שאלות פתוחות: משפט הקוסינוסים: מציאת זווית - כיתה י"א 5 יח"ל

מציאת זווית בעזרת משפט הקוסינוסים: שאלות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים זוויות במשולש שצלעותיו נתונות בעזרת m ו-α, במשולש חסום במעגל שבו O ו-E על הצלע BD ו-OE=ED, ובמשולש שנבנה על יתר של משולש ישר-זווית. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות ושאלה קשה. מתאים לחזרה ממוקדת על משפט הקוסינוסים; אפשר לשבץ את השאלות בבוחן או בדף עבודה, עם פתרון מלא לכל אחת וייצוא ל-Word.

15 שאלותקלה: 4בינונית: 10קשה: 1

שאלה 1 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים ומעגל חוסםשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B (B היא נקודת החיתוך הקרובה ל-A), כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABD

א.

הראו כי AO=Rcos⁡αAO=\frac{R}{\cos\alpha}AO=cosαR​, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AD.

ב.

נתון: α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

הראו כי AB=R5−4cos⁡βAB=R\sqrt{5-4\cos\beta}AB=R5−4cosβ​.

ג.

נתון גם: AB=2RAB=\sqrt2RAB=2​R.

מצאו את גודל הזווית β\betaβ.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr.

הביעו את rrr באמצעות RRR.

שאלה 2 · משפט הקוסינוסים וזהות: הוכחת קשר בין זוויותשאלה קצרה · בינונית

במשולש KLM נתון: KL=mKL=mKL=m, KM=msin⁡αKM=\frac{m}{\sin\alpha}KM=sinαm​, LM=mcos⁡αsin⁡αLM=\frac{m\cos\alpha}{\sin\alpha}LM=sinαmcosα​, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘. נסמן: ∠LKM=β\angle LKM=\beta∠LKM=β.

א.

הוכיחו כי cos⁡β=sin⁡α\cos\beta=\sin\alphacosβ=sinα.

ב.

הוכיחו כי המשולש KLM ישר-זווית, וקבעו באיזה קודקוד נמצאת הזווית הישרה.

שאלה 3 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קההשאלה מלאה · קשה

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR, והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α.
E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך ש-CE=CBCE=CBCE=CB (ראו סרטוט).
BCDOEG

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הקטעים BE ו-ED.

ב.

מצאו את כל ערכי α\alphaα שבעבורם הנקודה E נמצאת בין O ל-D (ואינה מתלכדת עם אחת מהן).

ג.

נתון ששטח המשולש CED הוא 20% משטח המשולש BCD. מצאו את α\alphaα.

ד.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

מצאו את כל ערכי α\alphaα מהתחום שמצאתם בסעיף ב, שבעבורם הזווית OEG קהה.

שאלה 4 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חישובים מספריים במשפט הקוסינוסים וזווית קההשאלה מלאה · קלה

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו 5. הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים OE=EDOE=EDOE=ED (ראו סרטוט).
נתון: CD=8CD=8CD=8. נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α.
BCDOEG

א.

הסבירו מדוע ∠BCD=90∘\angle BCD=90^\circ∠BCD=90∘, וחשבו את cos⁡α\cos\alphacosα ואת אורך הצלע BC.

ב.

חשבו את אורך הקטע CE.

ג.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

הסבירו מדוע ∠EOG=α\angle EOG=\alpha∠EOG=α, וחשבו את אורך הקטע EG.

ד.

חשבו את גודל הזווית OEG.

שאלה 5 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: הצלע שמול הזווית כפרמטר, שוויון צלעות וזווית במשולש עזרשאלה מלאה · בינונית

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים OE=EDOE=EDOE=ED (ראו סרטוט).
נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α, BC=kBC=kBC=k.
BCDOEG

א.

הביעו את sin⁡α\sin\alphasinα באמצעות kkk ו-RRR.

ב.

הוכיחו כי CE=129R2−2k2CE=\frac12\sqrt{9R^2-2k^2}CE=21​9R2−2k2​.

ג.

נתון: CE=CDCE=CDCE=CD.

חשבו את α\alphaα.

ד.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

חשבו את גודל הזווית OEG.

שאלה 6 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד בנתונים מספריים: משפט הקוסינוסים ומרחק בין מרכזי המעגלים (מודרך)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘), ובו AB=6AB=6AB=6. על הצלע AC בנו משולש ACD כך ש-AC חוצה את הזווית BAD. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. נתון: AD=5AD=5AD=5, CD=65CD=\sqrt{65}CD=65​.
BACD

א.

הראו כי AC=6cos⁡αAC=\frac{6}{\cos\alpha}AC=cosα6​.

ב.

היעזרו במשולש ACD ובמשפט הקוסינוסים, ומצאו את cos⁡α\cos\alphacosα ואת α\alphaα.

ג.

מצאו את אורכי הצלעות AC ו-BC, ואת רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו. T היא נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע AC. מצאו את האורך ET, וחשבו את המרחק ME.

שאלה 7 · אלכסון במקבילית וזווית קהה במשפט הקוסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

במקבילית ABCD נתון: AB=10AB=10AB=10, AD=4AD=4AD=4, ∠DAB=35∘\angle DAB=35^\circ∠DAB=35∘. מעבירים את האלכסון BD (ראו סרטוט).
ABCD

א.

חשבו את אורך האלכסון BD.

ב.

חשבו את הזוויות ADB ו-CDB.

שאלה 8 · טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון ומשפט הקוסינוסים בנתונים מספרייםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC), שבו AB=BC=6.5AB=BC=6.5AB=BC=6.5. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α.
DCAB

א.

הסבירו מדוע ∠ACD=α\angle ACD=\alpha∠ACD=α, והראו כי AC=13cos⁡αAC=13\cos\alphaAC=13cosα. (היעזרו בגובה BMBMBM לצלע ACACAC במשולש ABCABCABC.)

ב.

נתון: DC=13DC=13DC=13, AD=5AD=5AD=5.

מצאו את α\alphaα.

ג.

הראו כי המשולש ACDACDACD ישר-זווית, ומצאו את גודל הזווית ADCADCADC.

ד.

מצאו את הרדיוס של המעגל החסום במשולש ACDACDACD.

שאלה 9 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים (משולש 3-4-5)שאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α, AB=kAB=kAB=k.
BACD

א.

הביעו באמצעות kkk ו-α\alphaα את האורך של AC.

ב.

נתון: CD=354⋅kCD=\frac{3\sqrt5}{4}\cdot kCD=435​​⋅k, AD=2.5⋅kAD=2.5\cdot kAD=2.5⋅k.

חשבו את הערך של α\alphaα.

הציבו cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8cosα=0.8 וענו על סעיפים ג-ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

ג.

הביעו באמצעות kkk את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME=10ME=\sqrt{10}ME=10​.

חשבו את הערך של kkk.

שאלה 10 · משפט הקוסינוסים כשצלע מובעת בעזרת זווית: זווית משלימה ל- $9 0^{\circ}$ שאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘), ובו BC=3BC=3BC=3. נסמן ∠BAC=β\angle BAC=\beta∠BAC=β. על הצלע AB בנו משולש ABD כך ש-BA חוצה את הזווית CBD. נתון: BD=4BD=4BD=4, AD=17AD=\sqrt{17}AD=17​.
CBAD

א.

הביעו באמצעות β\betaβ את האורך AB ואת הזווית ABD.

ב.

חשבו את β\betaβ.

עוד 2 שאלות על משפט הקוסינוסים: מציאת זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: $D C = 1.6 k$ , $A D = 1.1 k$ ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ ,…
אלכסון שחוצה זווית: משפט הקוסינוסים עם צלע התלויה בזווית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מרובע $ABCD$ . נתון: $AB=BC=4$ , $CD=7$ , $AD=6$ , והאלכסון $CA$ חוצה את הזווית $BCD$ . נסמן: $\angle BCA=\beta$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: משפט הקוסינוסים עם פרמטרים, שוויון צלעות וזווית קהה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 5
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ , $CD=k$ .
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: $\angle CAB=\alpha$ , $AB=k$ .
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון, משפט הקוסינוסים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ , $0^\circ<\alpha<90^\circ$ .