מבחן לדוגמה: וקטורים בהצגה אלגברית - כיתה י"ב 4 יח"ל

$SABCD$ היא פירמידה ישרה שבסיסה הריבוע $ABCD$. אורך צלע הבסיס הוא $6\sqrt2$, ואורך כל מקצוע צדדי הוא $10$. הפירמידה ממוקמת במערכת צירים כך שמרכז הבסיס $O$ (נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע) הוא ראשית הצירים, הבסיס מונח במישור $xy$, הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$y$, ושיעור ה-$z$ של הקודקוד $S$ חיובי.

התיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסרטוט ממוקמת במערכת צירים כך שמקצועותיה מקבילים לצירים והבסיס $ABCD$ מונח במישור $xy$. נתון: $A(2,1,0)$, $\overrightarrow{AB}=4\hat{i}$, $\overrightarrow{AD}=3\hat{j}$, $\vec{AA'}=5\hat{k}$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$. הנקודה $D$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}$. הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש-$\overrightarrow{EM}=\frac56\overrightarrow{ED}$. המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון: $\angle BAC=90^\circ$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AE}=\underline{w}$.

נתון: $|\underline{u}|=6$, $|\underline{v}|=3$, $|\underline{w}|=6$.

נתונות שלוש נקודות: $A(6,-2,6)$, $B(3,1,3)$, $C(6,4,-2)$.

בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(3,3,6)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,1,0)$, $B(5,1,0)$, $C(5,5,0)$, $D(1,5,0)$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה הוא המקבילית ABCD.

הנקודה K נמצאת על המקצוע SC, והנקודה L נמצאת על המקצוע SD.

נתון: $\overrightarrow{SK}=\frac23\overrightarrow{SC}$, $\overrightarrow{SL}=\frac23\overrightarrow{SD}$. ידוע כי $\overrightarrow{KL}=-\frac23\overrightarrow{DC}$.

נתון: $C(8,13,1)$, $D(-1,10,1)$, $K(6,11,4)$, $A(2,1,1)$.

בפירמידה הישרה $SABCD$ נתונים קודקודי הבסיס $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(4,4,0)$, $D(0,4,0)$ והקודקוד $S(2,2,4)$.

תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$, $C$, $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-$x$, של ציר ה-$y$ ושל ציר ה-$z$ בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: $AD=2$, $DC=6$, $DD'=4$.

הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת $\overrightarrow{CE}=\frac34\vec{CC'}$, הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $DD'$, והנקודה $K$ היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה $BB'C'C$.