שאלות פתוחות: יחס הדמיון: חישוב אורכים - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על חישוב אורכים בעזרת יחס הדמיון, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים קטעים במשיק MB למעגל שרדיוסו 4 כשנתון MN=5, במשולשים דומים שנוצרים בשני מעגלים נחתכים, במלבן שבו קטע מאונך לאלכסון ובמשולש שווה-שוקיים שבסיסו וגובהו 12. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש גם קשות. מתאים לחזרה על דמיון בבעיות מורכבות; המורה בוחר שאלות לבוחן או לדף עבודה ומקבל אותן עם פתרון מלא, מוכנות להורדה ל-Word.

68 שאלותקלה: 24בינונית: 34קשה: 10

שאלה 1 · שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר ודמיון - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הסבירו מדוע ∢BAD=∢ACB\sphericalangle BAD=\sphericalangle ACB∢BAD=∢ACB, ומדוע ∢ABC=∢ADB\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADB∢ABC=∢ADB.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔBDA\Delta ABC\sim\Delta BDAΔABC∼ΔBDA, והסיקו כי ∢CAB=∢ABD\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD∢CAB=∢ABD.

ג.

הוכיחו כי CE∥FDCE\parallel FDCE∥FD.

ד.

נתון: AC=10AC=10AC=10, AB=6AB=6AB=6.

חשבו את BDBDBD, ומצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

שאלה 2 · דמיון משולשים ישרי-זווית: משיק מנקודה ומשיק בקצה הקוטרשאלה קצרה · בינונית

מן הנקודה MMM מעבירים משיק MBMBMB למעגל שמרכזו NNN ורדיוסו 4 (BBB נקודת ההשקה). נתון: MN=5MN=5MN=5. הישר MNMNMN חותך את המעגל בנקודה PPP כך ש-NNN בין MMM ל-PPP. המשיק למעגל בנקודה PPP חותך את המשך MBMBMB בנקודה CCC (ראו סרטוט).
MNPBC

א.

הוכיחו כי △MBN∼△MPC\triangle MBN\sim\triangle MPC△MBN∼△MPC.

ב.

חשבו את PCPCPC.

שאלה 3 · שני מעגלים נחתכים כשהמקבילית היא מלבן: אורכים ורדיוסיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
נתון שהמרובע CEDFCEDFCEDF הוא מלבן, AC=8AC=8AC=8 ו-CE=10CE=10CE=10.
ABCEDF

א.

הוכיחו כי AB⊥CEAB\perp CEAB⊥CE.

ב.

מצאו את ABABAB ואת BDBDBD.

ג.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

ד.

מצאו את הרדיוסים של שני המעגלים.

שאלה 4 · מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE מאונך לאלכסון BDBDBD וחותך אותו בנקודה FFF. נתון: AD=9AD=9AD=9, DE=3DE=3DE=3.
DABCEF

א.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע EABFEABFEABF במעגל.

ב.

הוכיחו: ΔDEF∼ΔBCF\Delta DEF\sim\Delta BCFΔDEF∼ΔBCF, וחשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות SSS.

ד.

נתון: AB=33AB=3\sqrt3AB=33​.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

שאלה 5 · שני מעגלים נחתכים עם שני משיקים מאותה נקודה: דמיון ומקביליתשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ACACAC במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה AAA.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המשך המיתר CBCBCB במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר DBDBDB במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
המשכי המיתרים FCFCFC ו-EDEDED נחתכים בנקודה GGG.
ABCDEFG

א.

(1)

הוכיחו: ΔABC∼ΔDBA\Delta ABC\sim\Delta DBAΔABC∼ΔDBA.

(2)

הוכיחו: ∢ADE=∢DAC\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAC∢ADE=∢DAC.

(3)

הוכיחו: המרובע ACGDACGDACGD הוא מקבילית.

ב.

נתון: BC=8BC=8BC=8, BD=4.5BD=4.5BD=4.5.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש DBADBADBA. נמקו.

שאלה 6 · משולש שווה-שוקיים עם אנכים זזים: מתי BDGE בר-חסימה, מעוין או ריבועשאלה מלאה · קשה

במשולש שווה-שוקיים ABC (BA=BCBA=BCBA=BC) הבסיס הוא AC=12AC=12AC=12, והגובה לבסיס הוא BM=12BM=12BM=12. הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC משני צדי M, כך ש-ML=MK=xML=MK=xML=MK=x (0<x<60<x<60<x<6). האנך לבסיס בנקודה K חותך את השוק BC בנקודה D, והאנך לבסיס בנקודה L חותך את השוק BA בנקודה E. הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.
ABCMLKDEG

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DK ואת אורך הקטע BG.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE בר-חסימה במעגל.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא מעוין.

ד.

האם קיים xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 7 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מחוצה זווית ודמיון לאורכים ושטחים מספרייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 5. הצלע BCBCBC היא קוטר במעגל, ו-AC=6AC=6AC=6. הנקודה GGG נמצאת על המשך הצלע CACACA כך ש-GA=ACGA=ACGA=AC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD.
GADBC

א.

היעזרו בזווית BACBACBAC, והוכיחו כי BG=BCBG=BCBG=BC וכי הישר ABABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ב.

הוכיחו כי ∠GDA=∠GCB\angle GDA=\angle GCB∠GDA=∠GCB, והסיקו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

חשבו את אורך הקטע GDGDGD ואת היחס SDBCASGAD\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}SGAD​SDBCA​​.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABABA בנקודה EEE.

חשבו את אורך ABABAB, את אורך AEAEAE, ופי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · טרפז ישר-זווית ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגלשאלה מלאה · בינונית

בטרפז ישר-זווית ABCDABCDABCD (AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC, ∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ∠DAB=90∘), הנקודה EEE נמצאת על הבסיס ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: ΔDAB∼ΔBFC\Delta DAB\sim\Delta BFCΔDAB∼ΔBFC.

ב.

נתון: DE=EADE=EADE=EA, BC=2ADBC=2ADBC=2AD.

חשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים DFC ו-BFC באמצעות SSS.

ד.

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש DAB ובין המשולש BFC.

ה.

נסמן: DE=aDE=aDE=a.

(1)

הביעו את אורך האלכסון BD באמצעות aaa.

(2)

הביעו את קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF באמצעות aaa.

שאלה 9 · מעגל: מציאת מיתר מקטעים על המיתר BC - בעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
נתון: BF=3BF=3BF=3, FC=7FC=7FC=7, BG=2BG=2BG=2.
ABCEFG

א.

מצאו את היחס AB:ACAB:ACAB:AC.

ב.

נסמן AB=xAB=xAB=x. הביעו את AE2AE^2AE2 באמצעות xxx.

ג.

מצאו את xxx.

ד.

חשבו את אורך הקטע AE ואת היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש BFE.

שאלה 10 · מעגל: אמצע קשת ומשיק - דמיון ותאלס בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
ABCEFG

א.

הסבירו מדוע ∠BAE=∠EAC\angle BAE=\angle EAC∠BAE=∠EAC.

ב.

הוכיחו כי ∠AEG=∠ACE\angle AEG=\angle ACE∠AEG=∠ACE, והסיקו כי ΔACE∼ΔAEG\Delta ACE\sim\Delta AEGΔACE∼ΔAEG.

ג.

נתון: AE=46AE=4\sqrt6AE=46​, AG=8AG=8AG=8.

חשבו את אורך המיתר AC.

ד.

הוכיחו: BC∥GEBC\parallel GEBC∥GE. (רמז: הראו כי ∠GEB=∠BAE\angle GEB=\angle BAE∠GEB=∠BAE וכי ∠EBC=∠EAC\angle EBC=\angle EAC∠EBC=∠EAC.)

ה.

נתון: AB=6.

חשבו את אורך הקטע AF.

ו.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו.

עוד 34 שאלות על יחס הדמיון: חישוב אורכים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $G$ נמצאת מחוץ למעגל כך ש- $GB=GC$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ , והקטע $GC$ חותך את…
משיק ומיתרים מקבילים עם פרמטרים: מתי E אמצע AB (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
משיק וחותך במעגל: דמיון משולשים ומשפט הסינוסים המורחב (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש שווה-שוקיים: מקבילים לשוקיים, דלתון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ . הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC. דרך הנקודה K העבירו ישר המקביל לשוק BA, והוא חותך את…
שני מעגלים נחתכים: מיקום E לפי היחס בין הרדיוסים ויחס שטחים כללי (שאלה מלאה · קשה)
נתונים מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו $R$ , ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של…
מעגל החותך שתי צלעות של משולש: זווית חיצונית, דמיון, אורכים וחוצה זווית (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ACE$ נתון: $AC=8$ , $AE=10$ , $CE=9$ . מעגל עובר דרך הקודקודים $A$ ו- $E$ , חותך את הצלע $CE$ בנקודה $B$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $D$ (ראו…
מעגל: משיק מקודקוד, דמיון, משולש שווה-שוקיים וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה A מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך…
מעגל עם פרמטר: יחס שטחים כפונקציה של $\frac{A C}{R}$ , יחס הזהב וזווית של $5 4^{\circ}$ (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . C היא נקודה על המעגל, ו-P היא אמצע המיתר CB. המשך הקטע PO חותך את המעגל בנקודה K, והמיתר CK חותך את…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך…
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
מעגל ודלתון עם פרמטר: יחס שטחים לפי $k$ , בעיה הפוכה ותנאי למיקום נקודה (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ונסמן $\angle BAC=\alpha$ ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ). הנקודות $K$ …
מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ , $AC=4$ .
דמיון של שני משולשים שווי שוקיים עם זווית בסיס משותפת (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABC נתון: $AB=AC=9$ , $BC=6$ . הנקודה D נמצאת על הצלע AC כך ש- $BD=BC$ .
מקבילית: שטח כפונקציה של יחס קטעים ושטח מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה כלשהי על הצלע $AB$ . המשך הקטע $CE$ חותך את המשך הקטע $AD$ בנקודה $F$ . המקביל לצלע $BC$ העובר…
מעגל וקטעים מקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית, דמיון ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 7. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ו- $BC=7$ . הנקודה $K$ נמצאת על $OC$ והנקודה $E$ על $OB$ , כך ש- $OK=OE=4$ .…
מעגל: זווית היקפית על קוטר ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: הישר KO מאונך למיתר CB.
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: אי-שוויון ומציאת הרדיוס (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . $E$ , $F$ ו- $G$ הם עקבי האנכים מ- $D$ …
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
מעגל, שני משיקים ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $AM$ …
מרובע חסום במשולש: יחס חלוקה כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=t\cdot DC$ ( $t>0$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $AE=3EC$ , והמרובע…
מעגל: קוטר נתון, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה וחישוב אורכים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AF$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, והנקודה $K$ נמצאת על המשך המיתר $AB$ כך ש- $AB=BK$ . הקטע $KF$ חותך…
מעגל, אמצע קשת ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD=CD$ , והנקודה $D$ נמצאת על הקשת $BC$ שאינה…
שני חותכים ממעגל וישר מקביל למיתר: דמיון ומשפט תאלס (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
מקבילית: שטחים בעזרת מקבילית עזר ודמיון (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה כלשהי על הצלע $AB$ . המשך הקטע $CE$ חותך את המשך הקטע $AD$ בנקודה $F$ . המקביל לצלע $BC$ העובר…
משולש שווה שוקיים הנתון בצלעותיו, חסום במעגל, וחותך מנקודה על המשך הבסיס: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC=10$ , $BC=12$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל…
ריבוע ומעגל: קוטר, דמיון ומשיק וחותך - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו 12 ס"מ, ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ …
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $FD$ …
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון וחישוב - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . מהנקודה $D$ מורידים אנכים:…
מקבילית: שוויון שטחים ושטחים באמצעות יחס קטעים (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה על האלכסון $AC$ . המשך הקטע $BE$ חותך את הצלע $AD$ בנקודה $F$ .
מרובע חסום במשולש: דמיון ואורכים מנתונים מספריים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ חסום במעגל. נתון: $EC=4$ , $AE=14$ .
מלבן ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ ( $AB>AD$ ) ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של המלבן נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את…
משיקים מקבילים בקצות קוטר ושלושה אנכים: דמיון ומכפלת מרחקים (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל. הישר $KL$ משיק למעגל בנקודה $B$ , והישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $C$ . $D$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ). מהנקודה…
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=2DC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר, דמיון ומקבילית · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 3
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AD$ במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה $A$ . המיתר $CB$ במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה $B$ . המשך המיתר $AC$ …
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר חסימה במעגל.
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
משולש שווה-שוקיים: אנכים לבסיס, דלתון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ . מנקודה D הנמצאת על השוק BC הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה K. מנקודה E הנמצאת על השוק BA הורידו אנך…
מעגל: אמצע קשת, משיק, דמיון, תאלס ומשפט חוצה הזווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE…
שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים,…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
מעגל, דלתון ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה…
משולש שווה צלעות חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך צלע: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ומתקיים:…
מקבילית: שוויון שטחים ושטחים באמצעות יחס קטעים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה כלשהי על הצלע $AB$ . המשך הקטע $CE$ חותך את המשך הקטע $AD$ בנקודה $F$ . המקביל לצלע $BC$ העובר בנקודה $E$ , חותך את…
ריבוע ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
נתון ריבוע $ABCD$ ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את המעגל בנקודה $F$ (ראה ציור).
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון, זוויות ומכפלת מרחקים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . מנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $BC$ מורידים אנכים ל- $AC$ , ל- $AB$ ול- $BC$ . האנכים חותכים את…
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.
מעגלים משיקים מבפנים: משיקים מהמרכז, דלתון, דמיון וחישוב אורך · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 4
שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). מרכזי המעגלים הם הנקודות $M$ ו- $N$ , והרדיוסים שלהם הם $R_1$ ו- $R_2$ בהתאמה, $R_2<R_1$ . מעבירים משיק…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

דמיון משולשים: יחס השטחים של שני חלונות (שאלה מלאה · קלה)
בחזית של ביתן יש שני חלונות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים: חלון גדול $ABC$ ( $AB=AC$ ) וחלון קטן $DEF$ …
מראה שזזה: גובה הפגיעה של קרן לייזר בבניין (שאלה מלאה · קלה)
נועה עומדת בנקודה $A$ , במרחק 150 מטרים מבניין. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. נועה מניחה מראה על הקרקע בנקודה…
משולשים דומים: יחס דמיון מהיקף ומשטח (שאלה מלאה · קלה)
בגינה שתי ערוגות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים: $ABC$ ( $AB=AC$ ) ו- $DEF$ ( $DE=DF$ ). הערוגה $DEF$ קטנה מהערוגה…
דמיון משולשים: מסגרת וחור - מיחס שטחים ליחס דמיון (שאלה מלאה · קלה)
בכל חוליה של שרשרת קישוט גוזרים מתוך משולש שווה שוקיים $EFG$ משולש קטן $ABC$ , שווה שוקיים ודומה ל- $EFG$ ,…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ .…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ .…
איפה הקודקוד הישר? שתי אפשרויות למשולש ישר זווית (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ , $C(16,15)$ ו- $D(16,0)$ . $O$ ראשית הצירים. $B$ היא נקודה על הקטע $OD$ (על ציר ה- $x$ )…
הגדרת משיק: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (שאלה קצרה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , והוא משיק לציר ה- $y$ בראשית הצירים $O$ . הישר $3x+4y=48$ …
דמיון משולשים בזוויות קודקודיות (שאלה קצרה · קלה)
הקטעים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AB\parallel CD$ (ראו סרטוט).