שאלות פתוחות: משפט הסינוסים והמעגל החוסם: a/sinα=2R - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על משפט הסינוסים המורחב והמעגל החוסם, a/sinα=2R, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מבטאים אורכים בעזרת הרדיוס R במשולש שווה-שוקיים החסום במעגל, במרובע חסום, במלבן שצלעותיו משיקות למעגל ובקוטר עם משיק בקצהו. מבחר גדול, רובו בינוני, עם קלות וקשות. מתאים למבחן בטריגונומטריה במישור ולחזרה לפני הבגרות; המורה בוחר שאלות ומקבל אותן עם פתרון מלא, מוכנות להדפסה מ-Word.

70 שאלותקלה: 12בינונית: 46קשה: 12

שאלה 1 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: חישוב זוויות ואורכיםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 6. הקודקוד CCC נמצא על המעגל, ו-∢KCD=15∘\sphericalangle KCD=15^\circ∢KCD=15∘ (ראו סרטוט).
ABCDEKO

א.

הוכיחו כי המרובע AEOKAEOKAEOK הוא ריבוע, ומצאו את ∢KCE\sphericalangle KCE∢KCE.

ב.

היעזרו במשפט על הזווית שבין משיק למיתר, ומצאו את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

ג.

המעגל הנתון הוא המעגל החוסם את המשולש KCEKCEKCE. חשבו את אורכי הצלעות KEKEKE, CKCKCK ו-CECECE.

ד.

חשבו את ∢ECB\sphericalangle ECB∢ECB, את האורך EBEBEB ואת אורך הצלע ABABAB.

שאלה 2 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 3 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: יחס הצלעות ומתי אפשר לבנותשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK, שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד CCC נמצא על המעגל. נסמן ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ב.

נתון: AB:AD=3:2AB:AD=3:2AB:AD=3:2. מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα (ערך מדויק).

ג.

נסמן k=ABADk=\frac{AB}{AD}k=ADAB​. מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם קיים מלבן כזה, כלומר מלבן שבו ABAD=k\frac{AB}{AD}=kADAB​=k ויש מעגל המשיק לצלעות ABABAB ו-ADADAD בנקודות פנימיות שלהן ועובר דרך CCC.

שאלה 4 · משולש שווה-שוקיים חסום במעגל: המשך הבסיס בקטע השווה לשוקשאלה מלאה · קלה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, שחסום במעגל שרדיוסו RRR. זוויות הבסיס הן ∠ABC=∠ACB=2α\angle ABC=\angle ACB=2\alpha∠ABC=∠ACB=2α. על המשך הבסיס BCBCBC, מעבר לנקודה CCC, סימנו נקודה DDD כך ש-CD=CACD=CACD=CA, והעבירו את הקטע ADADAD.
2α2αABCD

א.

הראו כי ∠CAD=∠ADC=α\angle CAD=\angle ADC=\alpha∠CAD=∠ADC=α.

ב.

הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את משולש ABDABDABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את משולש ACDACDACD.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע ACACAC ואת שטח המשולש ACDACDACD.

ד.

נסמן ב-nnn את היחס בין שטח המשולש ACDACDACD לבין שטח המשולש ABDABDABD.

הראו כי n=11+2cos⁡2αn=\frac{1}{1+2\cos2\alpha}n=1+2cos2α1​. (רמז: לשני המשולשים אותו גובה מהקודקוד AAA.)

ה.

(1)

האם ייתכן כי n=0.3n=0.3n=0.3? נמקו את תשובתכם.

(2)

נתון כי n=0.4n=0.4n=0.4. מצאו את גודלי זוויות המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · קוטר המעגל החוסם משולש שווה שוקייםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: AB=AC=bAB=AC=bAB=AC=b, ∢BAC=2β\sphericalangle BAC=2\beta∢BAC=2β (0∘<β<90∘0^\circ<\beta<90^\circ0∘<β<90∘).

א.

הביעו באמצעות bbb ו-β\betaβ את קוטר המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את β\betaβ שבעבורה קוטר המעגל החוסם שווה ל-BCBCBC. איזה משולש מתקבל?

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל עם זווית חופשית: יחס גבהים, שטח ומספר מרובעים מתאימיםשאלה מלאה · קשה

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
נתון: AD=RAD=RAD=R, והזווית ABD חדה.
נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את אורך הצלע AB.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

ג.

נתון ששטח המשולש ABD הוא 34R2\frac{\sqrt3}{4}R^243​​R2. מצאו את α\alphaα.

ד.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של α\alphaα (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-kR2kR^2kR2.

שאלה 7 · מלבן חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: חישובים מספרייםשאלה מלאה · קלה

מלבן ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נתון: ∠CAB=40°\angle CAB=40°∠CAB=40°.
ABCDMO

א.

הסבירו מדוע האלכסון ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC.

ב.

חשבו את אורך הקטע AOAOAO.

ג.

חשבו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את המרחק MOMOMO בין מרכז המעגל החוסם את המלבן לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה ∢BAD=120∘\sphericalangle BAD=120^\circ∢BAD=120∘. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה. הנקודה CCC נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הוכיחו: ∢KCE=30∘\sphericalangle KCE=30^\circ∢KCE=30∘.

ב.

נתון: ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את האורכים של צלעות המשולש KCEKCEKCE.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס EBAE\frac{EB}{AE}AEEB​.

ד.

נתון: EB=2AEEB=2AEEB=2AE.

חשבו את α\alphaα.

שאלה 9 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠ABC=120°\angle ABC=120°∠ABC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
ABCO

א.

הוכיחו שגודל הזווית AOCAOCAOC אינו תלוי ב-α\alphaα, ומצאו אותו.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC מקסימלי, והביעו את השטח המקסימלי באמצעות RRR.

ד.

נתון: R=4R=4R=4.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם שטח המשולש AOCAOCAOC הוא 2.

שאלה 10 · טרפז חסום במעגל: זוויות, משפט הסינוסים ומשוואה טריגונומטרית (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתון טרפז ABCD (AB∥DC)(AB\parallel DC)(AB∥DC), החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ∠ACB=45∘.
נסמן: ∠CDE=α\angle CDE=\alpha∠CDE=α, AC=kAC=kAC=k.
ABCDE

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α, ומדוע גם ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α.

ב.

הראו כי ∠DAC=2α−135∘\angle DAC=2\alpha-135^\circ∠DAC=2α−135∘, ומצאו את ∠ADC\angle ADC∠ADC.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-kkk את אורכי הצלעות AB ו-DC.

ד.

נתון כי שטח המשולש ABE גדול פי 2 משטח המשולש DCE.

הסבירו מדוע ABDC=2\frac{AB}{DC}=\sqrt2DCAB​=2​, ומצאו את α\alphaα.

ה.

נתון k=8k=8k=8. חשבו את רדיוס המעגל (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

עוד 42 שאלות על משפט הסינוסים והמעגל החוסם: a/sinα=2R

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק ומשפט הסינוסים המורחב במשולש חסום (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הישר $ST$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והנקודות $T$ ו- $C$ נמצאות משני צדי הישר $AB$ . נתון:…
מעגל המשיק לצלע במשולש עם זווית של $6 0^{\circ}$ : יחס החלוקה, אורך המיתר באמצעות הצלעות, חסם ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ נתון $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $AC=a$ , $BC=b$ . מעגל עובר דרך הקודקוד $C$ , חותך את הצלעות $AC$ ו- $BC$ בנקודות $G$ ו- $H$ …
שאלות קצרות מודרכות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, קיצון של $f^{'}$ ושטח מתחת ל- $f^{''}$ , סדרת זוויות (שאלה מלאה · קלה)
הסבירו מדוע $\sin\angle ADB=\sin\angle ADC$ .
מרובע חסום במעגל: מיתרים נתונים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
משיק וחותך במעגל: $∠ D BC = 2 α$ , יחס שטחים כפונקציה של $α$ ותנאי קיום (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט.…
משיק וחותך במעגל: דמיון משולשים ומשפט הסינוסים המורחב (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל ואנך לשוק: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD\perp AB$ . נתון:…
תיכון וחותך מאונכים עם יחס פרמטרי: מתי הזווית B ישרה, ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט). נתון:…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: חישוב קטעים, שטח ויחס רדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט). נתון:…
יחס רדיוסי המעגלים החוסמים כשנקודה על צלע (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ . נסמן ב- $R_1$ את רדיוס המעגל החוסם את משולש $ABD$ , וב- $R_2$ את רדיוס המעגל החוסם את משולש $ACD$ .
משולש חסום ונקודה על המשך מיתר: מתי הישר משיק, ומתי המשולש חד זוויות (שאלה מלאה · קשה)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC. נתון: $\angle ABC=48^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינום (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3$ .
מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $DA=DC$ ו- $\angle ADC=120°$ . הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים ומשולש ישר-זווית שווה-שוקיים (שאלה מלאה · קלה)
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=70^\circ$ . נסמן:…
מרכז המעגל החסום במשולש קהה זווית: זוויות ואורך (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו 6. נתון: $\angle ABC=100°$ , $\angle BAC=30°$ . הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט).
דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים וזווית כפולה (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=4\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
שאלות קצרות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות מרכזיות (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $EDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $BDE$ . נמקו את תשובתכם.
משולש שווה-שוקיים: היחס בין רדיוס המעגל החסום לחוסם (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש, $r$ רדיוס המעגל החסום בו ו- $E$ מרכז המעגל…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: חישובי צלעות ורדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס $\angle ABC=70^\circ$ ו- $BC=10$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את…
משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש שווה צלעות חסום במעגל: $B D = A D + D C$ , שטח המקבילית ותנאי למעוין (שאלה מלאה · קשה)
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת $AC$ שאינה מכילה את $B$ . דרך $C$ עובר מיתר $CL$ המקביל ל- $BD$ . המיתרים $AL$ …
זווית משיק-מיתר ומשפט הסינוסים המורחב (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $KLM$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . הישר $TS$ משיק למעגל בנקודה $K$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle TKL=\alpha$ . נתון:…
משיקים וקוטר במעגל: יחס שטחים כפונקציה של הזווית ומתי BEDC מקבילית (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיק ב- $F$ חותך את המשיק למעגל ב- $B$ …
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
רדיוסי מעגלים חוסמים של שני משולשים עם זוויות צמודות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=7$ , $AC=10$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , ו- $\angle ADB=70^\circ$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
יחס בין רדיוסים של מעגלים חוסמים במשולש קהה-זווית (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ , כאשר $90^\circ<\alpha<180^\circ$ .
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, פסילת פתרון ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=45^\circ$ . נסמן:…
שטח משולש חסום ויחס שטחים עם פסילת פתרון (שאלה קצרה · בינונית)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה AC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle BAC=50^\circ$ . נסמן:…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
משפט הסינוסים והמעגל החוסם משולש שקודקודו במרכז מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ העבירו את המיתר $PQ$ . רדיוס המעגל החוסם את המשולש $OPQ$ הוא $\frac56R$ .
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
משפט הקוסינוסים ומשפט הסינוסים המורחב: צלעות מובעות בפרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש KLM נתון: $KL=2t$ , $KM=5t$ , $\sin\angle K=0.6$ , והזווית K חדה.
דלתון עם זווית ראש קהה: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle ADB=\alpha$ , $\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
משולש שווה-צלעות ומעוין עם קודקוד במרכז: חפיפה, יחס שטחים ומרובע בר-חסימה (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודה $O$ היא מרכז המשולש שווה-הצלעות $ABC$ (נקודת המפגש של חוצי הזוויות, שהם גם התיכונים והאנכים האמצעיים). הנקודה $O$ היא קודקוד של…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: יחס קטעים, יחס רדיוסים ואורך (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה…
ארבעה סעיפים קצרים: משולש חסום, פולינום יורד, גרף הנגזרת וסדרת מכפלות (שאלה מלאה · בינונית)
כמה משולשים ישרי זווית כאלה יש, אם הצלע שאורכה 6 ס"מ קבועה במקומה במעגל?
משולש שווה שוקיים חסום במעגל: זווית הראש והשוק (שאלה קצרה · בינונית)
משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) חסום במעגל שרדיוסו 6.5 ס"מ. אורך הבסיס $BC=12$ ס"מ.
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הקודקוד $A$ נמצא בתוך המעגל, ומרכז המעגל $O$ נמצא על המשך הצלע…
משפט הסינוסים המורחב: צלע וזווית במשולש חסום (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $KLM$ חסום במעגל שרדיוסו $7$ . נתון: $\angle KLM=35^\circ$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל והמשך הבסיס: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ והעבירו ישר מנקודה $D$ לנקודה $A$ . נתון:…
דלתון חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
דלתון $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . המיתר $AC$ הוא האלכסון הראשי של הדלתון. הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
שאלות קצרות: רדיוסים של מעגלים חוסמים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות אין-סופית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $HBF$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $GEA$ . נמקו את תשובתכם.
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, משוואה $sin x = sin β$ ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=60^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: זווית, יחס רדיוסים ואורך · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי-הזווית במשולש $ABC$ . המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ (ראה ציור).…
פרק ראשון: משולש חסום, פולינום מונוטוני, גרף הנגזרת וסדרה הנדסית הפוכה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ . המשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ . נתון:…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · קלה)
המשולש $AEC$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle AEC=120^\circ$ , $EC=6$ .