שאלות פתוחות: רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2R - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על רדיוס המעגל החוסם ועל משפט הסינוסים בצורה a/sinα=2R, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחשבים את רדיוס המעגל החוסם מתוך צלע והזווית שמולה, או צלעות וזוויות מתוך רדיוס נתון, כמו מיתר שאורכו שווה לרדיוס. יש שאלה שמשווה בין רדיוסי המעגלים החוסמים שני משולשים שנוצרים מחוצה זווית, ושאלות במערכת צירים עם משוואת מעגל. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר לשלב את השאלות במבחן או בדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

38 שאלותקלה: 8בינונית: 22קשה: 8

שאלה 1 · רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2Rשאלה קצרה · קלה

במעגל שרדיוסו 101010 נמתח המיתר ABABAB שאורכו 101010. הנקודה CCC נמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, והנקודה DDD נמצאת על הקשת הקטנה ABABAB.

א.

מצאו את גודל הזווית ACBACBACB ואת גודל הזווית ADBADBADB.

ב.

נתון גם כי AC=BCAC=BCAC=BC. מצאו את אורך המיתר ACACAC.

שאלה 2 · רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2Rשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הקטע ADADAD הוא חוצה הזווית BACBACBAC (DDD על הצלע BCBCBC). נתון: AB=8AB=8AB=8, AC=12AC=12AC=12, ∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ∠BAC=60∘. נסמן ב-R1R_1R1​ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABDABD, וב-R2R_2R2​ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACDACDACD.
ABCD

א.

מצאו את היחס R1R2\frac{R_1}{R_2}R2​R1​​.

ב.

מצאו את R1R_1R1​.

שאלה 3 · רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2Rשאלה קצרה · קשה

משולש חסום במעגל שרדיוסו RRR. אורך אחת מצלעותיו הוא RRR, ואורך צלע אחרת הוא R2R\sqrt2R2​.

מצאו את כל הערכים האפשריים של הזווית הכלואה בין שתי הצלעות האלה.

שאלה 4 · רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2Rשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: ∠A=40∘\angle A=40^\circ∠A=40∘, ∠B=80∘\angle B=80^\circ∠B=80∘, ואורך הצלע ABABAB הוא 666 ס"מ.

א.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

ב.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

שאלה 5 · מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסיםשאלה מלאה · בינונית

במעגל המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE, כמתואר באיור.
ABCDExy

א.

הוכיחו כי המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE דומים.

ב.

משוואת המעגל הנתון היא: (x−4)2+(y−1)2=25(x-4)^2+(y-1)^2=25(x−4)2+(y−1)2=25. הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על ציר ה-yyy.

חשבו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ג.

העבירו מיתר ADADAD. נתון: ∠CAD=45∘\angle CAD=45^\circ∠CAD=45∘.

(1)

חשבו את אורך המיתר CDCDCD.

(2)

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABEABEABE ובין שטח המשולש DCEDCEDCE.

שאלה 6 · מיתרים נחתכים: יחס שטחים כפונקציה של זוויתשאלה מלאה · קשה

במעגל שמשוואתו (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25(x−4)2+(y+3)2=25 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על הקשת שמימין לציר ה-yyy, כמתואר באיור. נסמן ∠CAD=α\angle CAD=\alpha∠CAD=α.
ABCDExy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

הוכיחו כי △ABE∼△DCE\triangle ABE\sim\triangle DCE△ABE∼△DCE, והביעו באמצעות α\alphaα את היחס SABESDCE\frac{S_{ABE}}{S_{DCE}}SDCE​SABE​​.

ג.

מצאו את α\alphaα (זווית חדה) שבעבורה המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE חופפים.

ד.

האם ייתכן ששטח המשולש DCEDCEDCE יהיה גדול פי 4 משטח המשולש ABEABEABE? נמקו.

שאלה 7 · מיתרים נחתכים במעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

במעגל שמשוואתו (x−8)2+(y−1)2=100(x-8)^2+(y-1)^2=100(x−8)2+(y−1)2=100 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), כמתואר באיור.
ABCDExy

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC∠BAC=∠BDC.

(2)

הוכיחו כי המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE דומים.

ב.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ד.

העבירו מיתר ADADAD. נתון: ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘.

המעגל חוסם את המשולש ACDACDACD. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ACDACDACD וחשבו את אורך המיתר CDCDCD.

ה.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABEABEABE למשולש DCEDCEDCE, ואת היחס בין שטחיהם.

שאלה 8 · רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2Rשאלה קצרה · בינונית

הנקודות KKK, LLL ו-MMM נמצאות על המעגל (x+1)2+(y−2)2=36(x+1)^2+(y-2)^2=36(x+1)2+(y−2)2=36. נתון: ∠KML=45∘\angle KML=45^\circ∠KML=45∘, ∠MKL=60∘\angle MKL=60^\circ∠MKL=60∘.

א.

חשבו את אורך המיתר KLKLKL.

ב.

חשבו את אורך המיתר MLMLML.

שאלה 9 · מעגל במערכת צירים: משולש חסום ושטח מקסימלי על קשתשאלה מלאה · קשה

במעגל חסום משולש חד-זווית ABCABCABC. נתון: A(−7,8)A(-7,8)A(−7,8), B(1,14)B(1,14)B(1,14). מרכז המעגל MMM נמצא על ציר ה-yyy. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות CCC ו-DDD (CCC מימין).
ABCDEM

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

הנקודה EEE נעה על הקשת הקטנה ACACAC.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE שבעבורה שטח המשולש AECAECAEC הוא המקסימלי, ומצאו את השטח המקסימלי.

ד.

בעבור הנקודה EEE שמצאתם, מצאו את הזוויות של המשולש AECAECAEC.

שאלה 10 · מעגל במערכת צירים: ממשוואת המעגל לזוויות ולשטחשאלה מלאה · קלה

מרכז המעגל שבסרטוט הוא M(0,5)M(0,5)M(0,5), והמעגל עובר בנקודה A(−5,6)A(-5,6)A(−5,6). המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות CCC ו-DDD (CCC מימין). הנקודה B(1,10)B(1,10)B(1,10) נמצאת על המעגל, והמשולש ABCABCABC חד זוויות.
ABCDEM

א.

(1)

מצאו את משוואת המעגל.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ב.

(1)

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

(2)

היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ABCABCABC, ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2Rsin∠ABCAC​=2R, ומצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

הנקודה E(−5,4)E(-5,4)E(−5,4) נמצאת על הקשת הקטנה ACACAC.

הסבירו מדוע ABCEABCEABCE הוא מרובע חסום במעגל, ומצאו את גודל הזווית AECAECAEC.

ד.

(1)

נתון: EC=52EC=\sqrt{52}EC=52​. מצאו את גודל הזווית EACEACEAC.

(2)

מצאו את שטח המשולש AECAECAEC.

עוד 18 שאלות על רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2R

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל במערכת צירים: משולש חסום ומרובע חסום (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,4)$ , $B(4,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ ,…
משולש חסום במעגל: מרכז נעלם ונקודה לפי רדיוס (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שעובר דרך ראשית הצירים $O$ ודרך הנקודה $A(0,10)$ . מרכז המעגל נמצא על הישר $y=x$ (ראו סרטוט).
משולש חסום במעגל: משוואה, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M(4,3)$ , והוא עובר דרך ראשית הצירים $O$ . הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של המעגל עם החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המיתר $AB$ …
משולש חסום במעגל במערכת צירים: זווית ורדיוס (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל. נתון כי מרכז המעגל $M$ נמצא בנקודה $(3,4)$ . המעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ (ראו סרטוט). הנקודה $A$ היא אחת מנקודות…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: המעגל החוסם (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $CD$ …
משולש חסום במעגל: זווית מרכזית, רדיוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .
רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2R (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל $x^2+y^2=25$ . נתון: $A(-3,4)$ , $B(3,4)$ , $C(0,-5)$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ .
משולש חסום במעגל: שני מקומות אפשריים לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ העבירו מיתר $AB$ שאורכו 24 ס"מ. $M$ היא נקודה על המיתר כך ש- $OM\perp AB$ , ו- $OM=5$ ס"מ. $C$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $A$ …
רדיוס המעגל החוסם משתי זוויות וצלע (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ נתון: $\angle A=40^\circ$ , $\angle B=80^\circ$ , ואורך הצלע $AB$ הוא $6$ ס"מ.
משולש שווה שוקיים: דמיון, זווית ויחס רדיוסים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ הוא שווה שוקיים ( $CB=AB$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AE=AC$ .
נקודה על צלע לפי רדיוס המעגל החוסם משולש (שאלה קצרה · קשה)
במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(0,10)$ , $B(10,10)$ , $C(-2,6)$ (ראו סרטוט). משוואת הישר $BC$ היא $y=\frac13x+\frac{20}3$ , וגודל הזווית…
רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2R (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $KLM$ נתון: $KL=KM=13$ , $LM=10$ .
מיתר, שתי אפשרויות לזווית היקפית ושטחי המשולשים (שאלת ביניים · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ העבירו מיתר $AB$ שאורכו 24 ס"מ. $M$ היא נקודה על המיתר כך ש- $OM\perp AB$ , ו- $OM=5$ ס"מ. $C$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $A$ …
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
רדיוס המעגל החוסם: a/sinα=2R (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו 10 ס"מ. נתון: $\angle ACB=50^\circ$ , $BC=12$ ס"מ.
רדיוס המעגל החוסם משולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $KLM$ נתון: $KL=KM=13$ , $LM=10$ .
משולש ומרובע החסומים באותו מעגל: זוויות ושטח (שאלת ביניים · בינונית)
משולש חד זוויות $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $5$ . נתון: $AC=\sqrt{80}$ (ראו סרטוט).
יחס רדיוסי המעגלים החוסמים של משולשים דומים (צ.ז.צ) (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R_1$ , והמשולש $DEF$ חסום במעגל שרדיוסו $R_2$ . נתון: $AB=6$ ס"מ, $AC=10$ ס"מ, $\angle BAC=40^\circ$ ; $DE=9$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
מעגל במערכת צירים: משולש חסום, משפט הסינוסים ומרובע חסום · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,3)$ , $B(3,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.
משולש חסום במעגל במערכת צירים: משוואות, זווית ורדיוס · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל. נתון כי מרכז המעגל $M$ נמצא בנקודה $(4,8)$ . המעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ (ראו סרטוט). הנקודה $A$ היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם…
משולש שווה שוקיים: דמיון, זווית ויחס רדיוסים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
משולש $ABC$ הוא שווה שוקיים ( $CB=AB$ ). הנקודה $E$ נמצאת על צלע $BC$ כך ש- $AE=AC$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תיכון וחותך מאונכים במשולש: חישוב קטעים, שטח ויחס רדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ ומאונכים…
שני גבהים במשולש שווה-שוקיים: מעגל שהבסיס קוטרו (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ נתון: $AB=AC=9$ , $\angle BAC=40^\circ$ . $BD$ הוא הגובה לשוק $AC$ , ו- $CE$ הוא הגובה…
רדיוסי מעגלים חוסמים של שני משולשים עם זוויות צמודות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=7$ , $AC=10$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , ו- $\angle ADB=70^\circ$ .
חוט שנחתך למשולש שווה-צלעות ולמעגל: סכום שטחים מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
חותכים חוט שאורכו $k$ לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים משולש שווה-צלעות ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן…
משולש שווה-צלעות ומעגל בעלי אותו היקף: חסימה (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש שווה-צלעות שאורך צלעו $a$ .