שאלות פתוחות: ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרות - כיתה י"ב 3 יח"ל

ספירת קוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרות - לכיתה י"ב 3 יחידות. השאלות כוללות קובייה גדולה מ-64 קוביות קטנות שנצבעה מבחוץ, ושואלות לכמה קוביות יש פאה צבועה אחת, שתיים או אף אחת; פירמידה של שלוש שכבות; ערימת ארגזים במחסן שמספר השכבות שלה לא ידוע; ומבנים שמתוארים בתרשים מספרים. התלמידים מבחינים בין קוביות שרואים לבין קוביות שמוסתרות לגמרי. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לשלב אותן בדף עבודה על ראייה מרחבית או בבוחן, עם פתרונות מלאים.

45 שאלותקלה: 19בינונית: 22קשה: 4

שאלה 1 · ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרותשאלה קצרה · קלה

אמן בנה קובייה גדולה שאורך מקצועה 444 ס"מ מ-646464 קוביות עץ קטנות שאורך מקצוע כל אחת 111 ס"מ. הוא צבע את כל הפאות החיצוניות של הקובייה הגדולה, ואחר כך פירק אותה.

א.

בכמה מן הקוביות הקטנות אין צבע כלל?

ב.

בכמה מן הקוביות הקטנות צבועה לפחות פאה אחת?

שאלה 2 · ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרותשאלה קצרה · בינונית

בבית ספר בנו מקוביות זהות פירמידה של שלוש שכבות: השכבה התחתונה ריבוע של 5×55\times55×5 קוביות, עליה, בדיוק במרכז, ריבוע של 3×33\times33×3 קוביות, ועליו, במרכז, קובייה אחת (ראו סרטוט). הפירמידה עומדת על הרצפה. קובייה נקראת "מוסתרת" אם כל אחת מפאותיה נוגעת בקובייה אחרת או ברצפה, כך שאי אפשר לראות אותה מאף כיוון.

כמה קוביות מוסתרות יש בפירמידה? נמקו.

שאלה 3 · ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרותשאלה קצרה · קשה

במחסן ערמו ארגזים זהים בצורת קובייה לגוש מלא בצורת תיבה: בחזית הגוש 555 ארגזים לאורך, ולעומק הגוש 444 ארגזים. מספר השכבות (הגובה) אינו ידוע. מחסנאי מסתכל על הגוש מנקודה שנמצאת מלפנים, מימין ומעט מלמעלה, כך שהוא רואה את החזית, את הצד הימני ואת החלק העליון של הגוש. 242424 ארגזים בגוש אינם נראים לו כלל.

מצאו כמה שכבות יש בגוש, וכמה ארגזים יש בו.

שאלה 4 · מתרשים מספרים למבטים: הוספת קובייהשאלה מלאה · קלה

לפניכם תרשים המספרים של מבנה מקוביות הניצב על משטח. כל מספר מציין כמה קוביות יש בערימה שעומדת על המשבצת. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה למי שמסתכל על המבנה מלפנים).
1221321מבט מלמעלה

א.

כמה קוביות יש במבנה?

ב.

סרטטו את המבט מלפנים של המבנה.

ג.

סרטטו את המבט מלמעלה של המבנה.

ד.

האם אפשר להוסיף קובייה למבנה כך שגם המבט מלמעלה וגם המבט מלפנים לא ישתנו? אם כן - תנו דוגמה לתרשים מספרים כזה. אם לא - נמקו.

שאלה 5 · ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרותשאלה קצרה · בינונית

מבנה בנוי מקוביות זהות ועומד על הרצפה. כל קובייה במבנה מונחת על הרצפה או על קובייה אחרת. לפניכם תרשים המספרים של המבנה: כל מספר הוא מספר הקוביות בערימה שעל המשבצת, והשורה התחתונה בטבלה היא הקרובה למבט מלפנים.
222333333111
333444333222
111333222222
המבנה נצבע מבחוץ (כל הפאות הנראות נצבעו, אבל לא הפאות שנוגעות ברצפה), ואחר כך פורק.

$2$	$3$	$3$	$1$
$3$	$4$	$3$	$2$
$1$	$3$	$2$	$2$

בכמה מן הקוביות אין צבע כלל? נמקו.

שאלה 6 · ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרותשאלה קצרה · קשה

קובייה גדולה ומלאה בנויה מקוביות קטנות וזהות, והיא עומדת על הרצפה. קובייה קטנה נקראת "מוסתרת" אם כל אחת מפאותיה נוגעת בקובייה אחרת או ברצפה, כך שאי אפשר לראות אותה מאף כיוון. בקובייה הגדולה יש 363636 קוביות קטנות מוסתרות.

מכמה קוביות קטנות בנויה הקובייה הגדולה? נמקו.

שאלה 7 · ראייה מרחבית: מתרשים מספרים למבטיםשאלה מלאה · קלה

לפניכם תרשים מספרים של מבנה מקוביות שעומד על משטח של 3×33\times33×3 משבצות (המספר בכל משבצת הוא מספר הקוביות שבה). השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית, הקרובה למי שמסתכל על המבנה מלפנים.
1212131מבט מלמעלה

א.

סרטטו מבט מלמעלה של המבנה.

ב.

סרטטו מבט מלפנים של המבנה.

ג.

כמה קוביות יש במבנה?

ד.

האם אפשר להוריד מן המבנה קובייה אחת כך שהמבט מלמעלה והמבט מלפנים לא ישתנו? אם כן - מאיזו משבצת? נמקו.

שאלה 8 · ראייה מרחבית: תרשים מספרי ומבטים של מבנה קוביות, והתאמת מבנים לתרשים מבטיםשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט I שלפניכם ובסרטוט II שבסוף השאלה מתוארים מבנים של קוביות זהות הניצבות על משטח.
החץ מייצג את המבט מלפנים.
הניחו שכל קובייה בסרטוט עומדת על קובייה אחרת או על המשטח.
סרטוט I:
מלפנים

א.

(1)

רשמו את התרשים המספרי של המבנה בסרטוט I, וסרטטו את תרשימי המבטים המתאימים לו (מבט מלמעלה, מבט מלפנים, מבט מימין).

(2)

כמה קוביות יש במבנה שבסרטוט I?

ב.

לפניכם תרשים מבטים של מבנה קוביות:
מבט מלמעלהמבט מלמעלה
מבט מלפניםמבט מלפנים
מבט מימיןמבט מימין
סרטוט II:
(1)
מלפנים
(2)
מלפנים
(3)
מלפנים

בסרטוט II שלפניכם, קבעו אילו מן המבנים (1)-(3) אינם מתאימים לתרשים המבטים.
נמקו את קביעתכם - רשמו את המבט שאינו מתאים למבנה.

שאלה 9 · ראייה מרחבית: מבנה ממבטים - מספר קוביות מרבי ומזערישאלה מלאה · קשה

מבנה מקוביות זהות מונח על משטח של 2 שורות (דרום מלפנים, צפון מאחור) ו-4 עמודות (ממערב למזרח). כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
בכל אחת מ-8 המשבצות של המשטח יש לפחות קובייה אחת.
לפניכם המבט מלפנים (מצד דרום) והמבט מימין (מצד מזרח) של המבנה.
מבט מלפניםמבט מימין

א.

מהו המספר הגדול ביותר של קוביות שיכול להיות במבנה? סרטטו תרשים מספרים של מבנה כזה.

ב.

מהו המספר הקטן ביותר של קוביות שיכול להיות במבנה? תנו דוגמה לתרשים מספרים.

ג.

בונים את המבנה בעל מספר הקוביות הגדול ביותר (סעיף א). המבנה הוא מודל לבניין דירות: כל קובייה היא דירה, בכל קיר חיצוני של דירה יש חלון אחד בדיוק, ובשאר הקירות אין חלונות.

לכמה דירות יש חלון הפונה למזרח, ולכמה דירות יש חלון הפונה לצפון?

ד.

אילו מספרי קוביות אפשריים במבנה שמתאים לשני המבטים (כשכל משבצת מכוסה)? נמקו.

שאלה 10 · ראייה מרחבית: מתרשים מספרי למבטים, ובחירת מבנה מתאיםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה של קוביות זהות הניצבות על משטח. החץ מייצג את המבט מלפנים.
הניחו שכל קובייה בסרטוט עומדת על קובייה אחרת או על המשטח.
מלפנים

א.

רשמו את התרשים המספרי של המבנה.

ב.

כמה קוביות יש במבנה?

ג.

סרטטו את המבט מלפנים ואת המבט מימין של המבנה. במבט מימין, השורה הקדמית של המבנה מופיעה בצד שמאל.

ד.

לפניכם תרשים מבטים של מבנה קוביות, ושני מבנים, (1) ו-(2):
מבט מלמעלהמבט מלמעלה
מבט מלפניםמבט מלפנים
מבט מימיןמבט מימין
(1)
מלפנים
(2)
מלפנים

אחד מן המבנים (1), (2) מתאים לתרשים המבטים. קבעו איזה, ורשמו איזה מבט אינו מתאים למבנה האחר.

עוד 27 שאלות על ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מבנים מקוביות: מבט מלפנים, מבט מימין ותרשים מספרים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוטים שלפניכם מתוארים שני מבנים מקוביות זהות. החץ בסרטוטים מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם…
מידות תיבת קוביות משלושה מבטים וספירת קוביות מוסתרות (שאלת ביניים · קשה)
מבנה בצורת תיבה מלאה בנוי מקוביות זהות ועומד על הרצפה. במבט מלפנים רואים מלבן שבנוי מ- $20$ ריבועים, במבט מימין רואים מלבן שבנוי מ- $16$ …
מבנה קוביות קטן: ספירה, תרשים ומבטים (שאלה מלאה · קלה)
נתון מבנה מקוביות שבנוי על בסיס של $2\times3$ משבצות (שתי שורות ושלוש עמודות). החץ שבציור נותן מבט מלפנים של המבנה.
ראייה מרחבית: מבנה קוביות, מבטים וחלונות למערב (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. בסרטוט מסומנים…
מבנה מקוביות: מתרשים מספרים למבטים ולנפח (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם תרשים המספרים של מבנה מקוביות זהות: בכל משבצת של המשטח רשום מספר הקוביות שעליה. המבנה עומד על משטח של 2 שורות (קדמית ואחורית) ו-3…
מבני קוביות: מבטים ותרשים מספרים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוטים שלפניכם מתוארים מבנים מקוביות: מבנה 1 ומבנה 2. החץ בסרטוטים מייצג את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.…
מבנה קוביות: תרשים מספרים, ספירה ומבטים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות. החץ בסרטוט מייצג את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
ראייה מרחבית: שני מבני קוביות, תרשים מספרים ומבטים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני מבנים הבנויים מקוביות זהות, מבנה א' ומבנה ב'. בכל אחד מן המבנים החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנים…
ראייה מרחבית: מבנה קוביות - תרשים מספרים ומבטים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה הבנוי מקוביות זהות, העומד על משטח של $3\times3$ משבצות. החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה מונחת על המשטח…
ראייה מרחבית: מספר הקוביות המרבי והמזערי לפי מבטים (שאלה מלאה · בינונית)
מבנה בנוי מקוביות זהות ועומד על משטח של $3\times3$ משבצות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם שלושה מבטים של המבנה.
ראייה מרחבית: תרשים מספרים ומבט מלפנים של מבנה אחד (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות, המונח על משטח של $3\times3$ משבצות. החץ מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה מונחת על המשטח או…
ראייה מרחבית: שני מבני קוביות, תרשים מספרים ומבטים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני מבנים הבנויים מקוביות זהות, מבנה א' ומבנה ב'. בכל אחד מן המבנים החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנים…
ראייה מרחבית: מתרשים מספרים למבט ולהורדת קוביות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה הבנוי מקוביות זהות, ומתחתיו תרשים המספרים שלו (המבט מלמעלה; בכל משבצת - מספר הקוביות בעמודה, והשורה התחתונה היא…
ראייה מרחבית: שלושה מבנים והשוואת מבטים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה I הבנוי מקוביות זהות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
ראייה מרחבית: תרשים מספרים, ספירה ומבט מלפנים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות, המונח על משטח של $3\times3$ משבצות. החץ מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על…
ראייה מרחבית: שלושה מבנים, השוואת מבטים והשלמת מבט מלפנים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה I הבנוי מקוביות זהות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
ראייה מרחבית: ספירת קוביות ומבטים של מבנה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
מבני קוביות: תרשים מספרי ומבטים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם שני מבנים הבנויים מקוביות. המבנה הראשון: המבנה השני:
ראייה מרחבית: מבנה קטן ותרשים מספרים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות, על משטח של $3\times3$ משבצות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת…
מבני דירות מקוביות: תרשים מספרי ומבטים (מבנים אחרים) (שאלה מלאה · בינונית)
במבנה הבנוי מדירות, נייצג כל דירה באמצעות קובייה. לפניכם שני מבנים של דירות (החץ מצביע על כיוון ההסתכלות מלפנים). מבנה ראשון: מבנה שני:
ראייה מרחבית: מבנה קוביות והשלמה לקובייה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מבנה הבנוי מקוביות זהות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
ספירת קוביות במדרגות וקוביות שלא נצבעו (שאלת ביניים · בינונית)
מדרגות בנויות מקוביות זהות, והן צמודות בגבן לקיר (ראו סרטוט; החץ מסמן את המבט מלפנים). רוחב המדרגות $3$ קוביות. המדרגה הקדמית בגובה של…
ראייה מרחבית: מבנה קטן, ספירה ומבט מימין (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
מבנה קוביות: ספירה ומבטים (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם מבנה הבנוי מקוביות. התרשים המספרי שלו (מספר הקוביות בכל משבצת, השורה העליונה היא השורה האחורית) נתון בטבלה.
מבנה קוביות: תרשים מספרי, ספירה ומבטים (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם מבנה שבנוי מקוביות (החץ מצביע על כיוון ההסתכלות מלפנים). אין במבנה קוביות מוסתרות.
מבני קוביות: ספירה ומבטים מתרשים מספרים (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם מבנה קוביות ותרשים המספרים שלו (מספר הקוביות בכל עמודה במבט מלמעלה; השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית):
ספירת הקוביות במבנה, כולל קוביות מוסתרות (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה של קוביות זהות הניצבות על משטח. החץ מייצג את המבט מלפנים. הניחו שכל קובייה בסרטוט עומדת על קובייה אחרת או על…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ראייה מרחבית: תרשים מספרי ומבטים של מבנה קוביות, והתאמת מבנים לתרשים מבטים · בגרות 372 חורף 2022, שאלה 5
בסרטוט I שלפניך ובסרטוט II שבסוף השאלה מתוארים מבנים של קוביות זהות הניצבות על משטח. החץ מייצג את המבט מלפנים. הנח שכל קובייה בסרטוט עומדת על קובייה אחרת או על…
מבנים מקוביות: מבט מלפנים, מבט מימין ותרשים מספרים · בגרות 372 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
בסרטוטים שלפניכם מתוארים שני מבנים מקוביות זהות. החץ בסרטוטים מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. לפניכם תרשימים המייצגים שני…
ראייה מרחבית: מבנה קוביות, מבטים וחלונות · בגרות 372 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. בסרטוט מסומנים הכיוונים: דרום - בצד…
מבני קוביות: מבטים ותרשים מספרים · בגרות 372 חורף 2023, שאלה 5
בסרטוטים שלפניכם מתוארים מבנים מקוביות: מבנה 1 ומבנה 2. החץ בסרטוטים מייצג את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. התרשים שלפניכם…
ראייה מרחבית: שני מבני קוביות, תרשים מספרים ומבטים · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני מבנים הבנויים מקוביות זהות, מבנה א' ומבנה ב'. בכל אחד מן המבנים החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנים מונחת על משטח או על…
ראייה מרחבית: שלושה מבנים של קוביות · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה I הבנוי מקוביות זהות. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
מבני דירות מקוביות: תרשים מספרי ומבטים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 372, שאלה 6
במבנה הבנוי מדירות, נייצג כל דירה באמצעות קובייה. לפניך מבנים של דירות. המבנה הראשון: (במבנה הראשון, מאחורי העמודה האמצעית שבשורה הקדמית, במשבצת האמצעית, עומדת…
מבני דירות מקוביות: תרשים מספרי ומבטים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 372, שאלה 6
במבנה הבנוי מדירות, נייצג כל דירה באמצעות קובייה. לפניכם מבנים של דירות (החץ מצביע על כיוון ההסתכלות מלפנים). מבנה ראשון: (במבנה הראשון, מאחורי הקובייה האמצעית…