שאלות פתוחות: פרופורציות במשולש ישר-זווית - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי $MB=MA=MC$.

הוכיחו כי $\sphericalangle BAC=90^\circ$.

נתון: $AB=12$, $AC=5$.

חשבו את $BC$ ואת $AM$.

הוכיחו כי הזווית $\sphericalangle OMQ$ ישרה.

הוכיחו כי: $AM^2=OA\cdot AQ$.

נתון: $BC=12$, ורדיוס המעגל שמרכזו $Q$ הוא 4.

חשבו את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה $O$.

חשבו את יחס השטחים: $\frac{S_{\Delta OBM}}{S_{\Delta AMC}}$.

הביעו את $BC$ באמצעות $R$ ו-$r$.

הביעו את היחס $\frac{AB}{AC}$ באמצעות $R$ ו-$r$.

נתון: $\sphericalangle ABC=30^\circ$, $BC=8$.

מצאו את $R$ ואת $r$.

הוכיחו כי לכל שני מעגלים בתצורה הזו (עם $R>r$) מתקיים $\sphericalangle ABC<45^\circ$.

היעזרו בזווית $BAC$, והוכיחו כי $BG=BC$ וכי הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$.

הוכיחו כי $\angle GDA=\angle GCB$, והסיקו כי $\Delta GBC\sim\Delta GAD$.

חשבו את אורך הקטע $GD$ ואת היחס $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}$.

דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BA$ בנקודה $E$.

חשבו את אורך $AB$, את אורך $AE$, ופי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $ABC$.

הוכיחו כי $BA$ ו-$CD$ הם גבהים במשולש $GBC$, וכי הישר $GO$ חוצה את $\angle BGC$.

הוכיחו כי $\Delta GBC\sim\Delta GAD$.

נתון כי: $\frac{S_{ADBC}}{S_{GAD}}=8$.

הביעו באמצעות $R$ את אורך הקטע $GB$.

דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BG$ בנקודה $E$.

חשבו פי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $DBC$.

הוכיחו כי $K$ היא אמצע הקטע $PM$.

הביעו את $KM$ באמצעות $R$ ו-$k$.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $k$.

דרך הנקודה $L$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $MP$ בנקודה $T$.

הביעו באמצעות $k$ את היחס $\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}$.

מצאו את $k$ שבעבורו המשולש $PLM$ שווה-צלעות, ואת היחס $\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}$ במקרה זה.

חשבו את האורך של $BC$.

חשבו את האורך של $AD$.

הוכיחו כי $\Delta DFB\sim\Delta DGC$.

הוכיחו $\angle BDG=\angle EDC$.

האם הנקודות $F$, $D$ ו-$E$ נמצאות על ישר אחד? נמקו.

הוכיחו כי: $DF\cdot DE=DG^2$.

האם ייתכן ש-$DG$ ממוצע גאומטרי של הקטעים שהוא מקצה על הקוטר $BC$ (כלומר $BG\cdot GC=DG^2$)? נמקו.

הוכיחו כי $\Delta BGD\sim\Delta DGC$, והסיקו כי $\angle BDC=90^\circ$.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $BDC$.