מבחן לדוגמה: מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו סרטוט).

בסרטוט שלפניכם מקבילון $ABCDA'B'C'D'$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$. נתון: $|\underline u|=4$, $|\underline v|=2$, $|\underline w|=3$, $\angle BAD=90^\circ$, $\angle BAA'=60^\circ$, $\angle DAA'=120^\circ$. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CC'$.

נתונים שני וקטורים $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$ שאינם וקטורי האפס. נתון: $|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|$ ו-$|\vec{v}|=4$.

נתונים הווקטורים $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$. נתון: $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=3$, והזווית ביניהם $60^\circ$. $t$ הוא מספר ממשי שעבורו $|\vec{u}+t\vec{v}|=\sqrt{7}$.

נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $CC'$, והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD'$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$, $\vec{AA'}=\underline{w}$. נתון: $|\underline{u}|=2$, $|\underline{v}|=1$, $|\underline{w}|=2$.

נתון: $\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, $\overrightarrow{AE}=\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)$, $\overrightarrow{CF}=\frac12\underline w$, ו-$EF\parallel AC$, כלומר $EACF$ הוא טרפז שבסיסיו $EF$ ו-$AC$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו-$\angle BAD=60^\circ$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$. $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$. המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה, $\angle BAC=90^\circ$ ו-$AB=AC=12$. הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$. הנקודה $M$ נמצאת על הקטע $ED$ כך ש-$\overrightarrow{AM}$ מאונך ל-$\overrightarrow{ED}$. נסמן $\overrightarrow{EM}=t\cdot\overrightarrow{ED}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AE}=\underline{w}$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$. המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AC}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$. נתון: $|\underline u|=|\underline v|=3$, $|\underline w|=4$, $\angle BAC=120^\circ$.