דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: יחס השטחים במשולשים דומים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על יחס השטחים במשולשים דומים, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוכיחים שני משולשים דומים ומחשבים את יחס השטחים כריבוע יחס הדמיון, בעיקר במשולשים שבהם הועברו שני גבהים ובמקבילית שבה אמצע צלע ואלכסונים יוצרים משולשים קטנים. רוב השאלות במערכת צירים, ויש גם שאלה במעגל עם משוואה ושאלה בלי צירים על משולש חד זווית. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש קשות, ומתאים לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

87 שאלותקלה: 27בינונית: 46קשה: 14

שאלה 1 · גבהים במשולש במערכת צירים: יחס דמיון ושטחיםשאלה מלאה · קלה

במשולש OBCOBC העבירו גבהים ODOD ו-BEBE לצלעות BCBC ו-OCOC בהתאמה. הנקודה OO היא ראשית הצירים, והנקודה CC נמצאת על ציר ה-xx. משוואת הישר BCBC היא: y=−3x+12y=-3x+12.

OBCDExy
א.

מצאו את שיעורי הנקודה CC ואת אורך הצלע OCOC.

ב.

מצאו את משוואת הישר ODOD, והראו כי D(3.6,1.2)D(3.6,1.2).

ג.

חשבו את שטח המשולש ODCODC.

ד.

הוכיחו כי המשולשים BECBEC ו-ODCODC דומים.

ה.

נתון: BC=10BC=\sqrt{10}.

חשבו את יחס השטחים SBECSODC\frac{S_{BEC}}{S_{ODC}} ואת שטח המשולש BECBEC.

ו.

מצאו את שיעורי הנקודה BB ואת שטח המשולש OBCOBC.

שאלה 2 · גבהים במשולש במערכת צירים: דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במשולש OBCOBC העבירו גבהים ODOD ו-BEBE לצלעות BCBC ו-OCOC בהתאמה. הנקודה OO היא ראשית הצירים. הנקודה CC נמצאת על ציר ה-xx. משוואת הישר BCBC היא: y=−3x+18y=-3x+18.

OBCDExy
א.

מצאו את אורך הצלע OCOC.

ב.
(1)

מצאו את משוואת הישר ODOD.

(2)

חשבו את גודל הזוויות החדות של המשולש ODCODC.

ג.

הוכיחו כי המשולשים BECBEC ו-ODCODC דומים.

ד.

נתון: SBECSODC=0.9\frac{S_{BEC}}{S_{ODC}}=0.9.

(1)

חשבו את אורך הצלע BCBC.

(2)

חשבו את שטח המשולש OBCOBC.

שאלה 3 · גבהים במשולש: קודקוד על ציר ה-x כפרמטרשאלה מלאה · קשה

במשולש חד-זווית OBCOBC העבירו גבהים ODOD ו-BEBE לצלעות BCBC ו-OCOC בהתאמה. OO היא ראשית הצירים, B(4,6)B(4,6), והנקודה C(c,0)C(c,0) נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx (c>4c>4).

OBCDExy
א.

הביעו באמצעות cc את משוואת הישר ODOD.

ב.

הביעו באמצעות cc את היחס SODCSBEC\frac{S_{ODC}}{S_{BEC}}.

ג.

נתון: SODCSBEC=0.9\frac{S_{ODC}}{S_{BEC}}=0.9. מצאו את cc.

ד.

מצאו את cc שעבורו המשולשים BECBEC ו-ODCODC חופפים. איזה משולש הוא OBCOBC במקרה זה? נמקו.

שאלה 4 · ישרים מאונכים במערכת צירים: דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(0,6)A(0,6), B(4,−2)B(4,-2), C(8,0)C(8,0). הישר ABAB חותך את ציר ה-xx בנקודה EE, ו-OO היא ראשית הצירים.

ABCEO
א.

הראו כי ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ.

ב.

מצאו את משוואת הישר ABAB ואת שיעורי הנקודה EE.

ג.

הוכיחו כי המשולשים AOEAOE ו-CBECBE דומים.

ד.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים AOEAOE ו-CBECBE, ופי כמה גדול שטח המשולש AOEAOE משטח המשולש CBECBE.

שאלה 5 · שני גבהים במשולש: דמיון ויחס שטחיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש חד-זווית KLMKLM העבירו את הגובה KPKP לצלע LMLM ואת הגובה LQLQ לצלע KMKM.

א.

הוכיחו כי △LQM∼△KPM\triangle LQM\sim\triangle KPM.

ב.

נתון: SLQMSKPM=0.64\frac{S_{LQM}}{S_{KPM}}=0.64 ו-KM=15KM=15. חשבו את אורך הצלע LMLM.

שאלה 6 · מקבילית: ישר מקביל לבסיס ויחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

אלכסוני המקבילית ABCDABCD נפגשים בנקודה E(−1,5)E(-1,5). נתון: D(−7,1)D(-7,1), C(3,1)C(3,1).

ABCDEFG
א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AA ו-BB.

ב.

הנקודה FF נמצאת על הצלע ADAD כך ש-AFAD=t\frac{AF}{AD}=t (0<t<10<t<1). דרך FF העבירו ישר המקביל ל-DCDC, החותך את האלכסון ACAC בנקודה GG.

הוכיחו כי המשולשים AFGAFG ו-ADCADC דומים, והביעו באמצעות tt את היחס בין שטח המשולש AFGAFG לשטח המקבילית ABCDABCD.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה FF שבעבורה שטח הטרפז DFGCDFGC הוא 49\frac49 משטח המקבילית.

ד.

מצאו את משוואת הישר FGFG שבעבורו שטח הטרפז DFGCDFGC שווה לשטח המשולש AFGAFG.

שאלה 7 · מיתרים נחתכים במעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

במעגל שמשוואתו (x−8)2+(y−1)2=100(x-8)^2+(y-1)^2=100 המיתרים ACAC ו-BDBD נפגשים בנקודה EE. הנקודות AA ו-BB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yy (BB מעל AA), כמתואר באיור.

ABCDExy
א.
(1)

הסבירו מדוע ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC.

(2)

הוכיחו כי המשולשים ABEABE ו-DCEDCE דומים.

ב.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות AA ו-BB.

ד.

העבירו מיתר ADAD. נתון: ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ.

המעגל חוסם את המשולש ACDACD. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ACDACD וחשבו את אורך המיתר CDCD.

ה.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABEABE למשולש DCEDCE, ואת היחס בין שטחיהם.

שאלה 8 · מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCD נקודה FF היא אמצע הצלע BCBC. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה EE.

ABCDEF
א.
(1)

הוכיחו כי: FE∥ABFE\parallel AB.

(2)

הוכיחו כי המשולשים CEFCEF ו-CABCAB דומים, וחשבו את יחס שטחיהם.

ב.

נתון: A(−3,1)A(-3,1), E(2,4)E(2,4), B(5,1)B(5,1).

(1)

מצאו את משוואות הישרים BCBC ו-ABAB.

(2)

חשבו את גודל הזווית ABCABC.

ג.
(1)

חשבו את שטחי המשולשים CEFCEF ו-CABCAB.

(2)

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז ABFEABFE משטח המשולש CEFCEF.

שאלה 9 · טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטרשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−mx+6y=-mx+6 (m>0m>0). הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים (כמתואר באיור).

OABCxy
א.

הביעו באמצעות mm את שיעורי הקודקוד CC.

ב.

הביעו באמצעות mm את יחס השטחים SABOSBOC\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}}.

ג.

ידוע כי שטח המשולש BOCBOC הוא 7.2. מצאו את כל הערכים האפשריים של mm.

ד.

מצאו את הערך של mm שבעבורו שטח המשולש BOCBOC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 10 · גאומטריה אנליטית: מאמצע צלע לקטע אמצעיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABC הקודקוד BB מונח על ציר ה-yy. משוואת הצלע ABAB היא y=−0.5x+2y=-0.5x+2, ושיעור ה-yy של הקודקוד AA הוא 5. הצלע BCBC מקבילה לציר ה-xx, אורכה 6, והקודקוד CC נמצא מימין לציר ה-yy.

ABC
א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AA ו-BB, וחשבו את אורך הצלע ABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

ג.

מצאו את אמצע הקטע ACAC, והראו שהוא נמצא על ציר ה-yy. נסמן אותו ב-DD.

ד.

מנקודה DD העבירו ישר המקביל לציר ה-xx, החותך את הצלע ABAB בנקודה EE.

(1)

מצאו את שיעורי EE, והראו ש-EE היא אמצע הצלע ABAB.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDE, והשוו אותו לאורך BCBC. הסבירו את התוצאה.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABCABC.

ו.

המשולשים AEDAED ו-ABCABC דומים. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAED לשטח המשולש ABCABC?

עוד 33 שאלות על יחס השטחים במשולשים דומים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. טרפז ישר זווית במערכת צירים: משולשים דומים (שאלה מלאה · בינונית)

    המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא: y=3x+10y=3x+10, הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר…

  2. מלבן במערכת צירים: מיחס שטחים לקודקודים, ומתי המלבן ריבוע (שאלה מלאה · קשה)

    במלבן ABCDABCD הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx…

  3. משולש חסום במעגל המשיק לציר: מהזוויות לשטח (שאלה מלאה · קלה)

    המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. הצלע ACAC היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה-yy בנקודה C(0,12)C(0,12) וחותך את ציר ה-xx בנקודה B(−8,0)B(-8,0),…

  4. הגובה ליתר: יחס שטחים של משולשים דומים (שאלה קצרה · בינונית)

    במשולש ישר זווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ) CDCD הוא הגובה ליתר ABAB. נתון: AC=6AC=6, BC=8BC=8.

  5. מיתרים נחתכים: יחס שטחים כפונקציה של זווית (שאלה מלאה · קשה)

    במעגל שמשוואתו (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25 המיתרים ACAC ו-BDBD נפגשים בנקודה EE. הנקודות AA ו-BB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yy (BB מעל…

  6. מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו (x−4)2+(y−3)2=25(x-4)^2+(y-3)^2=25 ומרכזו MM. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה AA. ABAB הוא קוטר במעגל. דרך…

  7. מלבן במערכת צירים: משולשים דומים משני צדי ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)

    במלבן ABCDABCD הצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE, כמתואר באיור. הנקודה OO היא ראשית הצירים.

  8. מלבן על הצירים עם פרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    במלבן ABCDABCD הקודקוד BB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy. הקודקודים AA ו-CC נמצאים על ציר ה-xx, AA משמאל לראשית הצירים OO, כמתואר…

  9. מרובע חסום במעגל: זווית על קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · קלה)

    מרובע ABCDABCD חסום במעגל x2+y2=25x^2+y^2=25. המשכי הצלעות ADAD ו-BCBC נפגשים בנקודה EE (ראו ציור). נתון: A(−4,−3)A(-4,-3), B(0,−5)B(0,-5), C(4,3)C(4,3),…

  10. יחס שטחים במשולשים דומים בין שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)

    הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE, ו-AB∥DCAB\parallel DC (ראו איור). נתון: AE=6AE=6, EC=9EC=9, ושטח המשולש ABEABE הוא 20 סמ"ר.

  11. גאומטריה אנליטית עם פרמטר: מתי הקטע המקביל הוא קטע אמצעים (שאלה מלאה · קשה)

    במשולש ABCABC הקודקוד BB מונח על ציר ה-yy, משוואת הצלע ABAB היא y=−2x+2y=-2x+2, ושיעור ה-yy של הקודקוד AA הוא 8. הצלע BCBC מקבילה לציר ה-xx,…

  12. טרפז במערכת צירים: שוקיים שוות ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)

    במרובע ABCDABCD הצלע CDCD מקבילה לצלע ABAB, והאלכסון DBDB חוצה את הזווית ADCADC. האלכסונים נפגשים בנקודה EE.

  13. מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    במעגל המיתרים ACAC ו-BDBD נפגשים בנקודה EE, כמתואר באיור.

  14. משולש חסום במעגל המשיק לציר: מיחס השטחים לנקודה (שאלה מלאה · קשה)

    המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. הצלע ACAC היא קוטר במעגל. המעגל נמצא משמאל לציר ה-yy, משיק לציר ה-yy בנקודה C(0,9)C(0,9) וחותך את ציר…

  15. משולש שווה שוקיים: דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)

    במשולש שווה השוקיים ABCABC נתון: AB=CB=25AB=CB=25, AC=10AC=10. הנקודה EE נמצאת על הצלע BCBC כך ש-AE=ACAE=AC.

  16. מלבן שאלכסונו על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)

    במלבן ABCDABCD הקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy. הקודקודים AA ו-CC נמצאים על ציר ה-xx, כמתואר באיור. OO - ראשית הצירים. נתון:…

  17. מעגל, קוטר ומשיק: שיעורי נקודה מתוך דמיון (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו (x−5)2+(y−12)2=169(x-5)^2+(y-12)^2=169 ומרכזו MM. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה AA. ABAB הוא קוטר במעגל.…

  18. הגובה ליתר ויחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)

    במשולש ABCABC הקודקודים A(−9,0)A(-9,0) ו-C(4,0)C(4,0) נמצאים על ציר ה-xx, והקודקוד B(0,6)B(0,6) נמצא על ציר ה-yy. נתון: ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ. OO -…

  19. משולש ישר זווית עם קודקוד משתנה: שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)

    ABCABC הוא משולש ישר זווית (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ). נתון: A(−3,15)A(-3,15). הצלע ABAB חותכת את ציר ה-yy בנקודה P(0,11)P(0,11). הקודקוד CC נמצא על הישר…

  20. גאומטריה אנליטית: משולש עם צלע בשיפוע 2-, קטע אמצעים וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)

    במשולש ABCABC הקודקוד BB מונח על ציר ה-yy. נתון כי משוואת הצלע ABAB היא: y=−2x+1y=-2x+1. שיעור ה-yy של הקודקוד AA הוא 9.

  21. חותך ממעגל: נקודה על המשך מיתר לפי יחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)

    נתון המעגל (x−1)2+(y+1)2=25(x-1)^2+(y+1)^2=25, והנקודות A(−3,−4)A(-3,-4), B(6,−1)B(6,-1), C(1,−6)C(1,-6) שעליו. PP היא נקודה על המשך המיתר BCBC מעבר ל-CC, כך שהישר PAPA…

  22. יחס שטחים במשולשים דומים: מהטרפז למשולש (שאלה קצרה · בינונית)

    במשולש ABCABC הנקודה DD נמצאת על הצלע ABAB והנקודה EE על הצלע ACAC, כך ש-DE∥BCDE\parallel BC. נתון: AD:DB=2:1AD:DB=2:1, ושטח הטרפז DBCEDBCE הוא 25…

  23. מקבילית עם קודקוד משתנה: חלוקת הקטע ותחום השטח (שאלה מלאה · קשה)

    במקבילית ABCDABCD הקודקוד BB הוא (4,0)(4,0), הקודקוד AA נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xx, A(−a,0)A(-a,0) (a>0a>0), והקודקוד CC נמצא על החלק החיובי…

  24. מעגל המשיק לציר ה-x: דמיון, משוואת המעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. הצלע ACAC היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה-xx בנקודה CC וחותך את ציר ה-yy בנקודה BB, כמתואר בסרטוט.…

  25. טרפז במערכת צירים: מקודקוד ליחס שטחים - ובחזרה (שאלה מלאה · קשה)

    בטרפז ABCDABCD (CD∥ABCD\parallel AB) האלכסון DBDB חוצה את הזווית ADCADC, והאלכסונים נפגשים בנקודה EE. נתון: A(0,8)A(0,8), D(−15,0)D(-15,0), והאלכסון DBDB…

  26. מקבילית במערכת צירים: יחס דמיון 3 ומלבן (שאלה מלאה · בינונית)

    במקבילית OABCOABC הקודקוד BB מונח על ציר ה-yy והנקודה OO היא ראשית הצירים. מן הקודקודים AA ו-CC העבירו אנכים לציר ה-xx, החותכים אותו…

  27. משולשים דומים: מיחס שטחים לאורכי צלעות (שאלה קצרה · בינונית)

    המשולשים ABCABC ו-DEFDEF דומים, ו-∠A=∠D\angle A=\angle D, ∠B=∠E\angle B=\angle E. שטח המשולש DEFDEF הוא 50, ושטח המשולש ABCABC הוא 8.

  28. משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, מעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. הצלע ACAC היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה-yy בנקודה CC וחותך את ציר ה-xx בנקודה BB, כמתואר בסרטוט.…

  29. מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו MM. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה AA. הנקודה BB נמצאת על המעגל כך ש-ABAB הוא קוטר במעגל. דרך…

  30. אלכסוני טרפז: דמיון ויחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)

    בטרפז ABCDABCD (AD∥BCAD\parallel BC) נתון: AD=6AD=6, BC=15BC=15. האלכסונים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה MM.

  31. מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)

    מרובע ABCDABCD חסום במעגל שמשוואתו (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25. המשכי הצלעות ADAD ו-BCBC נפגשים בנקודה EE (ראו ציור). נתון: A(−4,2)A(-4,2), B(1,−3)B(1,-3),…

  32. טרפז במערכת צירים: אלכסון חוצה זווית ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)

    בטרפז ABCDABCD (CD∥ABCD\parallel AB) האלכסון DBDB חוצה את הזווית ADCADC. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה EE. נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha.

  33. טרפז: יחס שטחים של משולשים דומים (שאלה קצרה · בינונית)

    בטרפז KLMNKLMN (KL∥NMKL\parallel NM) האלכסונים נפגשים בנקודה PP. נתון: KL=6KL=6, NM=15NM=15, ושטח המשולש KPLKPL הוא 8 סמ"ר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (31)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.