שאלות פתוחות: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורש - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על בעיות קיצון בפונקציות וגרפים עם פונקציית שורש, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחפשים את הנקודה על גרף כמו √x הקרובה ביותר לנקודה נתונה, מלבן שאחד מקדקודיו על גרף של שורש ושטחו מקסימלי, ומשולש שנוצר ממשיק לגרף √(9-x). יש גם שאלה על מכפלת השיעורים של נקודה על הגרף. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ואפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וקובץ Word.

25 שאלותקלה: 7בינונית: 13קשה: 5

שאלה 1 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ והנקודה A(4,0)A(4,0)A(4,0).

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה הקרובה ביותר לנקודה AAA, ואת המרחק הקטן ביותר.

שאלה 2 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=kx−1f(x)=\frac{k}{\sqrt{x-1}}f(x)=x−1​k​ בתחום x>1x>1x>1, כאשר kkk פרמטר חיובי. לכל נקודה על גרף הפונקציה מחשבים את המכפלה של שיעור ה-xxx שלה בשיעור ה-yyy שלה.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של הנקודה שעבורה המכפלה היא הקטנה ביותר, והראו שהוא אינו תלוי ב-kkk.

ב.

נתון כי המכפלה הקטנה ביותר היא 121212. מצאו את kkk.

שאלה 3 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלה קצרה · קשה

הנקודות O(0,0)O(0,0)O(0,0) ו-A(9,3)A(9,3)A(9,3) נמצאות על גרף הפונקציה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​. הנקודה PPP נמצאת על הגרף בין OOO ל-AAA.
y=x​
OPA

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה שטח המשולש OPAOPAOPA הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 4 · בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף שורש - שלב אחר שלבשאלה מלאה · קלה

הקדקוד BBB של המלבן ABCDABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}f(x)=x+2​. הצלע ADADAD מונחת על הישר x=7x=7x=7 והצלע DCDCDC מונחת על ציר ה-xxx (ראו ציור). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה BBB (−2<t<7-2<t<7−2<t<7).
BCDAF

א.

הראו כי שטח המלבן הוא S(t)=(7−t)t+2S(t)=(7-t)\sqrt{t+2}S(t)=(7−t)t+2​.

ב.

מצאו את ttt שעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת שיעורי BBB.

ג.

מהו השטח המקסימלי של המלבן?

ד.

גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה FFF. מצאו את שטח המשולש BFCBFCBFC כאשר שטח המלבן מקסימלי.

שאלה 5 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=12−xf(x)=\sqrt{12-x}f(x)=12−x​. הנקודה CCC נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, והנקודה BBB היא עקב האנך מ-CCC לציר ה-xxx. OOO - ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC שעבורה שטח המשולש OBCOBCOBC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 6 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלת ביניים · קשה

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x)=9−xf(x)=\sqrt{9-x}f(x)=9−x​. דרך הנקודה P(t,f(t))P(t,f(t))P(t,f(t)) שעל הגרף, 0≤t<90\le t<90≤t<9, מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO - ראשית הצירים.
y=f(x)
PABO

א.

הביעו באמצעות ttt את האורכים OAOAOA ו-OBOBOB.

ב.

מצאו את השטח הקטן ביותר של המשולש AOBAOBAOB.

שאלה 7 · בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף פונקציית שורששאלה מלאה · בינונית

הקדקוד BBB של המלבן ABCDABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=12−x2f(x)=\sqrt{12-x^2}f(x)=12−x2​. הצלע ADADAD מונחת על הישר x=−2x=-2x=−2 והצלע DCDCDC מונחת על ציר ה-xxx (ראו ציור).
BCDAF

א.

מה צריכים להיות שיעורי הנקודה BBB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

ב.

גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה FFF (ראו ציור). מצאו את שטח המשולש BFCBFCBFC כאשר שטח המלבן ABCDABCDABCD הוא מקסימלי.

שאלה 8 · עלייה, ירידה ונקודות קיצון, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלה קצרה · קשה

נתונים גרף הפונקציה y=xy=\sqrt{x}y=x​ והנקודה P(a,0)P(a,0)P(a,0), כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הנקודה על גרף הפונקציה הקרובה ביותר לנקודה PPP היא ראשית הצירים.

שאלה 9 · בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

הנקודה BBB נמצאת על גרף הפונקציה f(x)=6−xf(x)=\sqrt{6-x}f(x)=6−x​ ברביע הראשון. CCC היא העקב של האנך מ-BBB לציר ה-xxx, ו-OOO ראשית הצירים.

א.

מצאו את שיעורי BBB שעבורם שטח המשולש OBCOBCOBC מקסימלי.

ב.

מהו השטח המקסימלי של המשולש?

שאלה 10 · בעיית קיצון עם פרמטר: מלבן מתחת לגרף √xשאלה מלאה · קשה

הקדקוד BBB של המלבן ABCDABCDABCD נמצא על גרף הפונקציה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​. הצלע ADADAD מונחת על הישר x=kx=kx=k (k>0k>0k>0 פרמטר), והצלע DCDCDC מונחת על ציר ה-xxx (ראו ציור).
BCDAF

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי BBB כאשר שטח המלבן מקסימלי.

ב.

ידוע שהשטח המקסימלי של המלבן הוא 16. מצאו את kkk.

ג.

FFF היא ראשית הצירים. מצאו את היחס בין שטח המשולש BFCBFCBFC לבין שטח המלבן ABCDABCDABCD כאשר שטח המלבן מקסימלי. האם היחס תלוי ב-kkk?

ד.

עבור k=12k=12k=12: בכמה מיקומים שונים של BBB שטח המלבן הוא 10? ובכמה הוא 20? נמקו בלי לפתור משוואות.

עוד 1 שאלות על בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציית שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטח מקסימלי של מלבן שקודקוד שלו על גרף שורש (שאלת ביניים · בינונית)
הקדקוד $B$ של המלבן $ABCD$ נמצא על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{x+2}$ . הצלע $AD$ מונחת על הישר $x=7$ והצלע $DC$ מונחת על ציר ה- $x$ (ראו ציור).…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף פונקציית שורש · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
הקדקוד $B$ של המלבן $ABCD$ נמצא על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{2x-4}$ . הצלע $AD$ מונחת על הישר $x=10$ והצלע $DC$ מונחת על ציר ה- $x$ (ראה ציור).

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הפונקציות $x^{2}$ ו- $x$ : קטע אופקי בין הגרפים ומשולש בעל שטח מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שתי פונקציות: $f(x)=x^2$ , $g(x)=\sqrt x$ .
הישר $y = x$ והפונקציה $x$ : קטע אופקי ומשולש בעל שטח מקסימלי - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=x$ ו- $g(x)=\sqrt x$ .
פונקציית שורש וישר: נקודות חיתוך, קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=2\sqrt{x^2-1}$ . נתון הישר $y=3x-3$ .
חצי מעגל וישר: נקודות חיתוך, קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ . נתון הישר $y=10-2x$ .
פונקציית שורש וישר: קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=2\sqrt{x+1}$ . נתון הישר $y=2x+2$ .
פונקציית שורש $(16 - x) x$ : חקירה, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי - בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(16-x)\sqrt{x}$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{8-2x}$ . המלבן $OPQR$ בנוי כך ש- $O$ בראשית הצירים, $P$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ ,…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt x$ ו- $h(x)=\frac{12}{x+4}$ , המוגדרות בתחום $x\ge0$ . בנקודה $C(t,0)$ , $t>0$ ,…
מלבן חסום מתחת לחצי מעגל וריבוע על הקטע EF: מקסימום של הפרש היקפים עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , $R$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום…
מלבן חסום מתחת לחצי מעגל שרדיוסו 5: מקסימום של היקף המלבן פחות EF (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ בתחום $-5\le x\le5$ . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{12-3x}$ בתחום $0\le x\le4$ . O היא ראשית הצירים. הנקודה A נמצאת…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · קלה)
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{12-2x}$ . מן הנקודה A מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\sqrt{x-1}$ והישר $y=x-1$ . הנקודה A נמצאת על גרף $f(x)$ בין שתי נקודות החיתוך של הגרף עם…