שאלות פתוחות: דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מוכיחים דמיון בין משולשים שנוצרים משני מיתרים נחתכים או מאלכסוני טרפז חסום, ומשתמשים ביחס הדמיון כדי לחשב אורכים, היקפים ושטחים. יש שאלות שבהן המעגל נתון במשוואה והנקודות הן נקודות החיתוך שלו עם הצירים, ושאלות על ריבוע שאחת מצלעותיו עוברת דרך הראשית. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

73 שאלותקלה: 14בינונית: 42קשה: 17

שאלה 1 · דמיון משולשים במעגל ובמערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

במעגל, המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE. המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE דומים, בהתאמה A↔DA\leftrightarrow DA↔D, B↔CB\leftrightarrow CB↔C, E↔EE\leftrightarrow EE↔E. היקף המשולש ABEABEABE הוא 242424 ס"מ, היקף המשולש DCEDCEDCE הוא 181818 ס"מ, ונתון AE−DE=2AE-DE=2AE−DE=2 ס"מ.

א.

מצאו את אורכי הקטעים AEAEAE ו-DEDEDE.

ב.

נתון גם AB=10AB=10AB=10 ס"מ. מצאו את אורכי הצלעות DCDCDC ו-CECECE.

שאלה 2 · דמיון משולשים במעגל ובמערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

המעגל (x−3)2+(y−1)2=25(x-3)^2+(y-1)^2=25(x−3)2+(y−1)2=25 חותך את ציר ה-yyy בנקודות AAA ו-BBB (BBB מעל AAA). הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל מימין לציר ה-yyy, המיתר CDCDCD מקביל לציר ה-yyy, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: שטח המשולש ABEABEABE גדול פי 169\frac{16}{9}916​ משטח המשולש DCEDCEDCE.
ABCDE

א.

מצאו את אורך המיתר CDCDCD.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

שאלה 3 · מיתרים נחתכים: יחס שטחים כפונקציה של זוויתשאלה מלאה · קשה

במעגל שמשוואתו (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25(x−4)2+(y+3)2=25 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על הקשת שמימין לציר ה-yyy, כמתואר באיור. נסמן ∠CAD=α\angle CAD=\alpha∠CAD=α.
ABCDExy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

הוכיחו כי △ABE∼△DCE\triangle ABE\sim\triangle DCE△ABE∼△DCE, והביעו באמצעות α\alphaα את היחס SABESDCE\frac{S_{ABE}}{S_{DCE}}SDCE​SABE​​.

ג.

מצאו את α\alphaα (זווית חדה) שבעבורה המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE חופפים.

ד.

האם ייתכן ששטח המשולש DCEDCEDCE יהיה גדול פי 4 משטח המשולש ABEABEABE? נמקו.

שאלה 4 · דמיון משולשים במעגל ובמערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25 חותך את ציר ה-xxx בנקודות A(−5,0)A(-5,0)A(−5,0) ו-B(5,0)B(5,0)B(5,0). הנקודה CCC נמצאת על המעגל ברביע הראשון, ו-HHH היא עקב האנך מ-CCC לציר ה-xxx. נתון: שטח המשולש ACHACHACH גדול פי 444 משטח המשולש CBHCBHCBH.

א.

הוכיחו כי △ACH∼△CBH\triangle ACH\sim\triangle CBH△ACH∼△CBH.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

שאלה 5 · דמיון משולשים במעגל ובמערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

הטרפז ABCDABCDABCD (AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC) חסום במעגל, ואלכסוניו נחתכים בנקודה MMM. שטח המשולש DMADMADMA הוא 444 יח"ר, ושטח המשולש BMCBMCBMC הוא 999 יח"ר.

א.

מצאו את היחס MAMC\frac{MA}{MC}MCMA​.

ב.

מצאו את שטח המשולש AMBAMBAMB ואת שטח הטרפז ABCDABCDABCD.

שאלה 6 · ריבוע במערכת צירים: יחס חלוקה, שיפוע מהיחס ותנאי לשוויון זוויותשאלה מלאה · קשה

נתון ריבוע ABCDABCDABCD. הצלע ABABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OOO. הצלע ADADAD חותכת את ציר ה-yyy בנקודה EEE. הקודקוד CCC מונח על ציר ה-xxx (ראו סרטוט).
ABCDEO

א.

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBOΔOAE∼ΔCBO.

ב.

נתון: E(0,−20)E(0,-20)E(0,−20), C(30,0)C(30,0)C(30,0).

מצאו את היחס AO:OBAO:OBAO:OB.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

(2)

מצאו את שטח הריבוע ABCDABCDABCD.

ד.

הוכיחו: בכל ריבוע שמונח כמתואר בשאלה (גם בלי הנתונים של סעיף ב), ∠BCO=∠OCE\angle BCO=\angle OCE∠BCO=∠OCE אם ורק אם OOO היא אמצע הצלע ABABAB. מה מתקבל בריבוע של סעיף ב?

שאלה 7 · ריבוע במערכת צירים: דמיון משולשים צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

נתון ריבוע ABCDABCDABCD. הצלע ABABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OOO. הצלע ADADAD חותכת את ציר ה-xxx בנקודה EEE. הקודקוד CCC מונח על החלק החיובי של ציר ה-yyy (ראו סרטוט).
ABCDEO

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠AOE+∠BOC=90∘\angle AOE+\angle BOC=90^\circ∠AOE+∠BOC=90∘.

(2)

הוכיחו: ∠AEO=∠BOC\angle AEO=\angle BOC∠AEO=∠BOC.

(3)

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBOΔOAE∼ΔCBO.

ב.

נתון: הנקודה OOO היא אמצע הצלע ABABAB.

הראו כי OE=12OCOE=\frac12OCOE=21​OC.

ג.

נתון: E(−7.5,0)E(-7.5,0)E(−7.5,0).

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ד.

נתון: B(6,3)B(6,3)B(6,3).

מצאו את שטח הריבוע ABCDABCDABCD.

ה.

חשבו את גודל הזווית BCOBCOBCO.

שאלה 8 · דמיון משולשים במעגל ובמערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

הטרפז ABCDABCDABCD (AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC) חסום במעגל. הקודקודים B(−6,0)B(-6,0)B(−6,0) ו-C(6,0)C(6,0)C(6,0) נמצאים על ציר ה-xxx, והצלע ADADAD נמצאת על הישר y=8y=8y=8, כאשר AAA משמאל ל-DDD. אלכסוני הטרפז נחתכים בנקודה MMM, ושטח המשולש BMCBMCBMC גדול פי 999 משטח המשולש AMDAMDAMD.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-DDD, ואת משוואת המעגל החוסם את הטרפז.

שאלה 9 · משולש במערכת צירים: שטח מינימלי ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC הקודקוד AAA מונח על ציר ה-xxx. הצלע ACACAC חותכת את ציר ה-yyy בנקודה DDD. הצלע CBCBCB מקבילה לציר ה-xxx, וחותכת את ציר ה-yyy בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט שלפניכם. OOO היא ראשית הצירים.
ABCDEO
נתון: D(0,4)D(0,4)D(0,4), DODE=23\frac{DO}{DE}=\frac23DEDO​=32​, והצלע ABABAB מאונכת לצלע ACACAC. שיפוע הישר ACACAC הוא −m-m−m (m>0m>0m>0 הוא פרמטר).

א.

הביעו באמצעות mmm את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

ב.

הביעו באמצעות mmm את שטח המשולש ABCABCABC. בעבור איזה ערך של mmm שטח המשולש מינימלי? מהו השטח המינימלי?

ג.

נתון: שטח המשולש ABCABCABC הוא 125, ו-∠CDE>45∘\angle CDE>45^\circ∠CDE>45∘.

מצאו את משוואת הישר ACACAC.

שאלה 10 · משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטחשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקוד AAA מונח על ציר ה-xxx. הצלע ACACAC חותכת את ציר ה-yyy בנקודה DDD. הצלע CBCBCB מקבילה לציר ה-xxx, וחותכת את ציר ה-yyy בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט שלפניכם. OOO היא ראשית הצירים.
ABCDEO

א.

הסבירו מדוע ∠CED=90∘\angle CED=90^\circ∠CED=90∘, והוכיחו: ΔAOD∼ΔCED\Delta AOD\sim\Delta CEDΔAOD∼ΔCED.

ב.

נתון כי משוואת הישר ACACAC היא: y=−2x+4y=-2x+4y=−2x+4.

מצאו את שיעורי הנקודות DDD ו-AAA.

ג.

נתון: DE=2⋅DODE=2\cdot DODE=2⋅DO.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE ואת משוואת הישר CBCBCB.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC, והראו כי CEAO=DEDO\frac{CE}{AO}=\frac{DE}{DO}AOCE​=DODE​.

ה.

נתון: הצלע ABABAB מאונכת לצלע ACACAC.

מצאו את משוואת הישר ABABAB ואת שיעורי הנקודה BBB, וחשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

עוד 44 שאלות על דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
מעגל המשיק לציר: שתי אפשרויות לנקודה B (שאלה מלאה · קשה)
מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 5 משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,4)$ , ומרכזו משמאל לציר ה- $y$ . $AC$ קוטר במעגל. המעגל חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות,…
מעגל המשיק לציר ה-y: מהזוויות הישרות לשטח (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ , והצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,4)$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B(-8,0)$ .…
מלבן במערכת צירים: דמיון משולשים, שיעורי קודקוד ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB:BC=2:3$ . הצלע $AB$ עוברת דרך ראשית הצירים, $O$ . הצלע $AD$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $E$ . הקודקוד $C$ מונח על ציר…
מקבילית במערכת צירים: מלבן, שטח נתון והוכחה כללית (שאלה מלאה · קשה)
במקבילית $OABC$ הקודקוד $B$ מונח על החלק החיובי של ציר ה- $y$ , הנקודה $O$ היא ראשית הצירים, $A$ ברביע הראשון ו- $C$ ברביע השני. מן הקודקודים…
מקבילית במערכת צירים: מדמיון לשיעורי הקודקודים (שאלה מלאה · קלה)
במקבילית $OABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ והנקודה $O$ היא ראשית הצירים. מן הקודקודים $A$ ו- $C$ העבירו אנכים לציר ה- $x$ , החותכים אותו…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ , $B(2,0)$ ו- $M(10,0)$ . הנקודה $C$ נמצאת מעל ציר ה- $x$ , כך ש- $CM\perp$ ציר ה- $x$ ו- $\angle ABC=90^\circ$ . $O$ היא…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: מיחס השטחים לנקודה (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל נמצא משמאל לציר ה- $y$ , משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,9)$ וחותך את ציר…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: מהזוויות לשטח (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,12)$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B(-8,0)$ ,…
משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה…
איפה הקודקוד הישר? שתי אפשרויות למשולש ישר זווית (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ , $C(16,15)$ ו- $D(16,0)$ . $O$ ראשית הצירים. $B$ היא נקודה על הקטע $OD$ (על ציר ה- $x$ ) כך ש- $\angle ABC=90^\circ$ .
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון וחסימה במעגל - בהכוונה (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $A(0,6)$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B(3,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ . מן הקודקוד $C$ הורידו…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $y=-2x+6$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר ברביע השני. מ- $C$ מורידים אנך לציר ה- $y$ ,…
מעגל, קוטר ומשיק: שיעורי נקודה מתוך דמיון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-5)^2+(y-12)^2=169$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל.…
משיק וקוטר במערכת צירים: מצלעות להיקף (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $D(4,0)$ . דרך הנקודה $C$ העבירו…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל, והנקודה $C$ נמצאת על המעגל. $D$ היא נקודה על הקוטר $AB$ כך ש- $CD\perp AB$ , כמתואר בסרטוט.
משולש חסום במעגל ומשיק: מהרדיוס לקודקודים ולמשוואת המעגל (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה…
טרפז במערכת צירים: ניצבות, מקבילות ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(0,3)$ , $B(-4,0)$ ו- $C(-10,8)$ .
מעגל המשיק לציר ה-x: דמיון, משוואת המעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
מעגל מהמשיק: משולש שווה שוקיים ודמיון (שאלה מלאה · קשה)
מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A(-12,8)$ נמצאת על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $D(0,-1)$ . המשך הקטע…
משיקים למעגל: דמיון, נקודות ההשקה ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · קלה)
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ .
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
$AC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הישר $CD$ משיק למעגל בנקודה $C$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, וידוע כי $\angle BAC=\angle ADC$ (ראו סרטוט).…
טרפז ישר זווית: מיחס שטחים לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
$ABCD$ הוא טרפז ישר זווית ( $\angle ABC=90^\circ$ , $AD\parallel BC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . נתון: $A(0,8)$ , $AB=10$ ,…
משולשים דומים בין הצירים לישר מקביל (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה…
מקבילית במערכת צירים: יחס דמיון 3 ומלבן (שאלה מלאה · בינונית)
במקבילית $OABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ והנקודה $O$ היא ראשית הצירים. מן הקודקודים $A$ ו- $C$ העבירו אנכים לציר ה- $x$ , החותכים אותו…
חותך ממעגל: נקודה על המשך מיתר לפי יחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y+1)^2=25$ , והנקודות $A(-3,-4)$ , $B(6,-1)$ , $C(1,-6)$ שעליו. $P$ היא נקודה על המשך המיתר $BC$ מעבר ל- $C$ , כך שהישר $PA$ …
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, מעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
משיקים למעגל מנקודה: רדיוס משטח המרובע (שאלה מלאה · קשה)
מהנקודה $B(0,25)$ העבירו שני משיקים למעגל שמרכזו בראשית הצירים $O$ ורדיוסו $R$ . נקודות ההשקה הן $A$ (ברביע השני) ו- $C$ . האלכסונים של המרובע…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ . מן הקודקוד $C$ העבירו אנך לציר…
טרפז חסום במעגל במערכת צירים: נקודת מפגש האלכסונים מיחס שטחים (שאלה קצרה · קשה)
הטרפז $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ ) חסום במעגל. הקודקודים $B(-6,0)$ ו- $C(6,0)$ נמצאים על ציר ה- $x$ , והצלע $AD$ נמצאת על הישר $y=8$ , כאשר $A$ …
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $AB$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A(0,6)$ ואת ציר ה- $x$ בנקודה $B(4,0)$ . דרך $B$ העבירו ישר המאונך ל- $AB$ , החותך את החלק השלילי של ציר…
מיתרים נחתכים במעגל: יחס שטחים כפונקציה של זווית (שאלת ביניים · קשה)
במעגל שמשוואתו $(x-4)^2+(y+3)^2=25$ המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ . הנקודות $A$ ו- $B$ הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ ( $B$ מעל…
מעגל, משיק וחוצה זווית: משיק בשיפוע מתון (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר…
משולש החסום בחצי מעגל ומשולש דומה לו (צ.צ.צ): זווית ישרה, שטח ומעגל (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A(-5,0)$ , $B(5,0)$ ו- $C(3,4)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ . נתונות גם הנקודות $D(6,-9)$ , $E(26,1)$ ו- $F(18,7)$ (ראו סרטוט).
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם $AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ . $BC$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הקטע $AC$ חותך את המעגל בנקודה $D$ .
משולש חסום במעגל ומשיק במערכת צירים: היקף לפי יחס דמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ .…
טרפז ישר זווית במערכת צירים: אורכים ודמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $\angle ABC=90^\circ$ , $AD\parallel BC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . נתון:…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ ( $D$ בין $E$ ל- $A$ , ו- $C$ בין $E$ ל- $B$ ). נתון: $ED=4$ , $DA=5$ , $EC=3$ .
משיקים למעגל, דמיון ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ .
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה $P(10,0)$ העבירו שני משיקים למעגל $x^2+y^2=36$ . נקודות ההשקה הן $A$ (מעל ציר ה- $x$ ) ו- $B$ . המיתר $AB$ חותך את הקטע $OP$ בנקודה $K$ …
זווית ישרה על ציר ה-x: שתי אפשרויות מתוך דמיון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ , $C(16,15)$ ו- $D(16,0)$ . $O$ ראשית הצירים. $B$ היא נקודה על הקטע $OD$ (על ציר ה- $x$ ) כך ש- $\angle ABC=90^\circ$ .…
שני משיקים מנקודה: משולשים דומים ומשוואת המעגל (שאלת ביניים · בינונית)
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ . נתון כי $OB\perp AC$ .
משולשים במערכת צירים: דמיון לפי צ.צ.צ ושוויון זוויות (שאלה קצרה · בינונית)
במערכת צירים נתונים המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $C(1,3)$ , והמשולש $DEF$ , שקודקודיו $D(10,0)$ , $E(14,4)$ , $F(8,4)$ (ראו…
דמיון לפי צ.ז.צ בזווית משותפת בראשית: אורך ושטח מרובע (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתונות הנקודות $O(0,0)$ , $A(4,0)$ , $C(10,0)$ , $B(3,4)$ ו- $D(4.8,6.4)$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים, והנקודות $O$ , $B$ , $D$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
ריבוע במערכת צירים: דמיון משולשים, שיעורי קודקוד ושטח · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
נתון ריבוע $ABCD$ . הצלע $AB$ עוברת דרך ראשית הצירים, $O$ . הצלע $AD$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $E$ . הקודקוד $C$ מונח על ציר ה- $x$ (ראו סרטוט).
משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטח מרובע · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $E$ , כמתואר בסרטוט…
מעגל המשיק לציר: דמיון משולשים, משוואת המעגל ושטח מרובע · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
מקבילית במערכת צירים: דמיון משולשים, שיעורי קודקודים ומלבן · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
במקבילית $OABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ והנקודה $O$ היא ראשית הצירים. מן הקודקודים $A$ ו- $C$ העבירו אנכים לציר ה- $x$ , החותכים אותו בנקודות $E$ ו- $F$ …
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, משוואת המעגל ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 4
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ . מן הקודקוד $C$ העבירו אנך לציר ה- $x$ , החותך אותו…
מעגל, משיק וחוצה זווית במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $M$ . הקטע $CD$ משיק למעגל בנקודה $A$ . הנקודה $B$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. $AM$ הוא חוצה…
משולש חסום במעגל ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ . דרך הנקודה $C$ …
טרפז ישר זווית במערכת צירים: אורכים ודמיון · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $\angle ABC=90^\circ$ , $AD\parallel BC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . נתון: $A(0,4)$ , אורך הצלע $AB$ הוא…
משיקים למעגל, דמיון ומשוואת המעגל · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול,…
דמיון משולשים ישרי-זווית: משיק מנקודה ומשיק בקצה הקוטר (שאלה קצרה · בינונית)
מן הנקודה $M$ מעבירים משיק $MB$ למעגל שמרכזו $N$ ורדיוסו 4 ( $B$ נקודת ההשקה). נתון: $MN=5$ . הישר $MN$ חותך את…
מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ ,…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
מיתרים נחתכים: דמיון משולשים וחישוב אורכים (שאלה קצרה · בינונית)
המיתרים AC ו-BD במעגל נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).
מרובע חסום והמשכי צלעות: דמיון דרך זווית חיצונית (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. המשכי הצלעות $AB$ ו- $DC$ נפגשים בנקודה $P$ , כמתואר בסרטוט.
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…