שאלות פתוחות: זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים - כיתה י"ב 3 יח"ל

זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים, לכיתה י"ב 3 יחידות. התלמידים בודקים אם משולש הוא ישר זווית לפי מכפלת השיפועים, משלימים קודקוד של מקבילית או של מלבן שאחד מקודקודיו על ציר x, ומוצאים קודקוד כשידוע שצלע מאונכת לצלע אחרת. יש גם משולשים שצלעותיהם נתונות במשוואות, ומרובע שבו מוכיחים שהוא מלבן. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא.

35 שאלותקלה: 4בינונית: 23קשה: 8

שאלה 1 · זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · קלה

קודקודי המשולש ABCABCABC הם A(−2,0)A(-2,0)A(−2,0), B(3,0)B(3,0)B(3,0) ו-C(4,4)C(4,4)C(4,4).

האם המשולש ABCABCABC ישר זווית? נמקו.

שאלה 2 · זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,2)A(1,2)A(1,2), B(3,8)B(3,8)B(3,8) ו-D(7,4)D(7,4)D(7,4). המרובע ABCDABCDABCD הוא מקבילית.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

האם המקבילית ABCDABCDABCD היא מלבן, מעוין, ריבוע או אף אחד מאלה? נמקו.

שאלה 3 · משולש במערכת צירים: קדקוד משטח נתון, גובה ומלבןשאלה מלאה · קשה

נתון משולש ABCABCABC. משוואת הצלע ACACAC היא y=12x+1y=\frac12x+1y=21​x+1, ומשוואת הצלע ABABAB היא y=−2x−14y=-2x-14y=−2x−14.
הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx. בסרטוט מוצגים הישרים ACACAC ו-ABABAB; הקודקוד BBB אינו מסומן.
AC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-CCC.

ב.

הקודקוד BBB נמצא מעל ציר ה-xxx, ושטח המשולש ABCABCABC הוא 30. מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ג.

מצאו את משוואת הגובה לצלע BCBCBC במשולש ABCABCABC, ואת שיעורי נקודת החיתוך HHH של הגובה עם BCBCBC.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD שעבורה המרובע ABDCABDCABDC הוא מלבן, וחשבו את שטח המלבן.

שאלה 4 · משולש ישר זווית במערכת צירים: קדקודים ושטחשאלה מלאה · קלה

נתון משולש ABCABCABC. משוואת הצלע ACACAC היא y=x−2y=x-2y=x−2, ומשוואת הצלע ABABAB היא y=−x+8y=-x+8y=−x+8.
הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx, ושיעור ה-xxx של הקודקוד BBB הוא 1 (ראו סרטוט).
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד AAA.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ד.

הראו שהצלע ABABAB מאונכת לצלע ACACAC.

ה.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתונים הקודקודים A(0,1)A(0,1)A(0,1) ו-B(6,4)B(6,4)B(6,4). הצלע BCBCBC מאונכת לצלע ABABAB, והקודקוד CCC נמצא על ציר ה-yyy.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 6 · גאומטריה אנליטית: בניית טרפז ישר-זווית ושטחושאלה מלאה · קשה

במרובע ABCDABCDABCD נתון: A(−10,3)A(-10,3)A(−10,3), B(10,8)B(10,8)B(10,8). הצלע BCBCBC מאונכת לצלע ABABAB, והקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

הקודקוד DDD נמצא מתחת לציר ה-xxx, הצלע DCDCDC מאונכת לצלע BCBCBC, ו-DC=BCDC=BCDC=BC.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ג.

מהו סוג המרובע ABCDABCDABCD? פי כמה גדולה הצלע ABABAB מן הצלע DCDCDC?

ד.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 7 · משולש ישר זווית במערכת צירים: נקודת חיתוך ושטחיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקודים AAA ו-CCC מונחים על ציר ה-xxx, כמתואר בסרטוט. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB, והנקודה FFF נמצאת על ציר ה-xxx מתחת ל-EEE (EFEFEF מקביל לציר ה-yyy).
נתון: משוואת הישר ABABAB היא y=x+4y=x+4y=x+4. שיעור ה-yyy של קודקוד BBB הוא 12.
ABCEF

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ב.

נתון: C(20,0)C(20,0)C(20,0).

הראו כי AB⊥BCAB\perp BCAB⊥BC.

ג.

נתון: משוואת הישר ECECEC היא y=−12x+10y=-\frac12x+10y=−21​x+10.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ד.

חשבו את שטח המשולש EBCEBCEBC. (היעזרו בסעיף ב.)

ה.

חשבו את שטח המרובע FEBCFEBCFEBC. (פרקו אותו לשני משולשים.)

שאלה 8 · זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · בינונית

ABCDABCDABCD הוא מלבן (הקודקודים בסדר זה). נתון: A(1,1)A(1,1)A(1,1) ו-B(5,3)B(5,3)B(5,3). הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

חשבו את שטח המלבן ABCDABCDABCD.

שאלה 9 · משולש ישר זווית במערכת צירים: נקודה על צלע לפי יחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC הקודקודים AAA ו-CCC מונחים על ציר ה-xxx, והזווית ABCABCABC ישרה, כמתואר בסרטוט.
נתון: משוואת הישר ABABAB היא y=34x+6y=\frac34x+6y=43​x+6. שיעור ה-xxx של קודקוד BBB הוא 8.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

ב.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB כך ששטח המשולש EBCEBCEBC הוא 34\frac3443​ משטח המשולש ABCABCABC. מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ג.

הנקודה FFF נמצאת על ציר ה-xxx כך שהקטע EFEFEF מקביל לציר ה-yyy. חשבו את שטח המרובע FEBCFEBCFEBC.

ד.

הנקודה PPP נעה על הצלע ABABAB, ו-QQQ היא הנקודה על ציר ה-xxx שעבורה PQPQPQ מקביל לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה שטח המרובע PQCBPQCBPQCB גדול פי 3 משטח המשולש APQAPQAPQ.

שאלה 10 · משולש ישר זווית: מהצלע AB לשטח ולתיכוןשאלה מלאה · קלה

נתון משולש ישר זווית ABCABCABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘). הצלע ABABAB מונחת על הישר y=2x+4y=2x+4y=2x+4. הקדקוד AAA נמצא על ציר ה-xxx, והקדקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy (ראו סרטוט).
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקדקודים AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי שיפוע הישר BCBCBC הוא −12-\frac12−21​, ומצאו את משוואת הישר BCBCBC.

ג.

שיעור ה-xxx של הקדקוד CCC הוא 6.

מצאו את שיעורי הקדקוד CCC.

ד.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ה.

BEBEBE הוא תיכון לצלע ACACAC במשולש ABCABCABC.

מצאו את משוואת התיכון BEBEBE.

עוד 21 שאלות על זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
קודקודי המרובע $ABCD$ הם $A(0,0)$ , $B(6,-2)$ , $C(8,4)$ ו- $D(3,4)$ . הנקודות $K$ , $L$ , $M$ ו- $N$ הן אמצעי הצלעות $AB$ , $BC$ , $CD$ ו- $DA$ …
גאומטריה אנליטית: טרפז עם צלע מאונכת לאלכסון ושוויון שטחים (שאלה מלאה · קשה)
במרובע $ABCD$ הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . $AC$ מאונך ל- $BC$ , והקודקוד $A$ נמצא מעל ציר ה- $x$ . משוואת הישר…
משולש במערכת צירים: קדקודים, משוואת צלע, אנכיות ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש $ABC$ . משוואת הצלע $AC$ היא $y=\frac34x+3$ . משוואת הצלע $AB$ היא $y=-3x+18$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ (ראו סרטוט).
משולש ישר זווית במערכת צירים: נקודה על צלע לפי שטח (שאלה מלאה · קשה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הקודקודים $A$ ו- $C$ נמצאים על ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ היא…
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(4,0)$ , $E(1,2)$ ו- $C(-3,-4)$ .
משולש ישר זווית: קדקוד משטח נתון, תיכון והשלמה למלבן (שאלה מלאה · קשה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $BC$ מונחת על הישר $y=-3x+6$ . הקדקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , הקדקוד $B$ נמצא על ציר…
משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקודקודים $A$ ו- $C$ מונחים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . נתון: משוואת הישר $AB$ היא…
קודקוד רביעי על המשך תיכון וזיהוי המרובע (שאלה קצרה · קשה)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ), שקדקודיו הם $A(-18,0)$ , $B(0,6)$ ו- $C(3,-3)$ . $BE$ הוא תיכון לצלע $AC$ ,…
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $K(-1,2)$ , $L(5,4)$ ו- $M(7,-2)$ .
משולש ישר זווית ושווה שוקיים, וריבוע (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הנקודות $A(2,1)$ ו- $B(8,3)$ והישר $\ell$ : $y=-3x+27$ (ראו סרטוט).
משולש ישר זווית במערכת צירים: ישר מאונך, אמצע קטע ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הקודקודים $A$ ו- $C$ נמצאים על ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ היא…
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $P(-2,1)$ , $Q(2,3)$ ו- $R(5,-3)$ .
משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקודים על שני הצירים, אמצע קטע ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. משוואת…
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש $KLM$ שקודקודיו $K(1,1)$ , $L(5,3)$ , $M(3,7)$ .
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,1)$ , $B(5,3)$ , $C(3,7)$ .
משולש ישר זווית במערכת צירים: קדקודים, שטח ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $BC$ מונחת על ישר שמשוואתו $y=-2x+4$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $B$ …
משולש ישר זווית במערכת צירים: קדקודים, שטח ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הצלע $BC$ מונחת על ישר שמשוואתו $y=-3x+3$ . הקדקוד $A$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקדקוד $B$ …
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $K(-2,1)$ , $L(2,3)$ ו- $M(6,-5)$ .
זיהוי משולש ישר זווית ומרובעים מיוחדים בעזרת שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $P(0,3)$ , $Q(6,0)$ ו- $R(8,4)$ הן שלושה קודקודים של המלבן $PQRS$ .
מלבן, מעוין או ריבוע? זיהוי סוג מקבילית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,2)$ , $B(3,8)$ , $C(9,10)$ ו- $D(7,4)$ . המרובע $ABCD$ הוא מקבילית.
זיהוי דלתון לפי אורכי צלעות ושטחו (שאלת ביניים · בינונית)
במרובע $OABC$ הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ , הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $O$ הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט). האלכסון $AC$ מאונך…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש במערכת צירים: קדקודים, משוואת צלע, אנכיות ושטח · בגרות 372 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתון משולש $ABC$ . משוואת הצלע $AC$ היא $y=-\frac13x-2$ . משוואת הצלע $AB$ היא $y=2x-9$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ (ראו סרטוט).
משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע · בגרות 372 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
במשולש $ABC$ הקודקודים $A$ ו- $C$ מונחים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . נתון: משוואת הישר $AB$ היא $y=\frac12x+3$ . שיעור ה- $y$ של…
משולש ישר זווית במערכת צירים: ישר מאונך, אמצע קטע ושטח · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
נתון משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ). הקודקודים $A$ ו- $C$ נמצאים על ציר ה- $y$ , כמתואר בסרטוט. משוואת הצלע $AB$ היא $y=-\frac45x+24$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מקבילית במערכת צירים: הקודקוד הרביעי ומלבן (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $O(0,0)$ , $A(6,2)$ ו- $C(-1,3)$ הן שלושה קודקודים של המקבילית $OABC$ .