שאלות פתוחות: משפט הקוסינוסים: מציאת צלע - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מציאת צלע בעזרת משפט הקוסינוסים לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים צלעות בשרטוטים של משיק וחותך מנקודה חיצונית, של מלבן החסום במעגל שרדיוסו 6, ושל משולש ישר-זווית שמחוץ לו נמצאת נקודה E. יש גם שאלה על מקבילית ששטחה 24 שבה היחס בין הצלעות הוא פרמטר k. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ובקובץ Word.

37 שאלותקלה: 6בינונית: 23קשה: 8

שאלה 1 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים ומעגל חוסםשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B (B היא נקודת החיתוך הקרובה ל-A), כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABD

א.

הראו כי AO=Rcos⁡αAO=\frac{R}{\cos\alpha}AO=cosαR​, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AD.

ב.

נתון: α=60∘\alpha=60^\circα=60∘.

הראו כי AB=R5−4cos⁡βAB=R\sqrt{5-4\cos\beta}AB=R5−4cosβ​.

ג.

נתון גם: AB=2RAB=\sqrt2RAB=2​R.

מצאו את גודל הזווית β\betaβ.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr.

הביעו את rrr באמצעות RRR.

שאלה 2 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: הזווית שבנקודה A ויחס בין החותך למשיקשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C (הקרובה ל-A) ו-B, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABCD

א.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-RRR, אם יש צורך, את: אורך הקטע AO.

(2)

אורך הקטע AB.

ב.

נתון: AB=2⋅ADAB=\sqrt2\cdot ADAB=2​⋅AD.

הוכיחו כי: cos⁡β=3sin⁡2α−12sin⁡α\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}cosβ=2sinα3sin2α−1​.

ג.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו rrr. נתון: Rr=43\frac{R}{r}=\frac43rR​=34​.

מצאו את גודלי הזוויות α\alphaα ו-β\betaβ.

שאלה 3 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: מתי הנקודה קיימת והאם היא הקרובה או הרחוקהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: AB=3RAB=\sqrt3RAB=3​R. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

ג.

קבעו, לפי α\alphaα, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr. נתון: Rr=65\frac{R}{r}=\frac65rR​=56​.

מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

שאלה 4 · מלבן חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: חישובים מספרייםשאלה מלאה · קלה

מלבן ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נתון: ∠CAB=40°\angle CAB=40°∠CAB=40°.
ABCDMO

א.

הסבירו מדוע האלכסון ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC.

ב.

חשבו את אורך הקטע AOAOAO.

ג.

חשבו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את המרחק MOMOMO בין מרכז המעגל החוסם את המלבן לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · משפט הקוסינוסים עם צלעות בפרמטריםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון: BC=aBC=aBC=a, ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α. הנקודה E נמצאת מחוץ למשולש, כך ש-BE=2aBE=2aBE=2a ו-∠ABE=β\angle ABE=\beta∠ABE=β (ראו סרטוט).
ABCE

א.

הביעו באמצעות aaa ו-α\alphaα את אורך הקטע AB.

ב.

הביעו באמצעות aaa, α\alphaα ו-β\betaβ את אורך הקטע AE.

שאלה 6 · מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעותשאלה מלאה · קשה

נתונה מקבילית ABCDABCDABCD ששטחה 24. נתון: AD=k⋅ABAD=k\cdot ABAD=k⋅AB, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נסמן: ∠BAD=x\angle BAD=x∠BAD=x, 0°<x<180°0°<x<180°0°<x<180°.

א.

הביעו את BD2BD^2BD2 באמצעות xxx ו-kkk.

ב.

נניח כי k≠1k\neq1k=1. הביעו באמצעות kkk את האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD.

ג.

ידוע כי האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD הוא 8. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

הראו כי כאשר k=1k=1k=1 אין לאורך האלכסון BDBDBD ערך מינימלי.

שאלה 7 · אורך מינימלי של צלע במשולש עם שטח נתוןשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=3⋅ACAB=\sqrt3\cdot ACAB=3​⋅AC. נסמן: ∠BAC=x\angle BAC=x∠BAC=x. שטח המשולש ABCABCABC הוא 434\sqrt343​.

א.

הביעו באמצעות xxx את AC2AC^2AC2.

ב.

הראו כי BC2=8(4−23cos⁡x)sin⁡xBC^2=\frac{8\left(4-2\sqrt3\cos x\right)}{\sin x}BC2=sinx8(4−23​cosx)​.

ג.

מצאו את גודל הזווית xxx שעבורו אורך הצלע BCBCBC הוא מינימלי.

ד.

חשבו את האורך המינימלי של הצלע BCBCBC.

שאלה 8 · מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזיםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: DA=DCDA=DCDA=DC ו-∠ADC=120°\angle ADC=120°∠ADC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α.
ABCDO

א.

(1)

מצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC (הביעו באמצעות α\alphaα במידת הצורך).

(2)

הביעו את אורך הקטע AOAOAO באמצעות α\alphaα ו-RRR.

ב.

נתון כי AO=1.2RAO=1.2RAO=1.2R.

מצאו את גודל הזווית α\alphaα.

ג.

נתון כי שטח המרובע ABCDABCDABCD הוא 40.86 (בקירוב).

מצאו את RRR.

ד.

חשבו את המרחק בין מרכז המעגל החוסם את המרובע לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

שאלה 9 · משיק ומיתרים מקבילים עם פרמטרים: מתי E אמצע ABשאלה מלאה · קשה

מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר EA. המיתרים ED ו-AC נחתכים בנקודה K.
נתון: ∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ∠CAE=30∘. נסמן: AK=aAK=aAK=a, KD=bKD=bKD=b.
ABCDEK

א.

מצאו את הזוויות ∠BCE\angle BCE∠BCE ו-∠CKE\angle CKE∠CKE.

ב.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את אורך הקטע BE.

ג.

נתון: BE=EABE=EABE=EA (הנקודה E היא אמצע הקטע AB).

מצאו את היחס ba\frac baab​. מצאו את כל האפשרויות.

ד.

בעבור כל אחת מן האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את גודל הזווית ∠ABC\angle ABC∠ABC.

שאלה 10 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חישובים מספריים במשפט הקוסינוסים וזווית קההשאלה מלאה · קלה

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו 5. הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים OE=EDOE=EDOE=ED (ראו סרטוט).
נתון: CD=8CD=8CD=8. נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α.
BCDOEG

א.

הסבירו מדוע ∠BCD=90∘\angle BCD=90^\circ∠BCD=90∘, וחשבו את cos⁡α\cos\alphacosα ואת אורך הצלע BC.

ב.

חשבו את אורך הקטע CE.

ג.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

הסבירו מדוע ∠EOG=α\angle EOG=\alpha∠EOG=α, וחשבו את אורך הקטע EG.

ד.

חשבו את גודל הזווית OEG.

עוד 18 שאלות על משפט הקוסינוסים: מציאת צלע

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון טריגונומטרית במקבילית: קטע מקודקוד לנקודה על צלע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $AB=2BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CD$ כך ש- $DE=2CE$ . נסמן: $\angle BCD=x$ . נתון: שטח המשולש $BCE$ הוא 12.
מעגל המשיק לצלע במשולש עם זווית של $6 0^{\circ}$ : יחס החלוקה, אורך המיתר באמצעות הצלעות, חסם ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $AC=a$ , $BC=b$ . מעגל עובר דרך הקודקוד $C$ , חותך את הצלעות $AC$ ו- $BC$ בנקודות $G$ ו- $H$ …
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: חישובים בזווית נתונה (שאלה מלאה · קלה)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 2. נתון: $\angle ACB=70^\circ$ . המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ (ראו…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: הצלע שמול הזווית כפרמטר, שוויון צלעות וזווית במשולש עזר (שאלה מלאה · בינונית)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ ,…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קהה (שאלה מלאה · קשה)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ , והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן $\angle CDB=\alpha$ . E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך…
משיקים למעגל מנקודה: צלע בעזרת $sin 2 β$ , שטח וצלע שלישית - בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, והנקודה C…
משפט הקוסינוסים עם הצבת יחס טריגונומטרי בפרמטרים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון: $AC=b$ , $AB=c$ . הנקודה M נמצאת על היתר AB, כך ש- $AM=\frac{c}{3}$ (ראו סרטוט).
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
משולש שווה צלעות חסום במעגל: $B D = A D + D C$ , שטח המקבילית ותנאי למעוין (שאלה מלאה · קשה)
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת $AC$ שאינה מכילה את $B$ . דרך $C$ עובר מיתר $CL$ המקביל ל- $BD$ . המיתרים $AL$ …
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: המרחק מהקודקוד, זווית כפולה בצורת סינוס ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
שני חותכים ממעגל: אורך לא ידוע, שטח כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
מרכז המעגל החסום: זווית קהה ומשפט הקוסינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ . נתון: $\angle BAC=40^\circ$ , $OB=5$ , $OC=7$ .
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
משולש שווה-צלעות ומעוין עם קודקוד במרכז: חפיפה, יחס שטחים ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודה $O$ היא מרכז המשולש שווה-הצלעות $ABC$ (נקודת המפגש של חוצי הזוויות, שהם גם התיכונים והאנכים האמצעיים). הנקודה $O$ היא קודקוד של…
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $FD$ …
הבעת צלע בעזרת פרמטר: שני משולשים עם זווית משותפת (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ . נתון: $AD=2$ , $AB=6$ , $AE=3$ , $AC=5$ , $DE=k$ .
שטח משולש ושאלה הפוכה: שתי זוויות אפשריות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=4$ , $AC=6$ , ושטח המשולש הוא $6\sqrt3$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים, זהות וזוויות מיחס רדיוסים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B כמתואר בסרטוט. נסמן:…
דלתון חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
דלתון $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . המיתר $AC$ הוא האלכסון הראשי של הדלתון. הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
בעיית קיצון טריגונומטרית במעוין: קטע מקודקוד לאמצע צלע · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8
נתון מעוין $ABCD$ . נקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ECD=x$ . נתון: שטח המשולש $ECD$ הוא 25.
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: משפט הקוסינוסים עם פרמטרים, שוויון צלעות וזווית קהה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 5
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ , $CD=k$ .
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: הבעה בעזרת זווית, משוואה עם זווית כפולה ומשפט הקוסינוסים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
שני חותכים ממעגל, ישר מקביל למיתר: דמיון, אורכים ומשפט הקוסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני קטעים החותכים את המעגל, האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ומתקיים:…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…