שאלות פתוחות: משפט הדמיון ז.ז - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על משפט הדמיון ז.ז לכיתה י"א, 5 יחידות, מתוך בעיות גאומטריה ברמת בגרות. בשאלות מוכיחים דמיון משולשים בשרטוטים של שני מעגלים נחתכים שבהם מיתר משיק למעגל השני, של מלבן שבו קטע מאונך לאלכסון, של משיק וחותך מנקודה חיצונית, ושל מעגל קטן שמרכזו על מעגל גדול, ומחשבים מהדמיון אורכים. מבחר גדול ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה בדמיון, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

72 שאלותקלה: 24בינונית: 42קשה: 6

שאלה 1 · שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר ודמיון - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
ABCDEF

א.

הסבירו מדוע ∢BAD=∢ACB\sphericalangle BAD=\sphericalangle ACB∢BAD=∢ACB, ומדוע ∢ABC=∢ADB\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADB∢ABC=∢ADB.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔBDA\Delta ABC\sim\Delta BDAΔABC∼ΔBDA, והסיקו כי ∢CAB=∢ABD\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABD∢CAB=∢ABD.

ג.

הוכיחו כי CE∥FDCE\parallel FDCE∥FD.

ד.

נתון: AC=10AC=10AC=10, AB=6AB=6AB=6.

חשבו את BDBDBD, ומצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

שאלה 2 · שני מעגלים נחתכים עם שני משיקים מאותה נקודה: דמיון ומקביליתשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ACACAC במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה AAA.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המשך המיתר CBCBCB במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר DBDBDB במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
המשכי המיתרים FCFCFC ו-EDEDED נחתכים בנקודה GGG.
ABCDEFG

א.

(1)

הוכיחו: ΔABC∼ΔDBA\Delta ABC\sim\Delta DBAΔABC∼ΔDBA.

(2)

הוכיחו: ∢ADE=∢DAC\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAC∢ADE=∢DAC.

(3)

הוכיחו: המרובע ACGDACGDACGD הוא מקבילית.

ב.

נתון: BC=8BC=8BC=8, BD=4.5BD=4.5BD=4.5.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש DBADBADBA. נמקו.

שאלה 3 · מלבן ומרובע בר חסימה: תנאי קיום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: AB2=DE⋅DAAB^2=DE\cdot DAAB2=DE⋅DA.

ב.

הסבירו מדוע בהכרח AB<ADAB<ADAB<AD.

בסעיפים ג-ד נתון: AB=1AB=1AB=1, ונסמן AD=xAD=xAD=x.

ג.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DEDEDE ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

ד.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע EABFEABFEABF הוא 132\frac{\sqrt{13}}2213​​.

מצאו את xxx.

שאלה 4 · מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE מאונך לאלכסון BDBDBD וחותך אותו בנקודה FFF. נתון: AD=9AD=9AD=9, DE=3DE=3DE=3.
DABCEF

א.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע EABFEABFEABF במעגל.

ב.

הוכיחו: ΔDEF∼ΔBCF\Delta DEF\sim\Delta BCFΔDEF∼ΔBCF, וחשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות SSS.

ד.

נתון: AB=33AB=3\sqrt3AB=33​.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

שאלה 5 · משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הישר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCDE

א.

הביעו את כל זוויות המשולש ADE באמצעות α\alphaα.

ב.

הוכיחו: ABAD=BCBD\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}ADAB​=BDBC​.

ג.

נתון: DE=12DE=12DE=12, AB=8AB=8AB=8.

חשבו את RRR.

ד.

נסמן ב-SSS את שטח המשולש BDC. מחברים את O עם E.

(1)

הוכיחו: ΔEDO∼ΔDBC\Delta EDO\sim\Delta DBCΔEDO∼ΔDBC.

(2)

הביעו את שטח המשולש EDO באמצעות SSS.

שאלה 6 · שני מעגלים נחתכים: מיקום E לפי היחס בין הרדיוסים ויחס שטחים כללישאלה מלאה · קשה

נתונים מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו RRR, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו rrr. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים.
המשיק למעגל הקטן בנקודה A חותך את המעגל הגדול בנקודה K. הישר AM חותך את המעגל הקטן בנקודה נוספת E.
הסרטוט מתאר מקרה אחד אפשרי.
OAKME

א.

הוכיחו כי M נמצאת על הקטע KO, והביעו באמצעות RRR ו-rrr את אורך הקטע AE.

ב.

מצאו את התנאי על RRR ו-rrr שבעבורו הנקודה E נמצאת בין A ל-M.

בסעיפים ג-ד נתון כי E נמצאת בין A ל-M.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-rrr את היחס בין שטח המשולש OKA לשטח המשולש MEO, והראו שיחס זה גדול מ-2.

ד.

נתון כי שטח המשולש OKA גדול פי 3 משטח המשולש MEO, וכי KA=211KA=2\sqrt{11}KA=211​.

מצאו את RRR ואת rrr.

שאלה 7 · מעגל: אמצע קשת ומשיק - דמיון ותאלס בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
ABCEFG

א.

הסבירו מדוע ∠BAE=∠EAC\angle BAE=\angle EAC∠BAE=∠EAC.

ב.

הוכיחו כי ∠AEG=∠ACE\angle AEG=\angle ACE∠AEG=∠ACE, והסיקו כי ΔACE∼ΔAEG\Delta ACE\sim\Delta AEGΔACE∼ΔAEG.

ג.

נתון: AE=46AE=4\sqrt6AE=46​, AG=8AG=8AG=8.

חשבו את אורך המיתר AC.

ד.

הוכיחו: BC∥GEBC\parallel GEBC∥GE. (רמז: הראו כי ∠GEB=∠BAE\angle GEB=\angle BAE∠GEB=∠BAE וכי ∠EBC=∠EAC\angle EBC=\angle EAC∠EBC=∠EAC.)

ה.

נתון: AB=6.

חשבו את אורך הקטע AF.

ו.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו.

שאלה 8 · טרפז ישר-זווית ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגלשאלה מלאה · בינונית

בטרפז ישר-זווית ABCDABCDABCD (AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC, ∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ∠DAB=90∘), הנקודה EEE נמצאת על הבסיס ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: ΔDAB∼ΔBFC\Delta DAB\sim\Delta BFCΔDAB∼ΔBFC.

ב.

נתון: DE=EADE=EADE=EA, BC=2ADBC=2ADBC=2AD.

חשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים DFC ו-BFC באמצעות SSS.

ד.

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש DAB ובין המשולש BFC.

ה.

נסמן: DE=aDE=aDE=a.

(1)

הביעו את אורך האלכסון BD באמצעות aaa.

(2)

הביעו את קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF באמצעות aaa.

שאלה 9 · משיק, חותך וחוצה זווית: $P A = PM$ , אורכים מבעיה הפוכה, וחוצה זווית שאינו יכול להיות תיכוןשאלה מלאה · קשה

מנקודה PPP שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה AAA, וחותך שחותך את המעגל בנקודות BBB ו-CCC (BBB בין PPP ל-CCC). חוצה הזווית BACBACBAC חותך את הצלע BCBCBC בנקודה MMM (ראו סרטוט).
PABCM

א.

הוכיחו כי PA2=PB⋅PCPA^2=PB\cdot PCPA2=PB⋅PC.

ב.

הוכיחו כי PA=PMPA=PMPA=PM.

ג.

נתון: PB=4PB=4PB=4, MC=3MC=3MC=3.

מצאו את האורכים PAPAPA ו-BCBCBC.

ד.

הוכיחו כי בכל מצב כמו בסרטוט (לכל מעגל ולכל נקודה PPP) הקטע AMAMAM אינו יכול להיות תיכון במשולש ABCABCABC.

שאלה 10 · משיק ומיתרים מקבילים: דמיון ויחסי שטחים בשלביםשאלה מלאה · קלה

מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר EA. המיתרים ED ו-AC נחתכים בנקודה K.
ABCDEK

א.

הסבירו מדוע ∠BCE=∠CDE\angle BCE=\angle CDE∠BCE=∠CDE.

ב.

הוכיחו: ΔCEB∼ΔDCE\Delta CEB\sim\Delta DCEΔCEB∼ΔDCE.

ג.

הסבירו מדוע המרובע CDAE הוא טרפז שווה-שוקיים, והראו כי KE=KAKE=KAKE=KA.

ד.

נתון: ED=10ED=10ED=10, AK=4AK=4AK=4. נסמן את שטח המשולש CEK ב-SSS.

הביעו באמצעות SSS את שטח המשולש CKD ואת שטח המשולש DCE.

ה.

נתון: BC=203BC=\frac{20}3BC=320​.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש CEB למשולש DCE, והביעו באמצעות SSS את שטח המשולש CEB.

עוד 33 שאלות על משפט הדמיון ז.ז

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $G$ נמצאת מחוץ למעגל כך ש- $GB=GC$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ , והקטע $GC$ חותך את…
משולש שווה שוקיים עם זווית ראש $12 0^{\circ}$ וחותך מהמשך הבסיס: יחס שטחים כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) שבו $\angle BAC=120^\circ$ , החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
משיק ומיתר מקביל לו: מיתרים שווים, חוצה זווית ודמיון (שאלה מלאה · קלה)
הישר $\ell$ (שעליו הנקודות $P$ ו- $Q$ ) משיק למעגל בנקודה $F$ . המיתר $GH$ מקביל לישר $\ell$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, בצד של המיתר $GH$ …
מעגל: משיק מקודקוד, דמיון, משולש שווה-שוקיים וחוצה זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה A מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך…
שני חותכים ממעגל: אורך לא ידוע, שטח כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
מעגל החותך שתי צלעות של משולש: זווית חיצונית, דמיון, אורכים וחוצה זווית (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ACE$ נתון: $AC=8$ , $AE=10$ , $CE=9$ . מעגל עובר דרך הקודקודים $A$ ו- $E$ , חותך את הצלע $CE$ בנקודה $B$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $D$ (ראו…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים וזווית של 30 מעלות (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
מלבן ומעגל: מתי הנקודה על הצלע, ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB=a$ , $AD=b$ , ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על המעגל, והישר $DC$ משיק למעגל בנקודה $E$ . הישר $AD$ חותך את…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך…
מעגל דרך קודקוד המשיק לצלע שמולו: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=70^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ , $AC=4$ .
משולש, מעגל ומקביל לצלע: מרובע חסום, דמיון, חפיפה והמשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ACE$ הנקודה $B$ נמצאת על הצלע $CE$ . מעגל עובר דרך הקודקודים $A$ ו- $C$ ודרך הנקודה $B$ , וחותך את הצלע $AE$ בנקודה $F$ . הנקודה $D$ …
משיק וחותך מנקודה אחת: דמיון, אורך המשיק ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה $A$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ), כמו בסרטוט.
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ …
מעגל: זווית היקפית על קוטר ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: הישר KO מאונך למיתר CB.
שני חותכים ממעגל וישר מקביל למיתר: דמיון ומשפט תאלס (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
ישר המקביל למשיק: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל. הישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $A$ . דרך הקודקוד $B$ העבירו ישר המקביל ל- $MN$ , והוא חותך את הצלע $AC$ בנקודה $D$ .…
מקבילית: שטחים בעזרת מקבילית עזר ודמיון (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה כלשהי על הצלע $AB$ . המשך הקטע $CE$ חותך את המשך הקטע $AD$ בנקודה $F$ . המקביל לצלע $BC$ העובר…
מעגל, שני משיקים ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $AM$ …
ריבוע ומעגל: קוטר, דמיון ומשיק וחותך - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו 12 ס"מ, ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ …
מעגל, אמצע קשת ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD=CD$ , והנקודה $D$ נמצאת על הקשת $BC$ שאינה…
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון וחישוב - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . מהנקודה $D$ מורידים אנכים:…
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
מרובע חסום במשולש: דמיון ואורכים מנתונים מספריים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ חסום במעגל. נתון: $EC=4$ , $AE=14$ .
משולש שווה שוקיים הנתון בצלעותיו, חסום במעגל, וחותך מנקודה על המשך הבסיס: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC=10$ , $BC=12$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל…
מעגל: קוטר מאונך למשיק, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הישר $ST$ משיק למעגל בנקודה $A$ ומקביל לצלע $BC$ . המיתר $AF$ מאונך ל- $BC$ . הנקודה $P$ נמצאת על הקשת…
דמיון משולשים ישרי זווית: מכפלת קטעים בין שני גבהים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש חד-זווית $ABC$ , הקטע $AE$ הוא גובה לצלע $BC$ והקטע $BG$ הוא גובה לצלע $AC$ .
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $FD$ …
מקבילית: שוויון שטחים ושטחים באמצעות יחס קטעים (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה על האלכסון $AC$ . המשך הקטע $BE$ חותך את הצלע $AD$ בנקודה $F$ .
מלבן ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ ( $AB>AD$ ) ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של המלבן נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את…
משיקים מקבילים בקצות קוטר ושלושה אנכים: דמיון ומכפלת מרחקים (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל. הישר $KL$ משיק למעגל בנקודה $B$ , והישר $MN$ משיק למעגל בנקודה $C$ . $D$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ). מהנקודה…
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=2DC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים נחתכים: משיק ומיתר, דמיון ומקבילית · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 3
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AD$ במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה $A$ . המיתר $CB$ במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה $B$ . המשך המיתר $AC$ …
משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר חסימה במעגל.
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
מעגל: אמצע קשת, משיק, דמיון, תאלס ומשפט חוצה הזווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים ונקודות על מעגל · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר…
מעגל דרך קודקוד הזווית הישרה המשיק ליתר: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים, דמיון, חפיפה והמשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 4
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ (ראו סרטוט). המיתר $AC$ במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה $D$ . המיתר $AE$ במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה $F$ .…
שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים,…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
משיק המקביל למיתר: דמיון משולשים, יחס שטחים ויחס קטעים במרובע · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 4
במרובע $BKCD$ הצלע $KB$ מקבילה לצלע $CD$ . הצלע $CD$ היא מיתר במעגל והצלע $KB$ משיקה למעגל בנקודה $K$ . הצלע $BD$ חותכת את המעגל בנקודה $A$ . האלכסון $BC$ חותך את…
מעגל, דלתון ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה…
משולש שווה צלעות חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך צלע: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .
מעגל: קוטר מתיכון השווה למחצית הצלע, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית $ABC$ החסום במעגל. הנקודה $K$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ כך ש- $AB=BK$ . המשך הקטע $KC$ חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה $F$ . נתון:…
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ומתקיים:…
מקבילית: שוויון שטחים ושטחים באמצעות יחס קטעים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $E$ היא נקודה כלשהי על הצלע $AB$ . המשך הקטע $CE$ חותך את המשך הקטע $AD$ בנקודה $F$ . המקביל לצלע $BC$ העובר בנקודה $E$ , חותך את…
ריבוע ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
נתון ריבוע $ABCD$ ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את המעגל בנקודה $F$ (ראה ציור).
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: דמיון, זוויות ומכפלת מרחקים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . מנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $BC$ מורידים אנכים ל- $AC$ , ל- $AB$ ול- $BC$ . האנכים חותכים את…
מרובע בר חסימה במשולש: דמיון, יחס צלעות ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
במשולש $\triangle ABC$ הקטע $AD$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (10)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מראה שזזה: גובה הפגיעה של קרן לייזר בבניין (שאלה מלאה · קלה)
נועה עומדת בנקודה $A$ , במרחק 150 מטרים מבניין. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. נועה מניחה מראה על הקרקע בנקודה…
שני גבהים במשולש: דמיון ויחס שטחים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש חד-זווית $KLM$ העבירו את הגובה $KP$ לצלע $LM$ ואת הגובה $LQ$ לצלע $KM$ .
יחס שטחים במשולשים דומים בין שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · קלה)
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ , ו- $AB\parallel DC$ (ראו איור). נתון: $AE=6$ , $EC=9$ , ושטח המשולש $ABE$ …
יחס שטחים במשולשים דומים: מהטרפז למשולש (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ . נתון: $AD:DB=2:1$ ,…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
$AC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הישר $CD$ משיק למעגל בנקודה $C$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, וידוע כי…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ .…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ .…
איפה הקודקוד הישר? שתי אפשרויות למשולש ישר זווית (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(0,4)$ , $C(16,15)$ ו- $D(16,0)$ . $O$ ראשית הצירים. $B$ היא נקודה על הקטע $OD$ (על ציר ה- $x$ )…
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ . $BC$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הקטע $AC$ חותך את המעגל בנקודה $D$ .
דמיון משולשים בזוויות קודקודיות (שאלה קצרה · קלה)
הקטעים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AB\parallel CD$ (ראו סרטוט).