A(-3,1)A(−3,1), E(2,4)E(2,4)E(2,4), B(5,1)B(5,1)B(5,1).

(1)

מצאו את משוואות הישרים BCBCBC ו-ABABAB.

(2)

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

(1)

חשבו את שטחי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB.

(2)

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז ABFEABFEABFE משטח המשולש CEFCEFCEF.

שאלה 3 · משולש עם קודקוד משתנה: מתי המקבילית מעויןשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABCABCABC. נתון: A(4,4)A(4,4)A(4,4). הקודקוד B(0,b)B(0,b)B(0,b) נמצא על ציר ה-yyy, כאשר 0<b<40<b<40<b<4. הצלע ACACAC מקבילה לציר ה-yyy. הנקודה EEE, אמצע הצלע BCBCBC, נמצאת על ציר ה-xxx. הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC. מן הנקודה EEE העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע ABABAB בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הביעו באמצעות bbb את שיעורי הנקודות CCC, EEE, DDD ו-FFF.

ב.

הוכיחו כי המרובע FADEFADEFADE הוא מקבילית, והביעו את שטחו באמצעות bbb.

ג.

מצאו את הערך של bbb שבעבורו המקבילית FADEFADEFADE היא מעוין.

ד.

האם יש ערך של bbb שבעבורו המקבילית FADEFADEFADE היא מלבן? נמקו.

שאלה 4 · טרפז ישר זווית: חוצי זוויות וזוויות הטרפזשאלה מלאה · קלה

נתון טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD, AB⊥ADAB\perp ADAB⊥AD). EBEBEB ו-ECECEC הם חוצי הזוויות ABCABCABC ו-BCDBCDBCD בהתאמה, הנפגשים בנקודה EEE שעל השוק ADADAD. נסמן: ∢DCB=2α\sphericalangle DCB=2\alpha∢DCB=2α.
ABCDE

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות ABCABCABC ו-EBCEBCEBC.

ב.

הראו כי ∢BEC=90∘\sphericalangle BEC=90^\circ∢BEC=90∘.

ג.

נתון: E(−1,1)E(-1,1)E(−1,1), B(2,3)B(2,3)B(2,3). משוואת הישר ECECEC היא y=−1.5x−0.5y=-1.5x-0.5y=−1.5x−0.5, ומשוואת הישר BCBCBC היא 11x+3y=3111x+3y=3111x+3y=31. מצאו את שיעורי הנקודה CCC, והראו כי EB⊥ECEB\perp ECEB⊥EC.

ד.

חשבו את האורכים EBEBEB ו-ECECEC, ואת גודל הזווית ECBECBECB.

ה.

חשבו את זוויות הטרפז ABCDABCDABCD.

שאלה 5 · קטע אמצעים במקביליתשאלה קצרה · בינונית

במקבילית PQRSPQRSPQRS האלכסונים נפגשים בנקודה OOO. הנקודה MMM היא אמצע הצלע PQPQPQ.

א.

הוכיחו כי MO∥QRMO\parallel QRMO∥QR.

ב.

הוכיחו כי המשולשים PMOPMOPMO ו-PQRPQRPQR דומים. נתון ששטח המקבילית הוא 40. מצאו את שטח המשולש PMOPMOPMO.

שאלה 6 · גאומטריה אנליטית עם פרמטר: מתי הקטע המקביל הוא קטע אמצעיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy, משוואת הצלע ABABAB היא y=−2x+2y=-2x+2y=−2x+2, ושיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 8. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx, אורכה kkk (k>0k>0k>0), ו-CCC מימין לציר ה-yyy. DDD היא נקודת החיתוך של ACACAC עם ציר ה-yyy, ומ-DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx החותך את ABABAB בנקודה EEE.
ABCDE

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה DDD ואת אורך הקטע DEDEDE.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו DEDEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABCABC.

ג.

מצאו את הערך של kkk שעבורו DE=2.25DE=2.25DE=2.25, ובעבורו מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABCABCABC משטח הטרפז EDCBEDCBEDCB.

ד.

האם קיים ערך של kkk שעבורו אורך הקטע DEDEDE הוא 3 או יותר? נמקו.

שאלה 7 · טרפז במערכת צירים: שוקיים שוות ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

במרובע ABCDABCDABCD הצלע CDCDCD מקבילה לצלע ABABAB, והאלכסון DBDBDB חוצה את הזווית ADCADCADC. האלכסונים נפגשים בנקודה EEE.
ABCDE

א.

הוכיחו כי AB=ADAB=ADAB=AD. היעזרו בזוויות מתחלפות בין המקבילים ABABAB ו-CDCDCD.

ב.

הוכיחו כי המשולשים AEBAEBAEB ו-CEDCEDCED דומים.

ג.

נתון: A(0,5)A(0,5)A(0,5), D(−12,0)D(-12,0)D(−12,0), והאלכסון DBDBDB נמצא על ציר ה-xxx.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ד.

נתון: הקודקוד CCC נמצא על הישר x=18x=18x=18.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ה.

חשבו את יחס השטחים של המשולשים CEDCEDCED ו-AEBAEBAEB.

שאלה 8 · משולש במערכת צירים: קטע אמצעים וזווית קההשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABCABCABC. הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy, והצלע ACACAC מקבילה לציר ה-yyy. נתון: AB=5AB=5AB=5, A(4,2)A(4,2)A(4,2). שיעור ה-yyy של הקודקוד BBB גדול מ-2.
ABCDE

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

הנקודה EEE היא אמצע הצלע BCBCBC. נתון: הנקודה EEE נמצאת על ציר ה-xxx.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-EEE.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC. מן הנקודה EEE העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע ABABAB בנקודה FFF.

(1)

הוכיחו כי המרובע FADEFADEFADE הוא מקבילית.

(2)

חשבו את שטח המקבילית FADEFADEFADE.

ד.

מצאו את גודל הזווית ∠DEF\angle DEF∠DEF.

שאלה 9 · מעגל המשיק לציר ה-x עם פרמטר: למה AC שווה ל-OBשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו M(8,t)M(8,t)M(8,t), כאשר t>8t>8t>8. המעגל משיק לציר ה-xxx בנקודה AAA וחותך את ציר ה-yyy בשתי נקודות; BBB היא העליונה מביניהן. הישר BCBCBC משיק למעגל בנקודה BBB, ו-∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ∠BCA=90∘. OOO היא ראשית הצירים.
ABCMO

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המעגל ואת שיעורי הנקודה BBB.

ב.

הוכיחו כי ABABAB חוצה את הזווית CAMCAMCAM.

ג.

הוכיחו כי AC=OBAC=OBAC=OB לכל ערך של ttt.

ד.

נתון כי AC=32AC=32AC=32. מצאו את ttt.

שאלה 10 · גאומטריה אנליטית: משולש עם צלע בשיפוע 2-, קטע אמצעים וזוויותשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. נתון כי משוואת הצלע ABABAB היא: y=−2x+1y=-2x+1y=−2x+1. שיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 9.
ABCDE

א.

חשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

נתון כי הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. אורך הצלע BCBCBC הוא 4.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

DDD היא נקודת החיתוך של הישר ACACAC עם ציר ה-yyy.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

הוכיחו כי DEDEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABCABC.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE.

ה.

חשבו את גודלי הזוויות EBDEBDEBD ו-ABCABCABC.

ו.

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז EDCBEDCBEDCB משטח המשולש AEDAEDAED.

עוד 5 שאלות על שאלות הוכחה בשילוב ידע מחטיבת הביניים (חפיפה, מרובעים, קטע אמצעים)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טרפז ישר זווית: חוצי זוויות, סכום הבסיסים ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ , $AB\perp AD$ ). חוצי הזוויות $ABC$ ו- $BCD$ נפגשים בנקודה $E$ שעל השוק $AD$ .
טרפז ישר זווית: חוצי זוויות ניצבים, ישר מאונך וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ , $AB\perp AD$ ). $EB$ ו- $EC$ הם חוצי הזוויות $ABC$ ו- $BCD$ בהתאמה, הנפגשים בנקודה $E$ . הנקודה…
טרפז במערכת צירים: מקודקוד ליחס שטחים - ובחזרה (שאלה מלאה · קשה)
בטרפז $ABCD$ ( $CD\parallel AB$ ) האלכסון $DB$ חוצה את הזווית $ADC$ , והאלכסונים נפגשים בנקודה $E$ . נתון: $A(0,8)$ , $D(-15,0)$ , והאלכסון $DB$ …
חוצה זווית בטרפז יוצר משולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $KLMN$ ( $KL\parallel NM$ ) חוצה הזווית $KLM$ חותך את הבסיס $NM$ בנקודה $F$ .
טרפז במערכת צירים: אלכסון חוצה זווית ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $CD\parallel AB$ ) האלכסון $DB$ חוצה את הזווית $ADC$ . אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה $E$ . נסמן: $\angle ADB=\alpha$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 4
במקבילית $ABCD$ נקודה $F$ היא אמצע הצלע $AD$ . אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $E$ .
משולש במערכת צירים: קטע אמצעים ומקבילית · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון: $AB=\sqrt{40}$ , $A(6,6)$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ קטן…
גאומטריה אנליטית: משולש, קטע אמצעים וזוויות מהשיפוע · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
במשולש $ABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא: $y=-x+4$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $A$ הוא 10.
טרפז ישר זווית: חוצי זוויות ניצבים, ישר מאונך וזוויות הטרפז · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ , $AB\perp AD$ ). $EB$ ו- $EC$ הם חוצי הזוויות $ABC$ ו- $BCD$ בהתאמה, הנפגשים בנקודה $E$ . הנקודה $E$ נמצאת על השוק…
טרפז במערכת צירים: אלכסון חוצה זווית ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
בטרפז $ABCD$ ( $CD\parallel AB$ ) האלכסון $DB$ חוצה את הזווית $ADC$ . אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה $E$ . נסמן: $\angle ADB=\alpha$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

דמיון משולשים: מעמד עץ עם שני מדפים (שאלה מלאה · בינונית)
תלמידי מגמת אומנות בבית ספר מסוים בונים מעמדים מקורות עץ. רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) ובו…
דמיון משולשים: קורה בגג מחסן (שאלה מלאה · קלה)
החתך של גג מחסן הוא משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). רצפת עליית הגג היא $BC$ , ואורכה 6.4 מטר. עמוד אנכי…
טריגונומטריה בטרפז ישר זווית: חצר בית ספר (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת חצר של בית ספר מסוים. החצר היא בצורת טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $CD\parallel BA$ ), $AD$ …
טריגונומטריה בטרפז ישר זווית: גינה קהילתית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה קהילתית. הגינה היא בצורת טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $CD\parallel BA$ ), $AD$ מאונך לצלע…
דמיון משולשים בדלת מלבנית: יחס, צלע ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה דלת שצורתה מלבן $ABCD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $G$ נמצאת על הצלע $DC$ . צבעו את שני…
דמיון משולשים בציור קיר מלבני: יחס, צלע ושטחים (שאלה מלאה · קלה)
על קיר שצורתו מלבן $ABCD$ מציירים ציור. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $CD$ . את שני…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
משולש שווה-שוקיים: אנכים מאמצעי חצאי הבסיס, מלבן ודלתון (שאלה מלאה · קלה)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ , ו-BM הוא הגובה לבסיס AC. הנקודה L היא אמצע הקטע AM,…
קטע אמצעים במשולש החסום בחצי מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O, ו-C נקודה על המעגל. P היא נקודה על המיתר CB כך ש- $OP\perp CB$ (ראו סרטוט).