שאלות פתוחות: וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים פרמטר כך ששלוש נקודות יהיו על ישר אחד, מוצאים נקודה על ציר ה-z שנמצאת על הישר העובר דרך שתי נקודות, ומוצאים קודקוד של טרפז במישור xz לפי התנאי שבסיסיו מקבילים. יש גם שאלות על תיבה שממוקמת עם קודקוד בראשית הצירים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. זה מקבץ קטן שאפשר לשלב ממנו שאלות במבחן או בבוחן, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

16 שאלותקלה: 4בינונית: 9קשה: 3

שאלה 1 · וקטורים קולינאריים בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,1,5)B(3,1,5)B(3,1,5), C(k,3,11)C(k,3,11)C(k,3,11), כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את ערך kkk שעבורו שלוש הנקודות אינן קובעות מישור.

ב.

עבור ערך kkk שמצאתם, קבעו איזו מהנקודות נמצאת בין שתי האחרות, ומצאו את היחס AB:BCAB:BCAB:BC.

שאלה 2 · וקטורים קולינאריים בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז שבו AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC. נתון: A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0), B(3,1,2)B(3,1,2)B(3,1,2), C(5,−4,3)C(5,-4,3)C(5,−4,3), והקודקוד DDD נמצא במישור xzxzxz.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ב.

הראו כי המרובע ABCDABCDABCD אינו מקבילית.

שאלה 3 · תיבה במערכת צירים: מקבילית עם נקודה משתנהשאלה מלאה · קשה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: DC=5DC=5DC=5, AD=4AD=4AD=4, נפח התיבה הוא 120.
הנקודה FFF נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ ומקיימת DF→=13DD′→\overrightarrow{DF}=\frac13\vec{DD'}DF=31​DD′. הנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′, ו-ttt הוא שיעור ה-zzz שלה. הנקודה MMM מקיימת: המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.
yzABCDA'B'C'D'EFKx

א.

מצאו את שיעורי הנקודות FFF ו-KKK.

ב.

הביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודה MMM.

ג.

נתון כי הנקודות AAA, MMM, FFF נמצאות על ישר אחד. מצאו את ttt.

ד.

עבור ttt שמצאתם, חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK ואת שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ה.

עבור ttt שמצאתם, השוו בין שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM לבין שטח המשולש AFKAFKAFK. נמקו.

שאלה 4 · תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטחשאלה מלאה · קלה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD=2AD=2AD=2, DC=6DC=6DC=6, DD′=4DD'=4DD′=4.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′ ומקיימת CE→=34CC′→\overrightarrow{CE}=\frac34\vec{CC'}CE=43​CC′, הנקודה FFF היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′, והנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C.
xyzABCDA'B'C'D'EFK

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB, CCC, C′C'C′.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות EEE, FFF, KKK.

ג.

נתונה הנקודה M(1,0,1)M(1,0,1)M(1,0,1). הראו כי המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.

ד.

(1)

חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK.

(2)

חשבו את שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ה.

הראו כי MMM היא אמצע הקטע AFAFAF, וחשבו פי כמה שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM גדול משטח המשולש AMKAMKAMK. היעזרו במשולש FMKFMKFMK.

שאלה 5 · וקטורים קולינאריים בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,2,3)A(1,2,3)A(1,2,3) ו-B(3,6,1)B(3,6,1)B(3,6,1). הנקודה PPP נמצאת על ציר ה-zzz, והנקודות AAA, BBB ו-PPP נמצאות על ישר אחד.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

ב.

האם הנקודה PPP נמצאת על הקטע ABABAB? נמקו.

שאלה 6 · קודקוד של טרפז במישור xz לפי תנאי מקבילותשאלה קצרה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז שבו AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC. נתון: A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0), B(3,1,2)B(3,1,2)B(3,1,2), C(5,−4,3)C(5,-4,3)C(5,−4,3), והקודקוד DDD נמצא במישור xzxzxz.
ABCDxyz

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

שאלה 7 · משולש ישר-זווית במרחב ופירמידה מעליושאלה מלאה · קלה

נתונות שלוש נקודות: A(3,1,2)A(3,1,2)A(3,1,2), B(1,2,0)B(1,2,0)B(1,2,0), C(3,4,−1)C(3,4,-1)C(3,4,−1).
ABC

א.

הראו כי שלוש הנקודות לא נמצאות על ישר אחד.

ב.

(1)

הראו כי הזווית ABCABCABC ישרה.

(2)

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

(3)

חשבו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

נתונה נקודה D(−1,6,4)D(-1,6,4)D(−1,6,4).

(1)

הוכיחו כי הווקטור BD→\overrightarrow{BD}BD מאונך למישור ABCABCABC.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה ABCDABCDABCD.

שאלה 8 · תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטחשאלה מלאה · בינונית

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: DC=6DC=6DC=6, AD=4AD=4AD=4, נפח התיבה הוא 144.
xyzABCDA'B'C'D'EFKM

א.

(1)

מצאו את שיעורי הקודקוד D′D'D′.

(2)

חשבו את השיעורים של הקודקודים AAA, BBB, CCC, C′C'C′.

ב.

נתון: הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′ ומקיימת: CE→=23CC′→\overrightarrow{CE}=\frac23\vec{CC'}CE=32​CC′. הנקודה FFF נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ ומקיימת: DF→=13DD′→\overrightarrow{DF}=\frac13\vec{DD'}DF=31​DD′. הנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C, הנקודה MMM נמצאת על הפאה AA′D′DAA'D'DAA′D′D ומקיימת: המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.

מצאו את שיעורי הנקודות EEE, FFF, KKK.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK.

(2)

חשבו את שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ד.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה MMM.

(2)

הסבירו מדוע הנקודות AAA, MMM, FFF נמצאות על אותו ישר.

(3)

חשבו פי כמה שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM גדול משטח המשולש AMKAMKAMK.

שאלה 9 · נקודת מפגש התיכונים על אלכסון התיבה וישר דרכהשאלת ביניים · קשה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים, והקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: DA=6DA=6DA=6, DC=12DC=12DC=12, DD′=9DD'=9DD′=9.
הנקודה NNN היא אמצע האלכסון ACACAC של הבסיס, והנקודה GGG נמצאת על הקטע D′ND'ND′N כך ש-D′G→=23D′N→\vec{D'G}=\frac23\vec{D'N}D′G=32​D′N (זו נקודת מפגש התיכונים במשולש ACD′ACD'ACD′).
DABCD'A'B'C'NGyzx

א.

מצאו את שיעורי הנקודות NNN ו-GGG.

ב.

הראו כי הנקודה GGG נמצאת על האלכסון DB′DB'DB′ של התיבה, ומצאו את היחס DG:GB′DG:GB'DG:GB′.

ג.

הנקודה TTT נמצאת במישור xzxzxz, והנקודות CCC, GGG ו-TTT נמצאות על ישר אחד. מצאו את שיעורי הנקודה TTT, והראו כי TTT היא נקודת מפגש האלכסונים של הפאה AA′D′DAA'D'DAA′D′D.

שאלה 10 · בדיקה ששלוש נקודות אינן על ישר אחדשאלה קצרה · קלה

נתונות שלוש נקודות: A(6,−2,6)A(6,-2,6)A(6,−2,6), B(3,1,3)B(3,1,3)B(3,1,3), C(6,4,−2)C(6,4,-2)C(6,4,−2).
ABC

הראו כי שלוש הנקודות לא נמצאות על ישר אחד.

עוד 4 שאלות על וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ ,…
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שלוש נקודות: $A(6,-2,6)$ , $B(3,1,3)$ , $C(6,4,-2)$ .
ערך פרמטר שעבורו שלוש נקודות נמצאות על ישר אחד (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ , $B(3,1,5)$ , $C(k,3,11)$ , כאשר $k$ פרמטר.
קטע אמצעים ותיכון במשולש שבתוך תיבה (שאלת ביניים · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים, והקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית, שטח ונקודות על ישר · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ , של ציר ה- $y$ ושל…
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות למישור ונפח פירמידה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונות שלוש נקודות: $A(1,0,7)$ , $B(3,2,1)$ , $C(3,-2,-2)$ .