שאלות פתוחות: אורך וקטור בהצגה אלגברית - כיתה י"ב 4 יח"ל

אורך וקטור בהצגה אלגברית לכיתה י"ב (4 יחידות): שאלות פתוחות עם שיעורים, גופים ותנועה בכיוון וקטור. התלמידים מחשבים אורך של וקטור שנתון בשיעורים, מוצאים את מיקומו של חלקיק שנע מספר יחידות בכיוון וקטור נתון, מחשבים אורכי מקצועות בפירמידה שקודקודיה נתונים, ומוצאים פרמטר במקבילית כשאורך צלע ידוע. יש גם קובייה ותיבה שממוקמות במערכת צירים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. בחרו כמה שאלות לשיעורי בית או לבוחן; הפתרון המלא מצורף והדף יוצא לוורד.

46 שאלותקלה: 12בינונית: 27קשה: 7

שאלה 1 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

חלקיק יוצא מראשית הצירים OOO. תחילה הוא נע 666 יחידות בקו ישר בכיוון הווקטור (2,−1,2)(2,-1,2)(2,−1,2), ואחר כך 101010 יחידות בקו ישר בכיוון הווקטור (3,0,−4)(3,0,-4)(3,0,−4). נסמן ב-PPP את הנקודה שבה החלקיק נמצא בסוף התנועה.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

ב.

חשבו את המרחק בין הנקודה OOO לנקודה PPP.

שאלה 2 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה ABCDABCDABCD שבסיסה המשולש ABCABCABC נתונים הקודקודים A(2,0,0)A(2,0,0)A(2,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0)B(0,2,0), C(0,0,2)C(0,0,2)C(0,0,2), D(3,3,3)D(3,3,3)D(3,3,3).

א.

הוכיחו כי הפירמידה ישרה.

ב.

מצאו את גובה הפירמידה.

שאלה 3 · פירמידה ישרה במערכת צירים: מציאת הקודקוד ונקודה על הגובהשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=6AO=6AO=6, BO=8BO=8BO=8. כל המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים ל-13, והקודקוד SSS נמצא מעל מישור xyxyxy.
OABSxyz

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על הקטע DSDSDS.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

ד.

האם יש על הקטע DSDSDS נקודה PPP שעבורה ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ∠OPA=90∘? נמקו.

שאלה 4 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד AAA בראשית הצירים, הקודקוד BBB על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הקודקוד DDD על החלק החיובי של ציר ה-yyy והקודקוד A′A'A′ על החלק החיובי של ציר ה-zzz. אורך מקצוע הקובייה הוא 666.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′ כך ש-CE:EC′=1:2CE:EC'=1:2CE:EC′=1:2, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע A′D′A'D'A′D′.
ABCDA'B'C'D'EFxyz

א.

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-FFF.

ב.

הביעו את הווקטור FE→\overrightarrow{FE}FE באמצעות וקטורי היחידה, ומצאו את אורכו.

שאלה 5 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0), B(3,3,2)B(3,3,2)B(3,3,2) ו-C(t,t,3)C(t,t,3)C(t,t,3), כאשר ttt מספר ממשי. הנקודה DDD נבחרת כך ש-AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC, ולכן ABCDABCDABCD מקבילית.

מצאו את ערכי ttt שעבורם המקבילית ABCDABCDABCD היא מעוין.

שאלה 6 · מנסרה ישרה: מציאת קודקוד מתוך נפחשאלה מלאה · קשה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה: A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,2,3)B(2,2,3)B(2,2,3), C(4,3,5)C(4,3,5)C(4,3,5), D(3,1,3)D(3,1,3)D(3,1,3).
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשבו את זוויות המעוין ואת שטחו.

ג.

נתון כי נפח המנסרה הוא 34, והשיעור zzz של הקודקוד D′D'D′ חיובי. מצאו את שיעורי D′D'D′.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הישר DD′DD'DD′ ומקיימת DE→=k⋅DD′→\overrightarrow{DE}=k\cdot\vec{DD'}DE=k⋅DD′, כאשר k>0k>0k>0. נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE שווה לנפח המנסרה. מצאו את kkk ואת שיעורי EEE. האם EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′?

שאלה 7 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתון הווקטור a→=(2, −6, 3)\vec{a}=(2,\ -6,\ 3)a=(2, −6, 3).

א.

מצאו את וקטור היחידה שכיוונו מנוגד לכיוון a→\vec{a}a.

ב.

מצאו את הווקטור b→\vec{b}b שאורכו 212121 וכיוונו מנוגד לכיוון a→\vec{a}a.

שאלה 8 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

התיבה OABCDEFGOABCDEFGOABCDEFG שבשרטוט ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד OOO בראשית הצירים, והקודקודים AAA, CCC ו-DDD נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, ציר ה-yyy וציר ה-zzz בהתאמה. הפאה DEFGDEFGDEFG נמצאת מעל הפאה OABCOABCOABC (DDD מעל OOO, EEE מעל AAA, FFF מעל BBB, GGG מעל CCC).
נתון: OA=3OA=3OA=3, OC=4OC=4OC=4, ונפח התיבה הוא 363636. KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה ABFEABFEABFE.
OABCDEFGKxyz

א.

מצאו את שיעורי הנקודות DDD, FFF ו-KKK.

ב.

הביעו את הווקטור DK→\overrightarrow{DK}DK באמצעות וקטורי היחידה, ומצאו את אורכו.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה משולשת: יחס לא ידוע על המקצועותשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.
ABCSEF
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC, כך ש-SE→=k⋅SB→\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SB}SE=k⋅SB ו-SF→=k⋅SC→\overrightarrow{SF}=k\cdot\overrightarrow{SC}SF=k⋅SC, כאשר kkk הוא מספר קבוע (0<k<10<k<10<k<1).

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ ו-kkk את הווקטורים SE→\overrightarrow{SE}SE, SF→\overrightarrow{SF}SF ו-EF→\overrightarrow{EF}EF.

ב.

הראו כי EF→=k⋅BC→\overrightarrow{EF}=k\cdot\overrightarrow{BC}EF=k⋅BC, והסבירו מדוע EF מקביל ל-BC.

ג.

נתון: B(−1,2,1)B(-1,2,1)B(−1,2,1), C(7,6,9)C(7,6,9)C(7,6,9). אורך הקטע EF הוא 3.

מצאו את kkk.

ד.

נתון: S(3,6,13)S(3,6,13)S(3,6,13).

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-F.

ה.

נתון: A(3,−1,3)A(3,-1,3)A(3,−1,3).

חשבו את שטח המשולש EAF.

שאלה 10 · אורך וקטור בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתון הווקטור w→=(−2, 1, 2)\vec{w}=(-2,\ 1,\ 2)w=(−2, 1, 2) והנקודה A(1, 2, 3)A(1,\ 2,\ 3)A(1, 2, 3).

א.

מצאו את הווקטור u→\vec{u}u שאורכו 999 וכיוונו מנוגד לכיוון w→\vec{w}w.

ב.

הנקודה BBB מקיימת AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u. מצאו את שיעורי BBB.

עוד 29 שאלות על אורך וקטור בהצגה אלגברית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה $A(3,0,0)$ נמצאת על ציר ה- $x$ . הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה- $y$ , ווקטור היחידה בכיוון $\overrightarrow{AB}$ הוא…
פירמידה במרחב: מציאת הקודקוד מתנאי ניצבות וגובה מקודקוד אחר (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(3,1,5)$ , $B(2,-1,3)$ , $C(5,-1,-1)$ , והנקודה $D(x,y,0)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
נתונים הווקטורים $\vec{u}=(2,\ -1,\ 3)$ ו- $\vec{v}=(1,\ 1,\ -1)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הווקטור $\vec{u}=(4,\ -2,\ 4)$ . לווקטור $\vec{v}$ אותו כיוון כמו ל- $\vec{u}$ , ואורכו גדול מאורך $\vec{u}$ . שני הווקטורים יוצאים מראשית…
פירמידה ישרה: מהנפח לקודקוד, וזווית ראש לפי גובה (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ , $B(3,4,2)$ ו- $D(-3,2,2)$ . הנקודה $C$ נבחרת כך ש- $ABCD$ הוא מקבילית.
פירמידה במערכת צירים: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה, ו- $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $AO=4$ ,…
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הווקטור $\vec{u}=(1,\ -2,\ 2)$ . הווקטור $\vec{v}$ קולינארי ל- $\vec{u}$ וכיוונו מנוגד לכיוון $\vec{u}$ . אורך הווקטור $\vec{u}+\vec{v}$ …
קודקוד פירמידה שמרחקיו משלושה קודקודים שווים (שאלה קצרה · קשה)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה, ו- $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $AO=6$ ,…
מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: זווית ונפחים (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,0,2)$ , $B(3,2,2)$ , $C(3,4,4)$ , $D(1,2,4)$ , $D'(4,-1,7)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המשולש $ABC$ שבשרטוט, שקודקודיו $A(1,0,2)$ , $B(3,2,3)$ ו- $C(5,1,1)$ .
מקבילות בפירמידה: מציאת יחס מתוך אורך ומציאת שיעורים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ . הנקודה E נמצאת על…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
במקבילית $ABCD$ נתונים וקטורי האלכסונים: $\overrightarrow{AC}=(6,\ -1,\ 5)$ ו- $\overrightarrow{BD}=(2,\ 1,\ 1)$ .
משולש ישר-זווית במרחב ופירמידה מעליו (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שלוש נקודות: $A(3,1,2)$ , $B(1,2,0)$ , $C(3,4,-1)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ ו- $C(0,0,1)$ . הנקודה $D(x,y,z)$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ , מ- $B$ ומ- $C$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: קודקוד חסר, תיבה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(2,1,0)$ , $B(5,1,4)$ , $D(2,3,0)$ , $A'(-2,1,3)$ .
פירמידה במערכת צירים: בסיס במישור xz (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $z$ בהתאמה (ראו ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.…
פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי: מהוכחה לנפח ולזווית (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(3,3,6)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,1,0)$ , $B(5,1,0)$ , $C(5,5,0)$ , $D(1,5,0)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SOAB$ הנקודה $O$ היא ראשית הצירים, הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ והקודקוד $B$ על החלק החיובי של ציר ה- $y$ .…
פירמידה ישרה: אורכי המקצועות הצדדיים לפי שיעורים (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(3,3,6)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,1,0)$ , $B(5,1,0)$ , $C(5,5,0)$ , $D(1,5,0)$ . הנקודה $M$ היא נקודת…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac13\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שלוש נקודות: $A(6,-2,6)$ , $B(3,1,3)$ , $C(6,4,-2)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,-2,3)$ , $C(5,-4,8)$ , $D(3,-6,7)$ , $B'(7,-2,0)$ .
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: בסיס ריבועי משופע (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(2,2,5)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,0,1)$ , $B(4,1,1)$ , $C(3,4,1)$ , $D(0,3,1)$ .
אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
$SABCD$ היא פירמידה ישרה שבסיסה המלבן $ABCD$ , כאשר $A(1,0,2)$ , $B(7,0,2)$ , $C(7,4,2)$ , $D(1,4,2)$ . גובה הפירמידה הוא 5, והקודקוד $S$ נמצא…
מתי מקבילית במרחב היא מעוין: שוויון אורכי צלעות סמוכות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,2,0)$ , $B(3,3,2)$ ו- $C(t,t,3)$ , כאשר $t$ מספר ממשי. הנקודה $D$ נבחרת כך ש- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , ולכן $ABCD$ מקבילית.
קודקוד, נפח ואלכסון של תיבה לפי שיעורים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית, ונתון כי המנסרה היא תיבה. נתון: $A(2,1,0)$ , $B(5,1,4)$ , $D(2,3,0)$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה (ראה ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $BO=4$ , $AO=2$ .…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac23\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות למישור ונפח פירמידה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונות שלוש נקודות: $A(1,0,7)$ , $B(3,2,1)$ , $C(3,-2,-2)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(0,1,-1)$ , $C(3,-1,-2)$ , $D(1,1,0)$ , $B'(8,11,-9)$ .
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: ריבוע, גובה, נפח וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(-2,3,3)$ וקודקודי הבסיס הם $A(-3,2,1)$ , $B(-3,4,1)$ , $C(-1,4,1)$ , $D(-1,2,1)$ .