שאלות פתוחות: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על התכונה שהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מעבירים משיק מנקודה חיצונית ומחשבים מרחקים בעזרת המשולש ישר-הזווית שנוצר, פותרים בעיות על שני מעגלים משיקים מבחוץ, ומטפלים בטרפז שווה-שוקיים שאחת משוקיו קוטר. יש גם משולש חסום שאחת מצלעותיו קוטר. רוב השאלות בינוניות. מתאים לחזרה על משיקים בבעיות ברמת בגרות; ניתן לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה ולקבל פתרון מלא בקובץ Word.

39 שאלותקלה: 10בינונית: 27קשה: 2

שאלה 1 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

שאלה 2 · שני מעגלים משיקים: הזווית בין המרכזים, רדיוס ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA (ראו סרטוט). OOO הוא מרכז המעגל השמאלי ו-QQQ הוא מרכז המעגל הימני. מעבירים בנקודה AAA משיק משותף לשני המעגלים. BBB ו-CCC הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים (BBB על המעגל שמרכזו OOO). שני המשיקים נחתכים בנקודה MMM.
OABMCQ

א.

הוכיחו כי הזווית ∢OMQ\sphericalangle OMQ∢OMQ ישרה.

ב.

הוכיחו כי: AM2=OA⋅AQAM^2=OA\cdot AQAM2=OA⋅AQ.

ג.

נתון: BC=12BC=12BC=12, ורדיוס המעגל שמרכזו QQQ הוא 4.

חשבו את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה OOO.

ד.

חשבו את יחס השטחים: SΔOBMSΔAMC\frac{S_{\Delta OBM}}{S_{\Delta AMC}}SΔAMC​SΔOBM​​.

שאלה 3 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: מתי הנקודה קיימת והאם היא הקרובה או הרחוקהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: AB=3RAB=\sqrt3RAB=3​R. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

ג.

קבעו, לפי α\alphaα, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr. נתון: Rr=65\frac{R}{r}=\frac65rR​=56​.

מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

שאלה 4 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים ומעגל חוסםשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B (B היא נקודת החיתוך הקרובה ל-A), כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABD

א.

הראו כי AO=Rcos⁡αAO=\frac{R}{\cos\alpha}AO=cosαR​, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AD.

ב.

נתון: α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

הראו כי AB=R5−4cos⁡βAB=R\sqrt{5-4\cos\beta}AB=R5−4cosβ​.

ג.

נתון גם: AB=2RAB=\sqrt2RAB=2​R.

מצאו את גודל הזווית β\betaβ.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr.

הביעו את rrr באמצעות RRR.

שאלה 5 · שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

בעבור כל nnn טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי 32n−13^{2n}-132n−1 מתחלק ב-8 ללא שארית.

(2)

נתון: ppp הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של ppp שבעבורו הביטוי 32n+2+p3^{2n+2}+p32n+2+p מתחלק ב-24 ללא שארית, לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה: f(x)=(1−1x2)3f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)^3f(x)=(1−x21​)3.
גרף א
גרף ב
גרף ג

(1)

אחד מן הגרפים א-ג מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו בקצרה.

(2)

קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו את התשובה.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

חשבו את הערכים של: h(0)h(0)h(0), h(4)h(4)h(4), h(6)h(6)h(6).

(2)

קבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) יורדת. נמקו את התשובה.

ד.

לפניכם משולש חד-זווית ABC חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α, ∠ABC=2α\angle ABC=2\alpha∠ABC=2α. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F.
ABCDEF

הביעו באמצעות α\alphaα את זוויות המשולש DEF.

שאלה 6 · טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: יחס הבסיסים ושטח קבועשאלה מלאה · קשה

נתון טרפז שווה שוקיים ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC, AB<DCAB<DCAB<DC, AD=BCAD=BCAD=BC).
השוק ADADAD היא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו rrr.
השוק BCBCBC משיקה למעגל בנקודה FFF.
נסמן: ∢BCD=α\sphericalangle BCD=\alpha∢BCD=α.
ABCDOF

א.

מצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα. נמקו.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס ABDC\frac{AB}{DC}DCAB​.

ג.

נתון: AB:DC=1:5AB:DC=1:5AB:DC=1:5. מצאו את α\alphaα.

ד.

הביעו את שטח הטרפז באמצעות rrr. מה ניתן לומר על השטח כאשר α\alphaα משתנה?

שאלה 7 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מחוצה זווית ודמיון לאורכים ושטחים מספרייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 5. הצלע BCBCBC היא קוטר במעגל, ו-AC=6AC=6AC=6. הנקודה GGG נמצאת על המשך הצלע CACACA כך ש-GA=ACGA=ACGA=AC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD.
GADBC

א.

היעזרו בזווית BACBACBAC, והוכיחו כי BG=BCBG=BCBG=BC וכי הישר ABABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ב.

הוכיחו כי ∠GDA=∠GCB\angle GDA=\angle GCB∠GDA=∠GCB, והסיקו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

חשבו את אורך הקטע GDGDGD ואת היחס SDBCASGAD\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}SGAD​SDBCA​​.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABABA בנקודה EEE.

חשבו את אורך ABABAB, את אורך AEAEAE, ופי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: הזווית שבנקודה A ויחס בין החותך למשיקשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C (הקרובה ל-A) ו-B, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABCD

א.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-RRR, אם יש צורך, את: אורך הקטע AO.

(2)

אורך הקטע AB.

ב.

נתון: AB=2⋅ADAB=\sqrt2\cdot ADAB=2​⋅AD.

הוכיחו כי: cos⁡β=3sin⁡2α−12sin⁡α\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}cosβ=2sinα3sin2α−1​.

ג.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו rrr. נתון: Rr=43\frac{R}{r}=\frac43rR​=34​.

מצאו את גודלי הזוויות α\alphaα ו-β\betaβ.

שאלה 9 · שאלות קצרות מודרכות: סכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות שורש, פונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)61\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=6n(n+1)(4n+5)​. נסמן ב-SnS_nSn​ את הסכום של nnn האיברים הראשונים.

(1)

האיבר 4⋅94\cdot94⋅9 הוא האיבר הרביעי בסכום, והאיבר 10⋅2110\cdot2110⋅21 הוא האיבר העשירי. היעזרו ב-S10S_{10}S10​ וב-S3S_3S3​, וחשבו את הערך של הביטוי: 4⋅9+5⋅11+…+10⋅214\cdot9+5\cdot11+\ldots+10\cdot214⋅9+5⋅11+…+10⋅21.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=(n+1)(n+2)(4n+C)61\cdot3+2\cdot5+\ldots+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+C)}{6}1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=6(n+1)(n+2)(4n+C)​.

(2)

הסבירו מדוע אגף שמאל שווה ל-Sn+1S_{n+1}Sn+1​, הציבו n+1n+1n+1 בנוסחה של SnS_nSn​ ומצאו את CCC.

ב.

הנקודה AAA נמצאת על מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה AAA יוצר זווית של 35∘35^\circ35∘ עם המיתר ABABAB (ראו סרטוט).
35°OABE

(1)

חשבו את הזוויות OABOABOAB ו-AOBAOBAOB. (היעזרו בכך שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.)

(2)

חשבו את אורך הקשת הקטנה ABABAB, ואת היחס בין אורך הקשת הזאת להיקף המעגל.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=9x2+42xf(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}f(x)=2x9x2+4​​, המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0.

(1)

הראו כי עבור x>0x>0x>0 מתקיים f(x)=129+4x2f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=21​9+x24​​, ועבור x<0x<0x<0 מתקיים f(x)=−129+4x2f(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=−21​9+x24​​.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה g(x)=2f(x−1)g(x)=2f(x-1)g(x)=2f(x−1).

(3)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g(x)g(x)g(x).

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x (ראו גרף), ונתונה הפונקציה g(t)=∫−2tf(x) dxg(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dxg(t)=∫−2t​f(x)dx המוגדרת בתחום −2≤t≤2-2\le t\le2−2≤t≤2.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

הראו כי g(t)=(t2−4)24g(t)=\frac{(t^2-4)^2}{4}g(t)=4(t2−4)2​.

(2)

מצאו את תחום הירידה של g(t)g(t)g(t). האם יש ערכים של ttt שעבורם g(t)g(t)g(t) שלילית? נמקו.

(3)

מצאו את נקודות הפיתול של g(t)g(t)g(t).

שאלה 10 · משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיקשאלה מלאה · בינונית

BCBCBC הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. הנקודה GGG נמצאת מחוץ למעגל כך ש-GB=GCGB=GCGB=GC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD, והקטע GCGCGC חותך את המעגל בנקודה AAA (ראו סרטוט).
GDABCO

א.

הוכיחו כי BABABA ו-CDCDCD הם גבהים במשולש GBCGBCGBC, וכי הישר GOGOGO חוצה את ∠BGC\angle BGC∠BGC.

ב.

הוכיחו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

נתון כי: SADBCSGAD=8\frac{S_{ADBC}}{S_{GAD}}=8SGAD​SADBC​​=8.

הביעו באמצעות RRR את אורך הקטע GBGBGB.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BGBGBG בנקודה EEE.

חשבו פי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש DBCDBCDBC.

עוד 13 שאלות על המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל עם קוטר ואמצעי צלעות: מלבן, מעגל עזר ומשיק משותף (שאלה מלאה · קלה)
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E היא אמצע הצלע BC, והנקודה D היא אמצע הצלע AC, כמתואר בסרטוט.
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך…
מעגל דרך קודקוד המשיק לצלע שמולו: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=70^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זווית נתונה (שאלה מלאה · קלה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ …
שאלות קצרות: קטע מסכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הצטברות של פונקציה אי-זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot89$ .
משולש חד-זוויות ומרובע בר-חסימה CEFO: ניצבות מהמרכז ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AKB$ משטח המשולש $AOB$ .
טרפז ישר זווית ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $\sphericalangle BCD=90^\circ$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
משיק וקוטר: זווית מרכזית וזווית היקפית (שאלה קצרה · בינונית)
$MN$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הישר $PT$ משיק למעגל בנקודה $T$ , ונחתך עם המשך הקוטר $MN$ בנקודה $P$ ( $N$ בין $O$ ל- $P$ ). נתון:…
משיקים מקבילים בקצות קוטר ושלושה אנכים: דמיון ומכפלת מרחקים (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל. הישר $KL$ משיק למעגל בנקודה $B$ , והישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $C$ . $D$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ). מהנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים משיקים: משיק משותף פנימי וחיצוני, רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 4
שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה $A$ (ראו סרטוט). הנקודה $O$ היא מרכז המעגל השמאלי. מעבירים בנקודה $A$ משיק משותף לשני המעגלים. $B$ ו- $C$ הן נקודות ההשקה של ישר…
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים, זהות וזוויות מיחס רדיוסים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
מעגל דרך קודקוד הזווית הישרה המשיק ליתר: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
מעגל עם קוטר ומרובע בר-חסימה CEFO: מקבילית, ניצבות ומעגלים משיקים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה…
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים,…
שאלות קצרות: יחס שטחים בין משיקים מאונכים, פרמטר בהסתברות של שני משחקי שחמט, סכום שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (π \cdot 2^{n})$ · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 1
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ בנקודה $E$ (ראה ציור).…
מעגלים משיקים מבפנים: משיקים מהמרכז, דלתון, דמיון וחישוב אורך · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 4
שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). מרכזי המעגלים הם הנקודות $M$ ו- $N$ , והרדיוסים שלהם הם $R_1$ ו- $R_2$ בהתאמה, $R_2<R_1$ . מעבירים משיק…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הגדרת משיק: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (שאלה קצרה · קלה)
$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הקטע $PO$ חותך את המעגל בנקודה $C$ . נתון: $\angle APO=30^\circ$ .
הגדרת משיק: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (שאלה קצרה · קלה)
הקטע $CD$ משיק בנקודה $A$ למעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות משני צדי $A$ , ו- $MA$ חוצה את הזווית…
הגדרת משיק: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (שאלה קצרה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , והוא משיק לציר ה- $y$ בראשית הצירים $O$ . הישר $3x+4y=48$ …