שאלות פתוחות: זווית בין משיק למיתר - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הזווית בין משיק למיתר לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות משתמשים במשפט כדי להוכיח שוויון זוויות בשרטוטים של שני מעגלים נחתכים שבהם מיתר במעגל אחד משיק למעגל השני, של שני משיקים מנקודה חיצונית, ושל מלבן ומקבילית שצלעותיהם משיקות למעגל. מבחר גדול, רובו בינוני, עם לא מעט שאלות קשות. מתאים למבחן בגאומטריה של המעגל ולחזרה לפני הבגרות; בוחרים שאלות ומקבלים פתרון מלא וייצוא ל-Word.

77 שאלותקלה: 17בינונית: 46קשה: 14

שאלה 1 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 2 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה ∢BAD=120∘\sphericalangle BAD=120^\circ∢BAD=120∘. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה. הנקודה CCC נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הוכיחו: ∢KCE=30∘\sphericalangle KCE=30^\circ∢KCE=30∘.

ב.

נתון: ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את האורכים של צלעות המשולש KCEKCEKCE.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס EBAE\frac{EB}{AE}AEEB​.

ד.

נתון: EB=2AEEB=2AEEB=2AE.

חשבו את α\alphaα.

שאלה 3 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: יחס הצלעות ומתי אפשר לבנותשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK, שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד CCC נמצא על המעגל. נסמן ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ב.

נתון: AB:AD=3:2AB:AD=3:2AB:AD=3:2. מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα (ערך מדויק).

ג.

נסמן k=ABADk=\frac{AB}{AD}k=ADAB​. מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם קיים מלבן כזה, כלומר מלבן שבו ABAD=k\frac{AB}{AD}=kADAB​=k ויש מעגל המשיק לצלעות ABABAB ו-ADADAD בנקודות פנימיות שלהן ועובר דרך CCC.

שאלה 4 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: חישוב זוויות ואורכיםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 6. הקודקוד CCC נמצא על המעגל, ו-∢KCD=15∘\sphericalangle KCD=15^\circ∢KCD=15∘ (ראו סרטוט).
ABCDEKO

א.

הוכיחו כי המרובע AEOKAEOKAEOK הוא ריבוע, ומצאו את ∢KCE\sphericalangle KCE∢KCE.

ב.

היעזרו במשפט על הזווית שבין משיק למיתר, ומצאו את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

ג.

המעגל הנתון הוא המעגל החוסם את המשולש KCEKCEKCE. חשבו את אורכי הצלעות KEKEKE, CKCKCK ו-CECECE.

ד.

חשבו את ∢ECB\sphericalangle ECB∢ECB, את האורך EBEBEB ואת אורך הצלע ABABAB.

שאלה 5 · שני מעגלים נחתכים עם שני משיקים מאותה נקודה: דמיון ומקביליתשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ACACAC במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה AAA.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המשך המיתר CBCBCB במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר DBDBDB במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
המשכי המיתרים FCFCFC ו-EDEDED נחתכים בנקודה GGG.
ABCDEFG

א.

(1)

הוכיחו: ΔABC∼ΔDBA\Delta ABC\sim\Delta DBAΔABC∼ΔDBA.

(2)

הוכיחו: ∢ADE=∢DAC\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAC∢ADE=∢DAC.

(3)

הוכיחו: המרובע ACGDACGDACGD הוא מקבילית.

ב.

נתון: BC=8BC=8BC=8, BD=4.5BD=4.5BD=4.5.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש DBADBADBA. נמקו.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר ודמיון - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הסבירו מדוע ∢BAD=∢ACB\sphericalangle BAD=\sphericalangle ACB∢BAD=∢ACB, ומדוע ∢ABC=∢ADB\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADB∢ABC=∢ADB.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔBDA\Delta ABC\sim\Delta BDAΔABC∼ΔBDA, והסיקו כי ∢CAB=∢ABD\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD∢CAB=∢ABD.

ג.

הוכיחו כי CE∥FDCE\parallel FDCE∥FD.

ד.

נתון: AC=10AC=10AC=10, AB=6AB=6AB=6.

חשבו את BDBDBD, ומצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

שאלה 8 · שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

בעבור כל nnn טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי 32n−13^{2n}-132n−1 מתחלק ב-8 ללא שארית.

(2)

נתון: ppp הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של ppp שבעבורו הביטוי 32n+2+p3^{2n+2}+p32n+2+p מתחלק ב-24 ללא שארית, לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה: f(x)=(1−1x2)3f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)^3f(x)=(1−x21​)3.
גרף א
גרף ב
גרף ג

(1)

אחד מן הגרפים א-ג מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו בקצרה.

(2)

קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו את התשובה.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

חשבו את הערכים של: h(0)h(0)h(0), h(4)h(4)h(4), h(6)h(6)h(6).

(2)

קבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) יורדת. נמקו את התשובה.

ד.

לפניכם משולש חד-זווית ABC חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α, ∠ABC=2α\angle ABC=2\alpha∠ABC=2α. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F.
ABCDEF

הביעו באמצעות α\alphaα את זוויות המשולש DEF.

שאלה 9 · מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE. נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α. על הקוטר ABABAB מחפשים נקודה FFF שמקיימת FE=FDFE=FDFE=FD. ההמשך של DFDFDF חותך את המעגל בנקודה CCC (ראו סרטוט).
ABDOEFC

א.

מצאו עבור אילו ערכים של α\alphaα קיימת על הקוטר ABABAB נקודה FFF כזו, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠CDA\angle CDA∠CDA.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע DFDFDF, ומצאו את כל הערכים האפשריים של היחס DFR\frac{DF}{R}RDF​.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}SAED​SAFD​​.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו המשולשים AFDAFDAFD ו-AEDAEDAED שווי שטח.

שאלה 10 · משיק וחותך דרך המרכז: משיק-מיתר, דמיון ומשפט המשיק והחותךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O) (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α ומדוע ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ∠CBD=90∘.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔADB\Delta ABC\sim\Delta ADBΔABC∼ΔADB, והסיקו כי AB2=AC⋅ADAB^2=AC\cdot ADAB2=AC⋅AD.

ג.

נתון: AC=2AC=2AC=2, AB=4AB=4AB=4.

חשבו את ADADAD ואת רדיוס המעגל.

ד.

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לשטח המשולש ADB.

ה.

היעזרו בדמיון ומצאו את tan⁡α\tan\alphatanα ואת α\alphaα.

עוד 49 שאלות על זווית בין משיק למיתר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את…
מעגל: מציאת מיתר מקטעים על המיתר BC - בעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB…
מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ (שאלה מלאה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $E$ (ראו סרטוט). נסמן:…
משיק בקצה הקרוב של הקוטר: אורכים בפרמטר, F אינה אמצע, בעיה הפוכה ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך O וחותך את המעגל…
משיק ומיתרים מקבילים עם פרמטרים: מתי E אמצע AB (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
מעגל: אמצע קשת ומשיק - דמיון ותאלס בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB…
זוויות במשולש שנוצר ממשיק וחותך דרך המרכז (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה A שמחוץ למעגל שמרכזו O יוצאים המשיק AB (B נקודת ההשקה) והישר AD, שעובר דרך O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). נתון:…
מעגל המשיק לצלע במשולש עם זווית של $6 0^{\circ}$ : יחס החלוקה, אורך המיתר באמצעות הצלעות, חסם ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $AC=a$ , $BC=b$ . מעגל עובר דרך הקודקוד $C$ , חותך את הצלעות $AC$ ו- $BC$ בנקודות $G$ ו- $H$ …
משיק ומיתרים מקבילים: דמיון ויחסי שטחים בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
משיק וחותך במעגל: $∠ D BC = 2 α$ , יחס שטחים כפונקציה של $α$ ותנאי קיום (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט.…
משיק ומיתר מקביל לו: מיתרים שווים, חוצה זווית ודמיון (שאלה מלאה · קלה)
הישר $\ell$ (שעליו הנקודות $P$ ו- $Q$ ) משיק למעגל בנקודה $F$ . המיתר $GH$ מקביל לישר $\ell$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, בצד של המיתר $GH$ …
זווית בין משיק למיתר ומשולש שווה-שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $KLM$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $K$ חותך את המשך הצלע $LM$ (מעבר לנקודה $M$ ) בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $\angle KLM=\beta$ ,…
משולש שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: יחס השטחים כפונקציה של $\frac{A C}{A B}$ (שאלה מלאה · קשה)
המשולש ABC חסום במעגל, ומתקיים $\angle ABC=2\angle ACB$ . המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E, וחוצה הזווית BAC חותך את הצלע…
משיק וחותך במעגל: דמיון משולשים ומשפט הסינוסים המורחב (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מעגל: משיק מקודקוד, דמיון, משולש שווה-שוקיים וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה A מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך…
משולש חסום ונקודה על המשך מיתר: מתי הישר משיק, ומתי המשולש חד זוויות (שאלה מלאה · קשה)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC. נתון: $\angle ABC=48^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ : משיק, דמיון ויחסי שטחים - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן…
משיק באמצע קשת: מקבילות וזווית (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל, ו-E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A. בנקודה E מעבירים משיק למעגל, והנקודות S ו-T נמצאות עליו משני צדי E…
מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , ו- $AB$ מיתר במעגל שאורכו $R$ . $E$ נקודה על המשך המיתר $BA$ מעבר לנקודה $A$ . מהנקודה $E$ העבירו ישר המשיק…
מעגל, משיק וחותך: זוויות במשולש שמחוץ למעגל, משפט הסינוסים ומרובע בר-חסימה (מספרים) (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. מנקודה $E$ שמחוץ למעגל העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $E$ ל- $B$ ). $C$ אמצע המיתר $AB$ ,…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים וזווית של 30 מעלות (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
משיק, חותך וחוצה זווית: $P A = PM$ , אורכים מבעיה הפוכה, וחוצה זווית שאינו יכול להיות תיכון (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה $A$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ). חוצה הזווית $BAC$ חותך את…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך…
משיק וחותך מנקודה: דמיון ויחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה P שמחוץ למעגל העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה T, וישר שחותך את המעגל בנקודות A ו-B (הנקודה A בין P ל-B), כמתואר בסרטוט.
מלבן ומעגל: מתי הנקודה על הצלע, ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB=a$ , $AD=b$ , ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על המעגל, והישר $DC$ משיק למעגל בנקודה $E$ . הישר $AD$ חותך את…
זווית בין משיק למיתר וזווית מרכזית (שאלה קצרה · קלה)
AB הוא מיתר במעגל שמרכזו O. BT משיק למעגל בנקודה B, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABT=35^\circ$ .
מעגל דרך קודקוד המשיק לצלע שמולו: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=70^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: אי-שוויון ומציאת הרדיוס (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . $E$ , $F$ ו- $G$ הם עקבי האנכים מ- $D$ …
משיק וחותך מנקודה אחת: דמיון, אורך המשיק ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה $A$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ), כמו בסרטוט.
זווית בין משיק למיתר: דמיון במשיק וחותך (שאלה קצרה · בינונית)
$PA$ משיק למעגל בנקודה $A$ . ישר שיוצא מהנקודה $P$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ), כמתואר בסרטוט.
משיקים וקוטר במעגל: יחס שטחים כפונקציה של הזווית ומתי BEDC מקבילית (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיק ב- $F$ חותך את המשיק למעגל ב- $B$ …
ריבוע ומעגל: קוטר, דמיון ומשיק וחותך - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו 12 ס"מ, ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ …
משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון וחישוב - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . מהנקודה $D$ מורידים אנכים:…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
משיקים וקוטר במעגל: זוויות ואורך משיק במספרים (שאלה מלאה · קלה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , $AF$ הוא קוטר ו- $B$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשיק למעגל בנקודה $F$ נפגשים בנקודה $E$ . נתון:…
משולש שווה-שוקיים חסום ומשיק: הבעת זווית ומציאת זווית הראש (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל, ו- $AB=AC$ . המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך הצלע AB (מעבר לנקודה B) בנקודה E (ראו סרטוט). נסמן $\angle BAC=\alpha$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
זווית בין משיק למיתר ומשפט הסינוסים: משיק מנקודה על המשך קוטר (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. $P$ נקודה על המשך הקוטר מעבר לנקודה $A$ , ו- $PT$ משיק למעגל בנקודה $T$ . נתון: $\angle TOA=50^\circ$ .
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
ישר המקביל למשיק: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל. הישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $A$ . דרך הקודקוד $B$ העבירו ישר המקביל ל- $MN$ , והוא חותך את הצלע $AC$ בנקודה $D$ .…
משיק המקביל למיתר: משולש שווה-שוקיים וזווית בין משיק למיתר (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $KB$ משיק למעגל בנקודה $K$ . המיתר $CD$ מקביל למשיק $KB$ (ראו סרטוט).
מלבן ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ ( $AB>AD$ ) ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של המלבן נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את…
משיקים מקבילים בקצות קוטר ושלושה אנכים: דמיון ומכפלת מרחקים (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל. הישר $KL$ משיק למעגל בנקודה $B$ , והישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $C$ . $D$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ). מהנקודה…
זווית בין משיק למיתר: דמיון וחישוב אורך (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $B$ , $C$ ו- $D$ נמצאות על מעגל. הישר $KL$ משיק למעגל בנקודה $B$ . $DF$ מאונך ל- $KL$ ( $F$ על $KL$ ), ו- $DG$ מאונך ל- $BC$ ( $G$ על $BC$ ).
שני משיקים שנפגשים על המשך הקוטר: זוויות, אורך משיק ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נפגשים…
זווית בין משיק למיתר ושני משיקים (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה $E$ יוצאים שני משיקים למעגל, הנוגעים בו בנקודות $B$ ו- $F$ . הנקודה $A$ נמצאת על הקשת הגדולה $BF$ , ו- $\angle BAF=35^\circ$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר, דמיון ומקבילית · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 3
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AD$ במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה $A$ . המיתר $CB$ במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה $B$ . המשך המיתר $AC$ …
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
מעגל: אמצע קשת, משיק, דמיון, תאלס ומשפט חוצה הזווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים ונקודות על מעגל · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר…
מעגל דרך קודקוד הזווית הישרה המשיק ליתר: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
שאלות קצרות: סכום באינדוקציה, משיק ומיתר, אסימפטוטות של פונקציית שורש, פונקציית הצטברות של פונקציה אי-זוגית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 1
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot12+10\cdot17+\ldots+58\cdot97$ .
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים,…
משיק המקביל למיתר: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במרובע · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 4
במרובע $BKCD$ הצלע $KB$ מקבילה לצלע $CD$ . הצלע $CD$ היא מיתר במעגל והצלע $KB$ משיקה למעגל בנקודה $K$ . הצלע $BD$ חותכת את המעגל בנקודה $A$ . האלכסון $BC$ חותך את…
ריבוע ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
נתון ריבוע $ABCD$ ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את המעגל בנקודה $F$ (ראה ציור).
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון, זוויות ומכפלת מרחקים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . מנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $BC$ מורידים אנכים ל- $AC$ , ל- $AB$ ול- $BC$ . האנכים חותכים את…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…