שאלות פתוחות: שטח משולש: S=½·a·b·sinγ - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על שטח משולש לפי הנוסחה S=½·a·b·sinγ, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים שטחים של משולשים במלבן שבו AB=12 ו-BC=5, במשולש שבו צלע וזווית נתונות בעזרת פרמטרים, במלבן שאלכסונו d, ובמשולש עם זווית של 120° ומרכז המעגל החסום. בחלק מהשאלות מבטאים את השטח כפונקציה של זווית. רוב השאלות בינוניות. מתאים לחזרה לפני הבגרות; בוחרים שאלות לבוחן או לדף עבודה ומקבלים פתרון מלא שאפשר לייצא ל-Word.

40 שאלותקלה: 9בינונית: 25קשה: 6

שאלה 1 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן במידות נתונותשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD נתון: AB=12AB=12AB=12, BC=5BC=5BC=5.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC. נסמן ∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α.
ABCDOM

א.

חשבו את α\alphaα.

ב.

הסבירו מדוע ∢OAB=45∘\sphericalangle OAB=45^\circ∢OAB=45∘ ו-∢OBA=α2\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}∢OBA=2α​. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש AOBAOBAOB, וחשבו את BOBOBO.

ג.

הראו כי ∢OBM=45∘\sphericalangle OBM=45^\circ∢OBM=45∘.

ד.

חשבו את BMBMBM (היעזרו במשולש BMCBMCBMC), ואת שטח המשולש OBMOBMOBM.

שאלה 2 · משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC אורך הצלע ACACAC הוא bbb. נתון: ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β (β\betaβ ברדיאנים). נסמן: ∢BAC=x\sphericalangle BAC=x∢BAC=x (0<x<π−β0<x<\pi-\beta0<x<π−β).

א.

הביעו באמצעות xxx, β\betaβ ו-bbb את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

הביעו באמצעות β\betaβ את ערך ה-xxx שבעבורו שטח המשולש ABCABCABC הוא מקסימלי.

ג.

הסבירו מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל השטח המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

שאלה 3 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 4 · מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ שאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOE

א.

הראו כי ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α, וכי ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

הראו כי AD=2Rsin⁡αAD=2R\sin\alphaAD=2Rsinα, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AEAEAE.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ADEADEADE.

ד.

נתון כי AE=RAE=RAE=R. מצאו את α\alphaα.

שאלה 5 · מרכזי המעגלים החסומים משני צדי הגובה ליתר: משפט הסינוסים וזווית של 45°שאלה מלאה · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∢ACB=90∘\sphericalangle ACB=90^\circ∢ACB=90∘) הקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ACDACDACD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BCDBCDBCD.
נסמן: ∢CAB=α\sphericalangle CAB=\alpha∢CAB=α, CD=aCD=aCD=a.
ABCDOM

א.

הביעו את DODODO ואת COCOCO באמצעות aaa ו-α\alphaα.

ב.

הראו כי ∢OCM=45∘\sphericalangle OCM=45^\circ∢OCM=45∘.

ג.

נתון: AC=15AC=15AC=15, BC=20BC=20BC=20.

חשבו את α\alphaα.

ד.

חשבו את שטח המשולש OCMOCMOCM.

שאלה 6 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠ABC=120°\angle ABC=120°∠ABC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
ABCO

א.

הוכיחו שגודל הזווית AOCAOCAOC אינו תלוי ב-α\alphaα, ומצאו אותו.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC מקסימלי, והביעו את השטח המקסימלי באמצעות RRR.

ד.

נתון: R=4R=4R=4.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם שטח המשולש AOCAOCAOC הוא 2.

שאלה 7 · אורך מינימלי של צלע במשולש עם שטח נתוןשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=3⋅ACAB=\sqrt3\cdot ACAB=3​⋅AC. נסמן: ∠BAC=x\angle BAC=x∠BAC=x. שטח המשולש ABCABCABC הוא 434\sqrt343​.

א.

הביעו באמצעות xxx את AC2AC^2AC2.

ב.

הראו כי BC2=8(4−23cos⁡x)sin⁡xBC^2=\frac{8\left(4-2\sqrt3\cos x\right)}{\sin x}BC2=sinx8(4−23​cosx)​.

ג.

מצאו את גודל הזווית xxx שעבורו אורך הצלע BCBCBC הוא מינימלי.

ד.

חשבו את האורך המינימלי של הצלע BCBCBC.

שאלה 8 · מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ שאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB בנקודה EEE. הנקודה FFF נמצאת על הקוטר ABABAB, וההמשך של הקטע DFDFDF חותך את המעגל בנקודה CCC (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOEFC

א.

הראו כי: ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

נתון כי: EF=EDEF=EDEF=ED.

הביעו באמצעות α\alphaα את גודל ∠AFD\angle AFD∠AFD.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את שטח המשולש AFDAFDAFD.

ד.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}SAED​SAFD​​.

(2)

נתון כי: SAFDSAED=2\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}=\sqrt2SAED​SAFD​​=2​. מצאו את α\alphaα.

שאלה 9 · מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעותשאלה מלאה · קשה

נתונה מקבילית ABCDABCDABCD ששטחה 24. נתון: AD=k⋅ABAD=k\cdot ABAD=k⋅AB, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נסמן: ∠BAD=x\angle BAD=x∠BAD=x, 0°<x<180°0°<x<180°0°<x<180°.

א.

הביעו את BD2BD^2BD2 באמצעות xxx ו-kkk.

ב.

נניח כי k≠1k\neq1k=1. הביעו באמצעות kkk את האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD.

ג.

ידוע כי האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD הוא 8. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

הראו כי כאשר k=1k=1k=1 אין לאורך האלכסון BDBDBD ערך מינימלי.

שאלה 10 · משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים ומשולש ישר-זווית שווה-שוקייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ∠ABC=70∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
OABCDE

א.

הראו כי S△ABC=2R2sin⁡70∘sin⁡αsin⁡(110∘−α)S_{\triangle ABC}=2R^2\sin70^\circ\sin\alpha\sin(110^\circ-\alpha)S△ABC​=2R2sin70∘sinαsin(110∘−α).

ב.

הביעו באמצעות R ו-α\alphaα את שטח המשולש ODC.

ג.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: 4sin⁡270∘4\sin^270^\circ4sin270∘.

מצאו את α\alphaα.

ד.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-∠CAE=45∘\angle CAE=45^\circ∠CAE=45∘, כמתואר בסרטוט.

(1)

הראו כי המשולש ACE ישר-זווית ושווה-שוקיים.

(2)

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

עוד 16 שאלות על שטח משולש: S=½·a·b·sinγ

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון טריגונומטרית במקבילית: קטע מקודקוד לנקודה על צלע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $AB=2BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CD$ כך ש- $DE=2CE$ . נסמן: $\angle BCD=x$ . נתון: שטח המשולש $BCE$ הוא 12.
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: חישובים בזווית נתונה (שאלה מלאה · קלה)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 2. נתון: $\angle ACB=70^\circ$ . המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ (ראו…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, פסילת פתרון ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=45^\circ$ . נסמן:…
שני חותכים ממעגל: אורך לא ידוע, שטח כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: האחד בנקודות $E$ ו- $C$ , והשני בנקודות $F$ ו- $D$ . הנקודה $B$ נמצאת על המיתר $EC$ ,…
משיקים למעגל מנקודה: צלע בעזרת $sin 2 β$ , שטח וצלע שלישית - בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, והנקודה C…
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: המרחק מהקודקוד, זווית כפולה בצורת סינוס ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
משיקים וקוטר במעגל: יחס שטחים כפונקציה של הזווית ומתי BEDC מקבילית (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיק ב- $F$ חותך את המשיק למעגל ב- $B$ …
משיקים וקוטר במעגל: זוויות ואורך משיק במספרים (שאלה מלאה · קלה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , $AF$ הוא קוטר ו- $B$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשיק למעגל בנקודה $F$ נפגשים בנקודה $E$ . נתון:…
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: $D C = 1.6 k$ , $A D = 1.1 k$ ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ ,…
משולש ישר-זווית ואנכים מנקודה על היתר: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר-זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ). הנקודה $E$ נמצאת על היתר $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הניצב…
שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AKB$ משטח המשולש $AOB$ .
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הקודקוד $A$ נמצא בתוך המעגל, ומרכז המעגל $O$ נמצא על המשך הצלע…
טריגונומטריה במעגל: יחס שטחים כפרמטר ותחום הזווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ מעבר ל- $A$ פוגש את…
שני משיקים שנפגשים על המשך הקוטר: זוויות, אורך משיק ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נפגשים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרכזי המעגלים החסומים במלבן: משפט הסינוסים וזווית של 45° · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 4
במלבן $ABCD$ הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABD$ , והנקודה $M$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $BDC$ . נסמן: $\sphericalangle ABD=\alpha$ , $BC=b$ , $AB=a$ .
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
בעיית קיצון טריגונומטרית במעוין: קטע מקודקוד לאמצע צלע · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8
נתון מעוין $ABCD$ . נקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ECD=x$ . נתון: שטח המשולש $ECD$ הוא 25.
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, משוואה $sin x = sin β$ ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=60^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: הבעה בעזרת זווית, משוואה עם זווית כפולה ומשפט הקוסינוסים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון, משפט הקוסינוסים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ , $0^\circ<\alpha<90^\circ$ .
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=3\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $ED$ מאונך ל- $AC$ .…
שאלות קצרות: יחס שטחים בין משיקים מאונכים, פרמטר בהסתברות של שני משחקי שחמט, סכום שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (π \cdot 2^{n})$ · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 1
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: מרובע בר חסימה ומרובע חוסם · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . נסמן: $DB=4x$ . נתון גם:…
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ . המשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ . נתון:…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · קלה)
המשולש $AEC$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle AEC=120^\circ$ , $EC=6$ .
שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש שווה השוקיים $ABC$ נתון: $AB=AC=13$ , $BC=10$ . הנקודה $K$ נמצאת על הצלע $AC$ .