שאלות פתוחות: שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות המשלבות את שלושת התחומים: גאומטריה אוקלידית, גאומטריה אנליטית וטריגונומטריה, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מוצאים קדקודים של מלבן, מעוין או משולש במערכת צירים, ואז מחשבים זוויות ושטחים בעזרת טריגונומטריה. יש שאלות על טרפז שקדקודיו על הצירים, על גובה במשולש, ועל משיק למעגל מנקודה על ציר ה-x. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואלה שאלות ארוכות בסגנון בגרות, שאפשר לשלב במבחן מסכם או בדף חזרה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

26 שאלותקלה: 5בינונית: 15קשה: 6

שאלה 1 · שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריהשאלה קצרה · קלה

נתון מלבן ABCDABCDABCD. שיעורי הקודקוד AAA הם (1,2)(1,2)(1,2), ושיעורי נקודת מפגש האלכסונים MMM הם (4,6)(4,6)(4,6). אורך הצלע ABABAB הוא 666.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC ואת אורך האלכסון ACACAC.

ב.

מצאו את הזווית שבין האלכסון ACACAC לבין הצלע ADADAD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 2 · שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריהשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הצלע ABABAB מונחת על הישר y=34xy=\frac34xy=43​x. שיעורי הקודקודים AAA ו-CCC הם A(−4,−3)A(-4,-3)A(−4,−3) ו-C(1,7)C(1,7)C(1,7). CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ב.

מצאו את הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 3 · טרפז על הצירים: מהשטח לקודקודים, ונקודה על מעגלשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים OOO היא מפגש האלכסונים של הטרפז. נתון: A(0,4)A(0,4)A(0,4), B(8,0)B(8,0)B(8,0). שטח הטרפז ABCDABCDABCD הוא 36.
ABCDO

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים CCC ו-DDD.

ב.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

הנקודה EEE נמצאת על המשך הצלע BCBCBC (מעבר ל-CCC), ונתון כי DE=DCDE=DCDE=DC.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ד.

מצאו את היקף המשולש CDECDECDE.

שאלה 4 · טרפז על הצירים: מהשיפוע להיקף משולששאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0)B(8,0), D(−4,0)D(-4,0)D(−4,0). הקודקוד CCC נמצא על החלק השלילי של ציר ה-yyy.
ABCDEO

א.

מצאו את השיפוע של ABABAB ואת משוואת הצלע CDCDCD.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

(1)

מצאו את גודל הזווית OBCOBCOBC (OOO ראשית הצירים).

(2)

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על המשך הצלע BCBCBC, ונתון כי DE=DCDE=DCDE=DC (ראו סרטוט).

(1)

נמקו מדוע ∠DCE=∠ABC\angle DCE=\angle ABC∠DCE=∠ABC.

(2)

מצאו את היקף המשולש CDECDECDE.

שאלה 5 · שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריהשאלה קצרה · בינונית

במעוין ABCDABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה EEE. נתונים שני קודקודים נגדיים, A(−2,7)A(-2,7)A(−2,7) ו-C(6,1)C(6,1)C(6,1), ואורך צלע המעוין הוא AB=10AB=10AB=10. הנקודה GGG נמצאת על הקטע DEDEDE, כך ש-∠GAB=82∘\angle GAB=82^\circ∠GAB=82∘.
ABCDEG

א.

מצאו את הזווית ∠EAB\angle EAB∠EAB.

ב.

מצאו את אורך הקטע GEGEGE. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 6 · מעוין במערכת צירים: קודקודים מתנאי מקבילות ותחום זוויתשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCDABCD, שאלכסוניו נפגשים בנקודה EEE. נתון: משוואת הצלע ABABAB היא y=−2x+15y=-2x+15y=−2x+15, C(−5,1)C(-5,1)C(−5,1), והאלכסון ACACAC מקביל לישר y=2xy=2xy=2x.
ABCDE

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-DDD.

ב.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC של המעוין.

ג.

הנקודה GGG נמצאת על האלכסון BDBDBD, ו-∠GAB=α\angle GAB=\alpha∠GAB=α.

לאילו ערכים של α\alphaα הנקודה GGG נמצאת על הקטע DEDEDE (G≠EG\neq EG=E)? נמקו.

ד.

נתון: α=80∘\alpha=80^\circα=80∘. מצאו את אורך הקטע GEGEGE.

שאלה 7 · משולש שווה שוקיים במערכת צירים: זוויות ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC). נתון: A(−8,14)A(-8,14)A(−8,14), C(10,18)C(10,18)C(10,18). הקודקוד BBB נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx, והנקודה DDD נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx.
ABCDxy

א.

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ג.

הראו כי שיפוע הישר ABABAB הוא 76\frac7667​, ומצאו את גודל הזווית ABDABDABD ואת גודל הזווית CBDCBDCBD.

ד.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC, וחשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריהשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל (x−2)2+y2=16(x-2)^2+y^2=16(x−2)2+y2=16 שמרכזו MMM, ונתונה הנקודה P(10,0)P(10,0)P(10,0). מ-PPP מעבירים משיק למעגל, הנוגע בו בנקודה AAA שברביע הראשון.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ב.

מצאו את משוואת המשיק PAPAPA.

שאלה 9 · משולש שווה שוקיים במערכת צירים: המעגל החוסםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC). הקודקוד BBB נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx. הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-xxx כך ש-CDCDCD מאונך ל-ACACAC. נתון כי הנקודה E(2,15)E(2,15)E(2,15) היא אמצע הצלע ACACAC, וכי משוואת הישר CDCDCD היא: y=−8x+96y=-8x+96y=−8x+96.
ABCDExy

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

ב.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

מצאו את הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC.

ד.

האם מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC נמצא בתוך המשולש, מחוצה לו או על אחת מצלעותיו? נמקו.

שאלה 10 · מעגל במערכת צירים: משיק וקוטרשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו M(−12,0)M(-12,0)M(−12,0) ורדיוסו 5. הנקודה A(−8,3)A(-8,3)A(−8,3) נמצאת על המעגל.
MADBC

א.

הראו כי הנקודה AAA נמצאת על המעגל, ומצאו את משוואת הישר MAMAMA.

ב.

הישר MAMAMA חותך את ציר ה-yyy בנקודה BBB. מצאו את שיעורי BBB.

ג.

המשיק למעגל בנקודה AAA מאונך לרדיוס MAMAMA. מצאו את משוואת המשיק, ואת שיעורי הנקודה DDD שבה הוא חותך את ציר ה-yyy.

ד.

הנקודה CCC נמצאת על המעגל כך ש-ACACAC קוטר. מצאו את שיעורי CCC, והראו כי BD=CDBD=CDBD=CD.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABDABDABD.

עוד 12 שאלות על שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,1)$ , $B(6,4)$ ו- $C(4,8)$ .
מעגל מהמשיק: משולש שווה שוקיים ודמיון (שאלה מלאה · קשה)
מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A(-12,8)$ נמצאת על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $D(0,-1)$ . המשך הקטע…
גובה במשולש במערכת צירים: זווית מתוך אורכי הניצבים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הצלע $AB$ מונחת על הישר $y=\frac34x$ . שיעורי הקודקודים $A$ ו- $C$ הם $A(-4,-3)$ ו- $C(1,7)$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ , והנקודה…
שלושת התחומים: אוקלידית, אנליטית וטריגונומטריה (שאלה קצרה · בינונית)
קודקודי המשולש $ABC$ הם $A(0,0)$ , $B(8,0)$ ו- $C(3,3)$ .
מעוין במערכת צירים: אורך קטע על האלכסון בעזרת משפט הסינוסים (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעוין $ABCD$ , שקודקודיו הם $A(-3,15)$ , $B(7,5)$ , $C(-7,3)$ ו- $D(-17,13)$ . אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה $E(-5,9)$ . נתון:…
טרפז על הצירים: אלכסון משטח, זוויות והיקף (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של…
מעגל, משיק וקוטר במערכת צירים: משולש שווה שוקיים ושטח (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון:…
מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה $E$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא $y=-x+12$ , שיעור ה- $x$ של הקודקוד $A$ הוא $-3$ ,…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: מאמצע צלע לשטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $CD$ …
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון:…
רדיוס המעגל החוסם משולש שקודקודיו נתונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ), שקודקודיו הם $A(-6,14)$ , $B(-14,0)$ ו- $C(10,16)$ . נתון: $\tan\angle ABC=\frac12$ (כלומר…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: קודקוד, זוויות עם ציר ה-x ושטח (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). נתון: $A(-8,14)$ , $C(10,18)$ , ואורך הצלע $AC$ הוא $\sqrt{340}$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

טרפז על הצירים: משוואת צלע, זוויות והיקף משולש · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel CD$ ), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים $O$ היא מפגש האלכסונים של הטרפז. נתון: $A(0,6)$ ,…
מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה $E$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא $y=-1.75x+12.75$ , שיעור ה- $x$ של הקודקוד $A$ הוא $-3$ , ושיעורי…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: ישרים, זוויות ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $CD$ מאונך ל- $AC$ . נתון כי…
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון: $A(-16,6)$ , $B(0,18)$ .