שאלות פתוחות: המקרה הדו-משמעי: שני משולשים אפשריים - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-2}$. רשמו את תחום ההגדרה שלה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים.

נתונה סדרה חשבונית בת 9 איברים, והאיבר האמצעי שלה הוא $a_5=12$. מצאו את סכום הסדרה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$. מצאו את שיעורי שתי נקודות המקסימום של $f$ הקרובות ביותר לציר ה-$y$ מימינו.

במשולש $ABC$ נתון: $\sphericalangle ABC=30^\circ$, $AB=4$, $AC=6$.

חשבו את הזווית $\gamma$ ($\sphericalangle ACB$). הסבירו מדוע יש לה ערך אחד בלבד.

רשמו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים (אם יש כאלה) של הפונקציות הבאות:

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n}$ ובה $2n$ איברים ($n$ הוא מספר טבעי). הראו כי סכום הסדרה שווה ל-$n\cdot(a_n+a_{n+1})$.

נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$, $g(x)=\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)$.

באיור שלפניכם שני גרפים: גרף א - מתואר בקו מקווקו; גרף ב - מתואר בקו רציף.

הנקודות $A$ ו-$B$ נמצאות מימין לציר ה-$y$ והן הנקודות הקרובות ביותר לציר זה בהן הפונקציות מקבלות ערכים מקסימליים. מהו אורך הקטע $AB$? נמקו את קביעתכם.

במשולש $KLM$ נתון $\sphericalangle K=40^\circ$, $KL=6$, $LM=8$. חשבו את $\sphericalangle KML$.

נועה הגישה את הפתרון הבא:

בדקו את הפתרון של נועה. אם יש טעות בפתרון, הסבירו מהי.

באילו מרחקים מהנמל (לאורך מסלול ההפלגה) המרחק בין הספינה למגדלור הוא בדיוק 13 ק"מ? מה אורך הקטע של מסלול ההפלגה שבו אור המגדלור נראה מהספינה?

היעזרו במשפט הסינוסים והראו כי $\sin\sphericalangle ACB=0.75$. מצאו את שני הערכים האפשריים של הזווית $ACB$, ולכל אחד מהם חשבו את הזווית $ABC$.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $\gamma$.

לכל אחד מהערכים של $\gamma$ שמצאתם, חשבו את אורך הצלע $BC$.

מצאו את שני הערכים האפשריים של הזווית $ACB$, והראו שכל אחד מהם מתאים למשולש.

נתון גם שהמשולש $ABC$ חד-זווית. קבעו מהו גודל הזווית $ACB$, ומצאו את הזווית $ABC$.

חשבו את אורך הצלע $AC$ ואת שטח המשולש $ABC$.

חשבו את $\sin\sphericalangle ACB$, והסבירו מדוע לזווית $ACB$ יש ערך אחד בלבד. מצאו את הזוויות $ACB$ ו-$BAC$.

נתון: $BC=6$. קבעו כמה משולשים שונים $ABC$ מקיימים את הנתונים, ומצאו את הזווית $ABC$ בכל אחד מהם.

נתון: $BC=5$. קבעו כמה משולשים שונים $ABC$ מקיימים את הנתונים. נמקו.

הראו כי $\sin\sphericalangle ACB=\frac67$, ומצאו את שני הערכים האפשריים של הזווית $ACB$. הראו שכל אחד מהם מתאים למשולש.

נסמן $BC=x$. היעזרו במשפט הקוסינוסים במשולש $ABC$, ומצאו את שני הערכים האפשריים של $x$. איזה ערך של $x$ מתאים לכל אחד מהערכים של הזווית $ACB$ שמצאתם בסעיף א'?

נסמן את שני המשולשים שמצאתם ב-$ABC_1$ וב-$ABC_2$, כאשר הנקודות $C_1$ ו-$C_2$ נמצאות על אותה קרן היוצאת מ-$B$, ו-$BC_1>BC_2$. חשבו את אורך הקטע $C_1C_2$, הראו כי המשולש $AC_1C_2$ שווה-שוקיים, ומצאו את הזווית $C_1AC_2$.