שאלות פתוחות: יחס השטחים במצולעים דומים - כיתה י"א 5 יח"ל

יחס השטחים במצולעים דומים - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים יחס שטחים בין משולשים דומים בשרטוטים של שני מעגלים נחתכים, של משיק וחותך מנקודה חיצונית, ושל משולש שבו זווית ABD שווה לזווית ACB, ומחשבים שטחים של חלקים במלבן שבו המרובע EABF בר-חסימה. מבחר גדול, רובו בינוני, עם קלות וקשות. אפשר לבנות מכאן מבחן או דף עבודה בדמיון ושטחים, כשלכל שאלה פתרון מלא ואפשרות לייצא ל-Word.

76 שאלותקלה: 25בינונית: 40קשה: 11

שאלה 1 · שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר ודמיון - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הסבירו מדוע ∢BAD=∢ACB\sphericalangle BAD=\sphericalangle ACB∢BAD=∢ACB, ומדוע ∢ABC=∢ADB\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADB∢ABC=∢ADB.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔBDA\Delta ABC\sim\Delta BDAΔABC∼ΔBDA, והסיקו כי ∢CAB=∢ABD\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD∢CAB=∢ABD.

ג.

הוכיחו כי CE∥FDCE\parallel FDCE∥FD.

ד.

נתון: AC=10AC=10AC=10, AB=6AB=6AB=6.

חשבו את BDBDBD, ומצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

שאלה 2 · שני מעגלים נחתכים עם שני משיקים מאותה נקודה: דמיון ומקביליתשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ACACAC במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה AAA.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המשך המיתר CBCBCB במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר DBDBDB במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
המשכי המיתרים FCFCFC ו-EDEDED נחתכים בנקודה GGG.
ABCDEFG

א.

(1)

הוכיחו: ΔABC∼ΔDBA\Delta ABC\sim\Delta DBAΔABC∼ΔDBA.

(2)

הוכיחו: ∢ADE=∢DAC\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAC∢ADE=∢DAC.

(3)

הוכיחו: המרובע ACGDACGDACGD הוא מקבילית.

ב.

נתון: BC=8BC=8BC=8, BD=4.5BD=4.5BD=4.5.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש DBADBADBA. נמקו.

שאלה 3 · שני מעגלים נחתכים כשהמקבילית היא מלבן: אורכים ורדיוסיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
נתון שהמרובע CEDFCEDFCEDF הוא מלבן, AC=8AC=8AC=8 ו-CE=10CE=10CE=10.
ABCEDF

א.

הוכיחו כי AB⊥CEAB\perp CEAB⊥CE.

ב.

מצאו את ABABAB ואת BDBDBD.

ג.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

ד.

מצאו את הרדיוסים של שני המעגלים.

שאלה 4 · משיק וחותך דרך המרכז: משיק-מיתר, דמיון ומשפט המשיק והחותךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O) (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α ומדוע ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ∠CBD=90∘.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔADB\Delta ABC\sim\Delta ADBΔABC∼ΔADB, והסיקו כי AB2=AC⋅ADAB^2=AC\cdot ADAB2=AC⋅AD.

ג.

נתון: AC=2AC=2AC=2, AB=4AB=4AB=4.

חשבו את ADADAD ואת רדיוס המעגל.

ד.

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לשטח המשולש ADB.

ה.

היעזרו בדמיון ומצאו את tan⁡α\tan\alphatanα ואת α\alphaα.

שאלה 5 · דמיון עם צלע משותפת: ממוצע הנדסי ויחס שטחיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע ACACAC, כך ש-∢ABD=∢ACB\sphericalangle ABD=\sphericalangle ACB∢ABD=∢ACB.
נתון: AD=4AD=4AD=4, DC=21DC=21DC=21.
ABCD

א.

הוכיחו כי ΔABD∼ΔACB\Delta ABD\sim\Delta ACBΔABD∼ΔACB, וחשבו את ABABAB.

ב.

פי כמה גדול שטח המשולש ABCABCABC משטח המשולש ABDABDABD?

שאלה 6 · מלבן ומרובע בר חסימה: תנאי קיום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: AB2=DE⋅DAAB^2=DE\cdot DAAB2=DE⋅DA.

ב.

הסבירו מדוע בהכרח AB<ADAB<ADAB<AD.

בסעיפים ג-ד נתון: AB=1AB=1AB=1, ונסמן AD=xAD=xAD=x.

ג.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DEDEDE ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

ד.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע EABFEABFEABF הוא 132\frac{\sqrt{13}}2213​​.

מצאו את xxx.

שאלה 7 · מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE מאונך לאלכסון BDBDBD וחותך אותו בנקודה FFF. נתון: AD=9AD=9AD=9, DE=3DE=3DE=3.
DABCEF

א.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע EABFEABFEABF במעגל.

ב.

הוכיחו: ΔDEF∼ΔBCF\Delta DEF\sim\Delta BCFΔDEF∼ΔBCF, וחשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות SSS.

ד.

נתון: AB=33AB=3\sqrt3AB=33​.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

שאלה 8 · משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הישר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCDE

א.

הביעו את כל זוויות המשולש ADE באמצעות α\alphaα.

ב.

הוכיחו: ABAD=BCBD\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}ADAB​=BDBC​.

ג.

נתון: DE=12DE=12DE=12, AB=8AB=8AB=8.

חשבו את RRR.

ד.

נסמן ב-SSS את שטח המשולש BDC. מחברים את O עם E.

(1)

הוכיחו: ΔEDO∼ΔDBC\Delta EDO\sim\Delta DBCΔEDO∼ΔDBC.

(2)

הביעו את שטח המשולש EDO באמצעות SSS.

שאלה 9 · משולש חסום שצלעו קוטר: יחס שטחים כפרמטר $k$ , תחום הפרמטר, משיק בקצה הקוטר ומשולש שווה-צלעותשאלה מלאה · קשה

משולש KLMKLMKLM חסום במעגל שרדיוסו RRR. הצלע LMLMLM היא קוטר במעגל. הנקודה PPP נמצאת על המשך הצלע MKMKMK (מעבר ל-KKK) כך ש-LP=LMLP=LMLP=LM. הקטע PLPLPL חותך את המעגל בנקודה QQQ (בין PPP ל-LLL). נתון: SQLMKSPKQ=k\frac{S_{QLMK}}{S_{PKQ}}=kSPKQ​SQLMK​​=k.
PKQLM

א.

הוכיחו כי KKK היא אמצע הקטע PMPMPM.

ב.

הביעו את KMKMKM באמצעות RRR ו-kkk.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

דרך הנקודה LLL העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע MPMPMP בנקודה TTT.

הביעו באמצעות kkk את היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​.

ה.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש PLMPLMPLM שווה-צלעות, ואת היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​ במקרה זה.

שאלה 10 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מחוצה זווית ודמיון לאורכים ושטחים מספרייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 5. הצלע BCBCBC היא קוטר במעגל, ו-AC=6AC=6AC=6. הנקודה GGG נמצאת על המשך הצלע CACACA כך ש-GA=ACGA=ACGA=AC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD.
GADBC

א.

היעזרו בזווית BACBACBAC, והוכיחו כי BG=BCBG=BCBG=BC וכי הישר ABABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ב.

הוכיחו כי ∠GDA=∠GCB\angle GDA=\angle GCB∠GDA=∠GCB, והסיקו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

חשבו את אורך הקטע GDGDGD ואת היחס SDBCASGAD\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}SGAD​SDBCA​​.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABABA בנקודה EEE.

חשבו את אורך ABABAB, את אורך AEAEAE, ופי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש ABCABCABC.

עוד 40 שאלות על יחס השטחים במצולעים דומים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

יחס שטחים של משולשים ישרי-זווית דומים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABC הזווית C ישרה, ו-CH הוא הגובה ליתר AB. נתון: $AC=6$ , $BC=8$ .
טרפז חסום שבו $CE = C A$ : קשר בין הזוויות, יחס שטחים וטווח ערכים (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC,\ AB>DC)$ , החסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $CE=CA$ . נסמן:…
משיק ומיתרים מקבילים: דמיון ויחסי שטחים בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
טרפז ישר-זווית ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
בטרפז ישר-זווית $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ , $\angle DAB=90^\circ$ ), הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ .…
משיק וחותך במעגל: $∠ D BC = 2 α$ , יחס שטחים כפונקציה של $α$ ותנאי קיום (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט.…
טרפז חסום במעגל: זוויות, משפט הסינוסים ומשוואה טריגונומטרית (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=45^\circ$ . נסמן:…
טרפז ואלכסונים: שטחים מיחס דמיון ומגובה משותף (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . נתון: $AB=3DC$ . נסמן את שטח המשולש $DOC$ ב- $S$ .
משולש שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: יחס השטחים כפונקציה של $\frac{A C}{A B}$ (שאלה מלאה · קשה)
המשולש ABC חסום במעגל, ומתקיים $\angle ABC=2\angle ACB$ . המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E, וחוצה הזווית BAC חותך את הצלע…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $G$ נמצאת מחוץ למעגל כך ש- $GB=GC$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ , והקטע $GC$ חותך את…
מעגל עם פרמטר: יחס שטחים כפונקציה של $\frac{A C}{R}$ , יחס הזהב וזווית של $5 4^{\circ}$ (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . C היא נקודה על המעגל, ו-P היא אמצע המיתר CB. המשך הקטע PO חותך את המעגל בנקודה K, והמיתר CK חותך את…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ : משיק, דמיון ויחסי שטחים - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן…
דמיון משולשים ויחס שטחים של משולש וטרפז שנוצר ממנו (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על הצלע $AB$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , כך ש- $\angle ADE=\angle ACB$ (ראו סרטוט).
מעגל ודלתון עם פרמטר: יחס שטחים לפי $k$ , בעיה הפוכה ותנאי למיקום נקודה (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ונסמן $\angle BAC=\alpha$ ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ). הנקודות $K$ …
מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ , $AC=4$ .
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים וזווית של 30 מעלות (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
משולש שווה שוקיים עם זווית ראש $12 0^{\circ}$ וחותך מהמשך הבסיס: יחס שטחים כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) שבו $\angle BAC=120^\circ$ , החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
משיק וחותך מנקודה אחת: דמיון, אורך המשיק ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה $A$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ), כמו בסרטוט.
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מלבן ומעגל: מתי הנקודה על הצלע, ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB=a$ , $AD=b$ , ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על המעגל, והישר $DC$ משיק למעגל בנקודה $E$ . הישר $AD$ חותך את…
מעגל וקטעים מקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית, דמיון ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 7. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ו- $BC=7$ . הנקודה $K$ נמצאת על $OC$ והנקודה $E$ על $OB$ , כך ש- $OK=OE=4$ .…
יחס שטחים במשולש ישר זווית עם גובה ליתר (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABC הזווית C ישרה, ו-CD הוא הגובה ליתר AB, כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle CAB=\alpha$ .
מרובע חסום במשולש: יחס חלוקה כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=t\cdot DC$ ( $t>0$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $AE=3EC$ , והמרובע…
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מרובע חסום במשולש: דמיון ואורכים מנתונים מספריים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ חסום במעגל. נתון: $EC=4$ , $AE=14$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
מעגל: זווית היקפית על קוטר ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: הישר KO מאונך למיתר CB.
יחסי שטחים בטרפז שאלכסוניו נחתכים (שאלה קצרה · בינונית)
ABCD הוא טרפז ( $AB\parallel DC$ ), ואלכסוניו נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=2.5\cdot DC$ .
ישר המקביל למשיק: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל. הישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $A$ . דרך הקודקוד $B$ העבירו ישר המקביל ל- $MN$ , והוא חותך את הצלע $AC$ בנקודה $D$ .…
שני משולשים דומים עם צלע משותפת: אורך הצלע ויחס הקטעים על האלכסון (שאלה קצרה · בינונית)
במרובע $ABKC$ האלכסונים $AK$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון: $\triangle ABK\sim\triangle AKC$ בהתאמה $A\leftrightarrow A$ ,…
מעגל, שני משיקים ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $AM$ …
שעון חול בטרפז: יחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $K$ . נתון: $AB=6$ , $CD=9$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא 8.
מעגל, אמצע קשת ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD=CD$ , והנקודה $D$ נמצאת על הקשת $BC$ שאינה…
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
משולש שווה שוקיים הנתון בצלעותיו, חסום במעגל, וחותך מנקודה על המשך הבסיס: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC=10$ , $BC=12$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל…
שטח טרפז מיחס שטחים של משולשים דומים (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) נתון: $AB=4$ , $DC=10$ . המשכי השוקיים $DA$ ו- $CB$ נפגשים בנקודה $P$ . שטח המשולש $PAB$ הוא 8.
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=2DC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.
יחס שטחים במשולשים דומים: מרובע שנותר (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על הצלע $BC$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , והמרובע $ABDE$ חסום במעגל. ידוע ש- $\triangle DEC\sim\triangle ABC$ (הקודקוד…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר, דמיון ומקבילית · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 3
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AD$ במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה $A$ . המיתר $CB$ במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה $B$ . המשך המיתר $AC$ …
משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר חסימה במעגל.
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים ונקודות על מעגל · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר…
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
משיק המקביל למיתר: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במרובע · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 4
במרובע $BKCD$ הצלע $KB$ מקבילה לצלע $CD$ . הצלע $CD$ היא מיתר במעגל והצלע $KB$ משיקה למעגל בנקודה $K$ . הצלע $BD$ חותכת את המעגל בנקודה $A$ . האלכסון $BC$ חותך את…
מעגל, דלתון ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה…
משולש שווה צלעות חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך צלע: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

דמיון משולשים: יחס השטחים של שני חלונות (שאלה מלאה · קלה)
בחזית של ביתן יש שני חלונות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים: חלון גדול $ABC$ ( $AB=AC$ ) וחלון קטן $DEF$ …
משולשים דומים: יחס דמיון מהיקף ומשטח (שאלה מלאה · קלה)
בגינה שתי ערוגות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים: $ABC$ ( $AB=AC$ ) ו- $DEF$ ( $DE=DF$ ). הערוגה $DEF$ קטנה מהערוגה…
דמיון משולשים: מסגרת וחור - מיחס שטחים ליחס דמיון (שאלה מלאה · קלה)
בכל חוליה של שרשרת קישוט גוזרים מתוך משולש שווה שוקיים $EFG$ משולש קטן $ABC$ , שווה שוקיים ודומה ל- $EFG$ ,…
טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCO$ הוא טרפז ישר זווית ( $\angle C=90^\circ$ , $AB\parallel OC$ ). משוואת הצלע $AB$ היא $y=-mx+6$ …
שני גבהים במשולש: דמיון ויחס שטחים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש חד-זווית $KLM$ העבירו את הגובה $KP$ לצלע $LM$ ואת הגובה $LQ$ לצלע $KM$ .
קטע אמצעים במקבילית (שאלה קצרה · קלה)
במקבילית $PQRS$ האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $PQ$ .
הגובה ליתר: יחס שטחים של משולשים דומים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ) $CD$ הוא הגובה ליתר $AB$ . נתון: $AC=6$ , $BC=8$ .
יחס שטחים במשולשים דומים בין שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · קלה)
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ , ו- $AB\parallel DC$ (ראו איור). נתון: $AE=6$ , $EC=9$ , ושטח המשולש $ABE$ …
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו (שאלה קצרה · קלה)
הנקודות $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ נמצאות על מעגל, והמיתרים $PR$ ו- $QS$ נפגשים בנקודה $T$ .
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
הישר $y=-2x+6$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר ברביע השני.…
יחס שטחים במשולשים דומים: מהטרפז למשולש (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ . נתון: $AD:DB=2:1$ ,…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
$AC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הישר $CD$ משיק למעגל בנקודה $C$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, וידוע כי…