שאלות פתוחות: בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על בעיות קיצון גאומטריות במישור שמובילות לפונקציית שורש, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות יש מעוין שסכום אלכסוניו נתון, משולש ישר זווית שבו סכום ניצב ויתר קבוע, מלבן וטרפז החסומים בחצי עיגול, ומשולש שווה שוקיים החסום במעגל. בכל שאלה מבטאים צלע בעזרת פיתגורס, מקבלים פונקציה עם שורש ומוצאים את השטח או ההיקף הקיצוני. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

29 שאלותקלה: 5בינונית: 18קשה: 6

שאלה 1 · בעיית קיצון: מעוין עם סכום אלכסונים נתוןשאלה מלאה · קלה

במעוין ABCDABCDABCD האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה MMM. סכום האורכים של האלכסונים הוא 40 ס"מ. נסמן ב-2x2x2x את אורך האלכסון ACACAC.
ABCDM

א.

הראו כי MB=20−xMB=20-xMB=20−x, וכי אורך צלע המעוין הוא 2x2−40x+400\sqrt{2x^2-40x+400}2x2−40x+400​.

ב.

קבעו באיזה תחום ערכים יכול להיות xxx.

ג.

רשמו את פונקציית ההיקף P(x)P(x)P(x) ומצאו את הנגזרת P′(x)P'(x)P′(x).

ד.

מה צריכים להיות אורכי האלכסונים כדי שהיקף המעוין יהיה מינימלי? מהו ההיקף המינימלי?

שאלה 2 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורששאלת ביניים · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘) סכום האורכים של הניצב ACACAC ושל היתר ABABAB הוא 121212 ס"מ. נסמן AC=xAC=xAC=x.

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הניצב BCBCBC, וקבעו באיזה תחום ערכים יכול להיות xxx.

ב.

מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש.

שאלה 3 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורששאלת ביניים · קשה

משולש שווה-שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) חסום במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 666 ס"מ. נסמן ב-hhh את אורך הגובה ADADAD לבסיס BCBCBC. נתון כי מרכז המעגל OOO נמצא על הישר ADADAD.

א.

הביעו באמצעות hhh את שטח המשולש, וקבעו את תחום הערכים של hhh.

ב.

מצאו את hhh שעבורו שטח המשולש הגדול ביותר, ואת השטח הזה. הראו כי במקרה זה המשולש שווה-צלעות.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בחצי מעגל שרדיוסו 6 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים ABOABOABO, שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל OOO ובסיסו ABABAB מקביל לקוטר (ראו ציור). נסמן ב-xxx את גובה המשולש OHOHOH.
OABH

א.

הסבירו מדוע HHH היא אמצע ABABAB, והביעו באמצעות xxx את AHAHAH.

ב.

הראו כי שטח המשולש הוא S(x)=x36−x2S(x)=x\sqrt{36-x^2}S(x)=x36−x2​, ורשמו את התחום של xxx.

ג.

הראו כי S′(x)=36−2x236−x2S'(x)=\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}S′(x)=36−x2​36−2x2​.

ד.

מצאו את xxx שבעבורו השטח מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלה 5 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

מלבן חסום בחצי עיגול שרדיוסו rrr: אחת מצלעותיו מונחת על הקוטר, ושני הקודקודים האחרים שלו נמצאים על הקשת. נסמן ב-xxx את מחצית אורך הצלע שעל הקוטר.

א.

הביעו באמצעות xxx ו-rrr את שטח המלבן.

ב.

מצאו את היחס בין אורך הצלע שעל הקוטר לאורך הצלע הסמוכה לה, במלבן ששטחו הגדול ביותר.

שאלה 6 · מעוין עם סכום אלכסונים קבוע: אילו היקפים אפשרייםשאלה מלאה · קשה

במעוין ABCDABCDABCD האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה MMM. סכום האורכים של האלכסונים הוא 60 ס"מ. נסמן ב-2x2x2x את אורך האלכסון ACACAC.

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך צלע המעוין, וקבעו את תחום הערכים של xxx.

ב.

היקף המעוין הוא 241324\sqrt{13}2413​ ס"מ. מצאו את אורכי האלכסונים. הסבירו מדוע שני הפתרונות מתארים אותו מעוין.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של היקף המעוין.

ד.

שטח המעוין הוא 400 סמ"ר. מצאו את אורכי האלכסונים ואת היקף המעוין.

שאלה 7 · בעיית קיצון: היקף מרבי של משולש ישר זווית בתוך מלבןשאלה מלאה · קלה

נתון מלבן ABCDABCDABCD. הנקודה FFF היא אמצע הצלע BCBCBC, ו-EEE נקודה על ADADAD כך ש-EF⊥ADEF\perp ADEF⊥AD.
הנקודה KKK נמצאת על EFEFEF כך ש-EK=KC=5EK=KC=5EK=KC=5 ס"מ. FC=xFC=xFC=x.
ADCBFEK

א.

הראו כי FK=25−x2FK=\sqrt{25-x^2}FK=25−x2​.

ב.

הביעו באמצעות xxx את היקף המשולש KFCKFCKFC.

ג.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC שעבורו היקף המשולש KFCKFCKFC מקסימלי.

ד.

חשבו את היקף המלבן ABCDABCDABCD עבור האורך של BCBCBC שמצאתם.

שאלה 8 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

טרפז ABCDABCDABCD חסום בחצי עיגול שמרכזו OOO ורדיוסו 444 ס"מ: הבסיס הגדול ABABAB הוא קוטר חצי העיגול, והקודקודים CCC ו-DDD של הבסיס הקטן נמצאים על הקשת. נסמן ב-xxx את מחצית אורך הבסיס הקטן DCDCDC.

א.

הביעו באמצעות xxx את היקף הטרפז.

ב.

מצאו את ההיקף הגדול ביותר האפשרי של הטרפז.

שאלה 9 · טרפז בחצי מעגל: שטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

בחצי מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 12 ס"מ חסום טרפז ABCDABCDABCD: הבסיס DCDCDC הוא קוטר חצי המעגל, והקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על הקשת (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC), כמתואר בציור. נסמן ב-xxx את גובה הטרפז OHOHOH (HHH על ABABAB).
DCOABH

א.

הביעו באמצעות xxx את שטח הטרפז.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי.

ג.

מצאו את השטח המקסימלי של הטרפז.

ד.

הוכיחו שכאשר שטח הטרפז מקסימלי, הקטעים OAOAOA ו-OBOBOB מחלקים אותו לשלושה משולשים שווי צלעות.

שאלה 10 · בעיית קיצון במעגל: משולש ישר זווית ברדיוסשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 6 ס"מ. OBOBOB רדיוס במעגל. הנקודה EEE נמצאת על המעגל, והנקודה DDD על הרדיוס OBOBOB, כך ש-ED⊥OBED\perp OBED⊥OB.
נסמן OD=xOD=xOD=x.
xOBDE

א.

הביעו את אורך EDEDED באמצעות xxx.

ב.

הביעו את שטח המשולש ODEODEODE באמצעות xxx.

ג.

הראו ש-S′(x)=18−x236−x2S'(x)=\frac{18-x^2}{\sqrt{36-x^2}}S′(x)=36−x2​18−x2​.

ד.

מצאו את xxx שבעבורו שטח המשולש ODEODEODE מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

עוד 15 שאלות על בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
הולך רגל נמצא בנקודה $A$ בשדה, במרחק $4$ ק"מ מהנקודה $C$ שעל כביש ישר ( $AC$ מאונך לכביש). עליו להגיע לנקודה $B$ שעל הכביש, במרחק $10$ ק"מ…
בעיית קיצון עם פרמטר: היקף מלבן ומספר המלבנים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ . הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$ , ו- $E$ נקודה על הצלע $AD$ כך ש- $EF\perp AD$ . הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $EF$ , בין $E$ ל- $F$ ,…
אורך הבסיס במשולש שווה-שוקיים בעל שטח מקסימלי (שאלה קצרה · קלה)
במשולש שווה שוקיים אורך כל אחת מהשוקיים 10 ס"מ, ואורך הבסיס $2x$ . נתון כי שטח המשולש הוא $S(x)=x\sqrt{100-x^2}$ , כאשר $0<x<10$ .
בעיית קיצון: קישוט בצורת מעוין עם היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
דנה מכינה קישוט בצורת מעוין. השלד בנוי ממקל אחד לאורך האלכסון $AC$ ומקל כפול לאורך האלכסון $BD$ (שני מקלות זהים צמודים, לחיזוק), והמקלות…
בעיית קיצון במעגל: משולש חסום ומיתר מוגבל (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 ס"מ. המיתר $EF$ מאונך לקוטר $AB$ וחותך אותו בנקודה $D$ , הנמצאת בין $O$ ל- $B$ . נסמן $OD=x$ .
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים סכום האורכים של הבסיס ושל הגובה לבסיס הוא 24 ס"מ. נסמן ב- $2x$ את אורך הבסיס.
גובה הטרפז בעל השטח המקסימלי החסום בחצי מעגל (שאלה קצרה · קשה)
בחצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 12 ס"מ חסום טרפז $ABCD$ : הבסיס $DC$ הוא קוטר חצי המעגל, והקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על הקשת ( $AB\parallel DC$ ),…
משולש בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בחצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 8 ס"מ, $PQ$ הוא הקוטר. הנקודה $A$ נמצאת על הקשת, ו- $H$ היא עקב האנך מ- $A$ לקוטר, כך ש- $H$ נמצאת בין $O$ ל- $Q$ …
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
בחצי עיגול שרדיוסו 5 ס"מ חסום מלבן: צלע אחת שלו מונחת על הקוטר, ושני הקודקודים האחרים על הקשת. נסמן ב- $x$ את גובה המלבן.
בעיית קיצון: היקף מרבי של מרובע בתוך מלבן (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ . הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$ . $E$ היא נקודה על הצלע $AD$ , כך ש- $EF$ מאונך ל- $AD$ . הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ אורך כל אחת מהשוקיים $AB=AC=6$ ס"מ. נסמן את מחצית הבסיס $BC$ ב- $x$ .
בעיית קיצון בחצי עיגול: מלבן חסום (שאלה מלאה · בינונית)
בחצי עיגול שמרכזו $O$ ורדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן $DEFG$ : הצלע $DG$ מונחת על הקוטר $AB$ , $O$ היא אמצע $DG$ , והקודקודים $E$ ו- $F$ נמצאים על…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים אורך כל אחת מהשוקיים 10 ס"מ, ואורך הבסיס $2x$ .
היקף מקסימלי של מרובע בתוך מלבן (שאלה קצרה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ . הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$ . $E$ היא נקודה על הצלע $AD$ , כך ש- $EF$ מאונך ל- $AD$ . הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך…
שטח גדול ביותר של משולש במעגל כשאורך המיתר מוגבל (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 ס"מ. המיתר $EF$ מאונך לקוטר $AB$ וחותך אותו בנקודה $D$ , הנמצאת בין $O$ ל- $B$ . נסמן $OD=x$ . נתון כי…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

בעיית קיצון: עפיפון בצורת מעוין עם היקף מינימלי · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 8
רון בנה עפיפון בצורת מעוין. הוא בנה שלד בעזרת שני מקלות מאונכים $AC$ ו- $BD$ (ראה ציור). סכום האורכים של $AC$ ו- $BD$ הוא 100 ס"מ. נסמן ב- $2x$ את אורך האלכסון…
משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: שטח מקסימלי · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 8
בחצי מעגל שרדיוסו 10 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים $ABO$ כך שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל $O$ , ובסיסו $AB$ מקביל לקוטר (ראו ציור). נסמן ב- $x$ את גובה המשולש $OH$ .
בעיית קיצון: היקף מרבי של מלבן · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
נתון מלבן $ABCD$ . הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$ . $E$ היא נקודה על הצלע $AD$ , כך ש- $EF$ מאונך ל- $AD$ . הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך ש- $EK=KC=10$ ס"מ (ראה ציור).…
בעיית קיצון במעגל: משולש ישר זווית על הקוטר · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
על קוטר של מעגל ברדיוס 10 ס"מ, מסרטטים משולש ישר זווית $AED$ . הניצב $AD$ של המשולש נמצא על הקוטר $AB$ וניצב שני מאונך לקוטר וחותך את המעגל בנקודה $E$ . נסמן את…