שאלות פתוחות: בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלי - כיתה י"ב 3 יח"ל

בניית מבנה מתרשים מבטים לכיתה י"ב, 3 יחידות: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלי. בשאלות נתונים שניים או שלושה מבטים של מבנה - לפעמים רק המבט מלמעלה עם שמות לעמודות - והתלמידים מוצאים כמה קוביות לכל הפחות ולכל היותר יכולות להיות בו, ומסרטטים מבנה מתאים. ההקשרים כוללים דגם של מרכז קהילתי ודגם עתיק מכוסה ביריעה שיש לו רק שני מבטים בתיק. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה, ויש גם קלה. אפשר לבנות מכאן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים.

28 שאלותקלה: 2בינונית: 11קשה: 15

שאלה 1 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · קלה

מבנה בנוי מקוביות זהות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם המבט מלמעלה של המבנה:
aaabbb
222■■
111■■
בטבלה של המבט מלמעלה ■ מסמן משבצת שיש עליה קוביות. השורה התחתונה בטבלה (שורה 111) היא הקרובה למבט מלפנים, והעמודה aaa היא השמאלית.
המבט מלפנים (גובהי העמודות משמאל לימין): 2, 22,\ 22, 2.
המבט מימין (גובהי העמודות משמאל לימין, כלומר מהשורה הקדמית אל השורה האחורית): 2, 22,\ 22, 2.
בסרטוט: הציור השמאלי הוא המבט מלפנים, והציור הימני הוא המבט מימין.

	$a$	$b$
$2$	■	■
$1$	■	■

א.

מצאו את מספר הקוביות המינימלי שיכול להיות במבנה, וסרטטו תרשים מספרים של מבנה כזה.

ב.

כמה תרשימי מספרים שונים מתאימים למבנה עם מספר הקוביות המינימלי? נמקו.

שאלה 2 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · בינונית

מבנה בנוי מקוביות זהות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם המבט מלמעלה של המבנה:
aaabbbccc
333■■■
222■■■
111■■■
בטבלה של המבט מלמעלה ■ מסמן משבצת שיש עליה קוביות. השורה התחתונה בטבלה (שורה 111) היא הקרובה למבט מלפנים, והעמודה aaa היא השמאלית.
המבט מלפנים (גובהי העמודות משמאל לימין): 3, 1, 23,\ 1,\ 23, 1, 2.
המבט מימין (גובהי העמודות משמאל לימין, כלומר מהשורה הקדמית אל השורה האחורית): 2, 3, 12,\ 3,\ 12, 3, 1.
בסרטוט: הציור השמאלי הוא המבט מלפנים, והציור הימני הוא המבט מימין.

	$a$	$b$	$c$
$3$	■	■	■
$2$	■	■	■
$1$	■	■	■

א.

מצאו את מספר הקוביות המינימלי שיכול להיות במבנה, וסרטטו תרשים מספרים של מבנה כזה.

ב.

מצאו את מספר הקוביות המקסימלי שיכול להיות במבנה.

שאלה 3 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · קשה

מבנה בנוי מקוביות זהות. לבסיס המבנה 222 שורות ו-333 עמודות, וכל ריבוע בבסיס תפוס. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. במבט מלפנים גובהי העמודות, משמאל לימין, הם 1,  3,  21,\;3,\;21,3,2. במבט מימין (משמאל לימין, כפי שרואה אותן מי שעומד מימין למבנה) גובהי העמודות הם 2,  32,\;32,3.
מבט מלפניםמבט מימין

א.

מצאו את מספר הקוביות הקטן ביותר האפשרי במבנה, ורשמו תרשים מספרים של מבנה כזה.

ב.

מצאו את מספר הקוביות הגדול ביותר האפשרי במבנה.

שאלה 4 · המספר המרבי של קוביות במבנה לפי שלושה מבטיםשאלה קצרה · קלה

מבנה בנוי מקוביות זהות ועומד על משטח של 3×33\times33×3 משבצות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם שלושה מבטים של המבנה.
מבט מלמעלה
מבט מלפנים
מבט מימין

מצאו את מספר הקוביות המרבי במבנה שמתאים לשלושת המבטים, ורשמו את תרשים המספרים שלו.

שאלה 5 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · בינונית

מבנה בנוי מקוביות זהות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. המבנה עומד על משטח של 3×33\times33×3 משבצות, וייתכן שחלק מהמשבצות ריקות. לפניכם המבט מלפנים והמבט מימין של המבנה:
מבט מלפניםמבט מימין
במבט מלפנים גובהי העמודות משמאל לימין הם 2, 4, 12,\ 4,\ 12, 4, 1. במבט מימין גובהי העמודות משמאל לימין, כלומר מהשורה הקדמית אל השורה האחורית, הם 3, 1, 43,\ 1,\ 43, 1, 4.
נסמן את העמודות aaa, bbb, ccc משמאל לימין (כפי שרואים אותן מלפנים) ואת השורות 111 (הקדמית), 222, 333 (האחורית).

א.

יואב טוען שבמבנה 999 קוביות. האם יואב יכול לצדוק? נמקו.

ב.

מיכל טוענת שבמבנה 161616 קוביות. האם מיכל יכולה לצדוק? אם כן - סרטטו תרשים מספרים של מבנה כזה, אם לא - נמקו.

שאלה 6 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · קשה

מאיה בנתה מקוביות זהות דגם של מרכז קהילתי. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם המבט מלמעלה של הדגם:
aaabbbccc
333■■
222■■■
111■■
בטבלה של המבט מלמעלה ■ מסמן משבצת שיש עליה קוביות. השורה התחתונה בטבלה (שורה 111) היא הקרובה למבט מלפנים, והעמודה aaa היא השמאלית.
המבט מלפנים (גובהי העמודות משמאל לימין): 3, k, 23,\ k,\ 23, k, 2, כאשר kkk הוא הגובה של העמודה האמצעית.
המבט מימין (גובהי העמודות משמאל לימין, כלומר מהשורה הקדמית אל השורה האחורית): 1, 3, 21,\ 3,\ 21, 3, 2.
מאיה בנתה את הדגם עם מספר הקוביות הגדול ביותר שמתאים לשלושת המבטים, והשתמשה ב-131313 קוביות.

	$a$	$b$	$c$
$3$	■	■
$2$	■	■	■
$1$	■		■

א.

מצאו את kkk.

ב.

עבור הערך של kkk שמצאתם בסעיף א', מצאו את מספר הקוביות הקטן ביותר שאפשר לבנות ממנו דגם שמתאים לשלושת המבטים.

שאלה 7 · בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלישאלה קצרה · בינונית

בארכיון של מוזיאון נמצא דגם עתיק מקוביות אבן זהות, מכוסה ביריעה. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. בתיק של הדגם יש רק שלושה סרטוטים: מלמעלה רואים שכל 999 המשבצות של משטח בגודל 3×33\times33×3 תפוסות; במבט מלפנים גובהי העמודות משמאל לימין הם 3, 1, 23,\ 1,\ 23, 1, 2; במבט מימין גובהי העמודות משמאל לימין, כלומר מהשורה הקדמית אל השורה האחורית, הם 1, 3, 21,\ 3,\ 21, 3, 2.
מבט מלפניםמבט מימיןמבט מלמעלה
נסמן את העמודות aaa, bbb, ccc משמאל לימין (כפי שרואים אותן מלפנים) ואת השורות 111 (הקדמית), 222, 333 (האחורית).

בכמה מן המשבצות אפשר לדעת בוודאות כמה קוביות יש, בלי להרים את היריעה? ציינו את המשבצות האלה ואת מספר הקוביות בכל אחת מהן, ונמקו.

שאלה 8 · מבנה קוביות: שלושה מבטים, המבנה המרבי והמבנה המזערישאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלהלן מתואר מבנה מקוביות הניצב על משטח.
החץ בסרטוטים שבשאלה מייצג את המבט מלפנים.
נתון שכל קובייה בסרטוט מונחת על קובייה אחרת או על המשטח.
מלפנים
בתרשים המספרים ובמבט מלמעלה השורה התחתונה היא השורה הקדמית - הקרובה לחץ.
המבט מצד ימין הוא המבט על המבנה מהצד הימני שלו (מימין למי שעומד מול החץ).

א.

מלאו את תרשים המספרים של המבנה.

ב.

סרטטו את המבט מלפנים ואת המבט מצד ימין של המבנה.

ג.

מהו המספר הגדול ביותר של קוביות שאפשר להוסיף למבנה כך ששלושת המבטים - מלפנים, מלמעלה ומצד ימין - לא ישתנו?

ד.

מהו המספר הקטן ביותר של קוביות במבנה שיש לו אותו מבט מלפנים, אותו מבט מלמעלה ואותו מבט מצד ימין?

שאלה 9 · ראייה מרחבית: מספר הקוביות המרבי והמזערי לפי מבטיםשאלה מלאה · בינונית

מבנה בנוי מקוביות זהות ועומד על משטח של 3×33\times33×3 משבצות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם שלושה מבטים של המבנה.
מבט מלמעלה
מבט מלפנים
מבט מימין

א.

מצאו את מספר הקוביות המרבי במבנה שמתאים לשלושת המבטים, ורשמו את תרשים המספרים שלו.

ב.

מצאו את מספר הקוביות המזערי במבנה שמתאים לשלושת המבטים. נמקו.

ג.

סרטטו את המבט משמאל של המבנה.

שאלה 10 · ראייה מרחבית: מבנה הקוביות הגדול ביותר והקטן ביותר לפי שלושה מבטיםשאלה מלאה · קשה

לפניכם תרשים מבטים של מבנה קוביות זהות הניצבות על משטח. כל קובייה עומדת על קובייה אחרת או על המשטח.
במבט מימין, השורה הקדמית של המבנה מופיעה בצד שמאל.
מבט מלמעלהמבט מלמעלה
מבט מלפניםמבט מלפנים
מבט מימיןמבט מימין

א.

מהו מספר הקוביות הגדול ביותר שיכול להיות במבנה שמתאים לשלושת המבטים? רשמו את התרשים המספרי של מבנה כזה.

ב.

מהו מספר הקוביות הקטן ביותר שיכול להיות במבנה שמתאים לשלושת המבטים? רשמו את התרשים המספרי של מבנה כזה.

ג.

המבנה שבסרטוט שלפניכם מתאים לתרשים המבטים. החץ מייצג את המבט מלפנים.
מלפנים

כמה קוביות לכל היותר אפשר להוציא מן המבנה שבסרטוט בלי לשנות אף אחד משלושת המבטים? נמקו.

ד.

כמה מבנים שונים מתאימים לתרשים המבטים?

עוד 16 שאלות על בניית מבנה מתרשים מבטים: מספר הקוביות המינימלי והמקסימלי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ראייה מרחבית: שלושה מבנים, מבט מלמעלה ותרשים מספרים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוטים שלפניכם מתוארים שלושה מבנים מקוביות זהות. החץ בכל סרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה…
מבנה קוביות: מקסימום ומינימום לפי מבטים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מבנה מקוביות (ראו ציור). החץ שבציור מציין את כיוון המבט מלפנים.
ראייה מרחבית: שלושה מבנים, מבט מלמעלה ותרשים מספרים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוטים שלפניכם מתוארים שלושה מבנים מקוביות זהות. החץ בכל סרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה…
מבנה מקוביות: המספר הגדול והקטן ביותר של קוביות לפי שני מבטים (שאלה מלאה · קשה)
מבנה מקוביות זהות עומד על משטח של 2 שורות (קדמית ואחורית) ו-3 עמודות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם שני מבטים של…
מבני קוביות: איזה מבנה מתאים לתרשים המבטים (שאלה מלאה · בינונית)
מבנה משרדים בנוי מקוביות זהות. לפניכם תרשים המבטים של המבנה (מבט מלפנים, מבט מימין, מבט מלמעלה): לפניכם שלושה מבנים: ציור של כל מבנה (החץ…
ראייה מרחבית: מבנה ממבטים - מספר קוביות מרבי ומזערי (שאלה מלאה · קשה)
מבנה מקוביות זהות מונח על משטח של 2 שורות (דרום מלפנים, צפון מאחור) ו-4 עמודות (ממערב למזרח). כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.…
המספר המזערי של קוביות לפי מבט מלפנים ומבט מימין (שאלה קצרה · בינונית)
מבנה מקוביות זהות עומד על משטח של 2 שורות (קדמית ואחורית) ו-3 עמודות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם שני מבטים של…
ראייה מרחבית: הוספה והורדה של קוביות בלי לשנות מבטים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. המבנה…
מבנה לפי מבט מלפנים ומבט מימין: מרבי, מזערי ומספרי קוביות אפשריים (שאלת ביניים · בינונית)
לפניכם המבט מלפנים והמבט מימין של מבנה שבנוי מקוביות על משטח של $3\times3$ משבצות (המבט מלמעלה אינו ידוע, וייתכנו משבצות ריקות). במבט מימין…
ראייה מרחבית: מבנים לפי מבטים - מינימום, מקסימום ויחידות (שאלה מלאה · קשה)
מבנה מקוביות זהות מונח על משטח של $3\times3$ משבצות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם המבט מלמעלה והמבט מלפנים של המבנה.
ראייה מרחבית: מספר הקוביות המרבי והמזערי משלושה מבטים (שאלה מלאה · קשה)
מבנה בנוי מקוביות זהות על משטח של 3 משבצות לרוחב ו-2 לעומק. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. נתונים שלושה מבטים של המבנה: ייתכנו…
בניית מבנה משני מבטים: מספר מזערי ומרבי של קוביות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם המבט מלפנים והמבט מימין של מבנה שבנוי מקוביות על משטח של $3\times3$ משבצות (המבט מלמעלה אינו ידוע, וייתכנו משבצות ריקות). במבט מימין…
ממבטים למבנה: מספר קוביות מרבי ומזערי ומספר המבנים (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם שלושה מבטים של מבנה שבנוי מקוביות: מבט מלפנים, מבט מימין ומבט מלמעלה. במבט מלמעלה כל 9 המשבצות מלאות. במבט מלפנים העמודות (משמאל…
מבני קוביות: מספר הקוביות המרבי והמזערי לפי מבטים (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם תרשים המבטים של מבנה קוביות (מבט מלפנים, מבט מימין, מבט מלמעלה). אין קוביות "תלויות באוויר": כל קובייה מונחת על הרצפה או על קובייה…
המבנה המזערי היחיד שמתאים לשלושה מבטים (שאלה קצרה · קשה)
מבנה מקוביות זהות מונח על משטח של $3\times3$ משבצות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם המבט מלמעלה והמבט מלפנים של המבנה.
מבנה לפי שלושה מבטים: מרבי, מזערי ומספר המבנים בני 10 קוביות (שאלת ביניים · קשה)
מבנה בנוי מקוביות זהות על משטח של 3 משבצות לרוחב ו-2 לעומק. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. נתונים שלושה מבטים של המבנה: ייתכנו…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ראייה מרחבית: שלושה מבנים, מבט מלמעלה ותרשים מספרים · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 6
בסרטוטים שלפניכם מתוארים שלושה מבנים מקוביות זהות. החץ בכל סרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם תרשימים…
מבני קוביות: התאמה בין תרשים מבטים למבנים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 372, שאלה 6
במבנה הבנוי מדירות, נייצג כל דירה באמצעות קובייה. לפניך תרשים המבטים של המבנה (מבט מלפנים, מבט מימין, מבט מלמעלה): לפניך שלושה מבנים. לכל מבנה מוצגים ציור של…