שאלות פתוחות: בעיות קיצון בתחום סגור - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על בעיות קיצון בתחום סגור לכיתה י"א 4 יחידות. כאן הערך הגדול או הקטן ביותר יכול להתקבל בקצה הקטע ולא רק בנקודת קיצון, ולכן משווים בין שתיהן. יש שאלות על פולינום ממעלה שלישית בקטע סגור עם פרמטר, על גינה צמודה לקיר עם הגבלה על אורך הצלעות, ועל נקודה על גרף של פונקציה רציונלית בתחום מוגבל. רוב השאלות קשות, לצד בינוניות וקלות, ומתאים במיוחד להכנה למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

28 שאלותקלה: 4בינונית: 9קשה: 15

שאלה 1 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלה קצרה · קלה

שני מספרים xxx ו-yyy מקיימים x+y=6x+y=6x+y=6, ונתון ש-1≤x≤51\le x\le51≤x≤5.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של המכפלה x⋅y2x\cdot y^2x⋅y2.

שאלה 2 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−9x2+12x+cf(x)=2x^3-9x^2+12x+cf(x)=2x3−9x2+12x+c בקטע הסגור 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3, כאשר ccc פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע הוא 161616.

א.

מצאו את ccc.

ב.

מצאו את הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע, ואת הנקודה שבה הוא מתקבל.

שאלה 3 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x+2f(x)=-x^3+3x+2f(x)=−x3+3x+2 בקטע הסגור m≤x≤2m\le x\le2m≤x≤2, כאשר m<−1m<-1m<−1. הערך הגדול ביותר של fff בקטע מתקבל בשתי נקודות שונות של הקטע.

א.

מצאו את mmm.

ב.

מצאו את הערך הקטן ביותר של fff בקטע, ואת כל הנקודות שבהן הוא מתקבל.

שאלה 4 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלה קצרה · קלה

בונים גינה מלבנית צמודה לקיר אבן, ומגדרים את שלוש צלעותיה האחרות בגדר שאורכה הכולל 202020 מ'. נסמן ב-xxx את אורך כל אחת משתי הצלעות הניצבות לקיר (במטרים). משיקולי תכנון נקבע ש-1≤x≤41\le x\le41≤x≤4.
xx

מצאו את השטח הגדול ביותר ואת השטח הקטן ביותר של הגינה בתנאים אלה.

שאלה 5 · בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף $4 - \frac{9}{x}$ שאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: f(x)=4−9xf(x)=4-\frac9xf(x)=4−x9​, בתחום x>0x>0x>0.
גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA. מן הנקודה B(16,0)B(16,0)B(16,0) העבירו אנך לציר ה-xxx.
CCC היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה CCC, 2.25<t<162.25<t<162.25<t<16.
מן הנקודה CCC העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx וחותך את האנך בנקודה DDD.
ABCD

א.

מצאו את שיעורי הנקודות: AAA, CCC ו-DDD. הביעו את תשובותיכם באמצעות ttt, אם יש צורך.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC שבעבורה שטח המשולש ACDACDACD הוא מקסימלי.

ג.

קבעו אם ייתכן ששטח המשולש ACDACDACD שווה ל-13. נמקו את קביעתכם.

שאלה 6 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}f(x)=x2+1x​. לכל ערך של הפרמטר kkk מתבוננים בפונקציה בקטע הסגור k≤x≤k+1k\le x\le k+1k≤x≤k+1.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם הערך הגדול ביותר של fff בקטע מתקבל בנקודה פנימית של הקטע (ולא באחד מקצותיו).

שאלה 7 · בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף - עם הכוונהשאלה מלאה · קלה

נתון גרף הפונקציה f(x)=2−8xf(x)=2-\frac8xf(x)=2−x8​ בתחום x>0x>0x>0. הגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA. מן הנקודה B(16,0)B(16,0)B(16,0) מעבירים אנך לציר ה-xxx.
CCC היא נקודה על הגרף ששיעור ה-xxx שלה ttt, 4<t<164<t<164<t<16. מ-CCC מעבירים ישר המקביל לציר ה-xxx, והוא חותך את האנך בנקודה DDD (ראו סרטוט).
ABCD

א.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA, והביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ב.

הראו כי שטח המשולש ACDACDACD הוא S(t)=20−t−64tS(t)=20-t-\frac{64}{t}S(t)=20−t−t64​.

ג.

מצאו את ttt שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

האם ייתכן ששטח המשולש ACDACDACD שווה ל-5? נמקו.

שאלה 8 · בעיות קיצון בתחום סגורשאלה קצרה · בינונית

נתון גרף הפונקציה f(x)=3−3xf(x)=3-\frac3xf(x)=3−x3​ בתחום x>0x>0x>0, החותך את ציר ה-xxx בנקודה A(1,0)A(1,0)A(1,0). CCC היא נקודה על הגרף ששיעור ה-xxx שלה ttt, 1<t<91<t<91<t<9. מ-CCC מעבירים ישר המקביל לציר ה-xxx, והוא חותך את הישר x=9x=9x=9 בנקודה DDD.

א.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש ACDACDACD.

ב.

האם ייתכן ששטח המשולש ACDACDACD שווה ל-7? האם ייתכן שהוא שווה ל-3.75? אם כן - מצאו את שיעורי CCC.

שאלה 9 · מעוין עם סכום אלכסונים קבוע: אילו היקפים אפשרייםשאלה מלאה · קשה

במעוין ABCDABCDABCD האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה MMM. סכום האורכים של האלכסונים הוא 60 ס"מ. נסמן ב-2x2x2x את אורך האלכסון ACACAC.

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך צלע המעוין, וקבעו את תחום הערכים של xxx.

ב.

היקף המעוין הוא 241324\sqrt{13}2413​ ס"מ. מצאו את אורכי האלכסונים. הסבירו מדוע שני הפתרונות מתארים אותו מעוין.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של היקף המעוין.

ד.

שטח המעוין הוא 400 סמ"ר. מצאו את אורכי האלכסונים ואת היקף המעוין.

שאלה 10 · שטח גדול ביותר של משולש במעגל כשאורך המיתר מוגבלשאלה קצרה · בינונית

ABABAB קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 13 ס"מ. המיתר EFEFEF מאונך לקוטר ABABAB וחותך אותו בנקודה DDD, הנמצאת בין OOO ל-BBB.
נסמן OD=xOD=xOD=x. נתון כי אורך המיתר הוא EF=2169−x2EF=2\sqrt{169-x^2}EF=2169−x2​, ששטח המשולש AEFAEFAEF הוא S(x)=(13+x)169−x2S(x)=(13+x)\sqrt{169-x^2}S(x)=(13+x)169−x2​, וכי SSS עולה עבור 0≤x<6.50\le x<6.50≤x<6.5 ויורדת עבור 6.5<x<136.5<x<136.5<x<13.
xABODEF

נוסף תנאי: אורך המיתר EFEFEF הוא לכל היותר 20 ס"מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש AEFAEFAEF?

עוד 12 שאלות על בעיות קיצון בתחום סגור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון עם אילוץ: המינימום בקצה התחום (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ , ששטחו 48. $M$ היא נקודה על הצלע $BC$ כך ש- $MC=2MB$ . נסמן $MB=x$ . נתון גם כי $AC\ge12$ .
בעיית קיצון עם פרמטר: מיקום האנך וערכי השטח (שאלה מלאה · קשה)
נתון גרף הפונקציה $f(x)=3-\frac6x$ בתחום $x>0$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(b,0)$ , $b>2$ , מעבירים אנך לציר ה- $x$ . $C$ …
מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות: פרמטר ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, העבירו…
בעיית קיצון עם פרמטר: מינימום שאינו תלוי ביחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{x-9}{x-12}$ בתחום $x>12$ . $O$ ראשית הצירים. הנקודה $A$ על הגרף, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ . האנך מ- $A$ …
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מלבן בהיקף מינימלי ומספר מלבנים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-k}$ , ו- $k>2$ הוא פרמטר. $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף…
מלבן לאסימפטוטות עם פרמטר: היקף מינימלי ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{x-2}+1$ , כאשר $k>0$ . מנקודה $A$ שעל הענף הימני של הגרף ( $x>2$ ) מעבירים אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה, כך שנוצר…
בעיית קיצון עם פרמטר: מהשטח המינימלי לסכום הניצבים (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע $AB$ בנו משולש ישר זווית $AEB$ שהיתר שלו $AB$ , מחוץ למשולש $ABC$ .…
בעיית קיצון עם פרמטר: היקף מלבן ומספר המלבנים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ . הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$ , ו- $E$ נקודה על הצלע $AD$ כך ש- $EF\perp AD$ . הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $EF$ , בין $E$ ל- $F$ ,…
בעיית קיצון במעגל: משולש חסום ומיתר מוגבל (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 ס"מ. המיתר $EF$ מאונך לקוטר $AB$ וחותך אותו בנקודה $D$ , הנמצאת בין $O$ ל- $B$ . נסמן $OD=x$ .
בעיית קיצון עם פרמטר: מלבן מתחת לגרף √x (שאלה מלאה · קשה)
הקדקוד $B$ של המלבן $ABCD$ נמצא על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$ . הצלע $AD$ מונחת על הישר $x=k$ ( $k>0$ פרמטר), והצלע $DC$ מונחת על ציר ה- $x$ …
מציאת קצה הקטע כשהמקסימום מתקבל בשתי נקודות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=-x^3+3x+2$ בקטע הסגור $m\le x\le2$ , כאשר $m<-1$ . הערך הגדול ביותר של $f$ בקטע מתקבל בשתי נקודות שונות של הקטע.
סכום ריבועי מרחקים מינימלי עם אילוץ על צלע - מינימום בקצה (שאלת ביניים · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ , ששטחו 48. $M$ היא נקודה על הצלע $BC$ כך ש- $MC=2MB$ . נסמן $MB=x$ . נתון גם כי $AC\ge12$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף $4 - \frac{3}{x}$ · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=4-\frac3x$ , בתחום $x>0$ . גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(12,0)$ העבירו אנך לציר ה- $x$ .…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משולש מקסימלי מתחת לגרף פולינום בתחום מוגבל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $y=6x^2-x^3$ בתחום $0\le x\le6$ . הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך…
קטע אנכי בין גרף פולינום לישר: קיצון מוחלט בתחום סגור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים גרף הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2$ והישר $y=9x+30$ . הנקודה $P$ נמצאת על גרף $f(x)$ ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ,…
קטע אופקי בין גרף $x (x - 1) (x - 2)$ לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+2x$ והישר $y=2x+b$ . $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת…
קטע אופקי בין גרף $x^{3} + 3 x$ לישר $y = 6 x + 4$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה $f(x)=x^3+3x$ והישר $y=6x+4$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף $f(x)$ , משמאל לנקודת…
קטע אופקי בין גרף $(4 x - 2)^{3}$ לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: $f(x)=(4x-2)^3$ והישר $y=3x+b$ . $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת על…