שאלות פתוחות: הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור בהצגה אלגברית, לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מוכיחים בעזרת מכפלה סקלרית שקטע מאונך לשני וקטורים במישור, בתיבה, בקובייה, במנסרה משולשת ישרה ובפירמידה ישרה שקודקודיה נתונים, ומוצאים נקודה על מקצוע כך שיתקיים תנאי ניצבות. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. אפשר לבחור מהן שאלות לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

28 שאלותקלה: 6בינונית: 16קשה: 6

שאלה 1 · הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישורשאלה קצרה · קלה

במנסרה משולשת ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ נתונים הקודקודים A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0)B(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0), A′(0,0,4)A'(0,0,4)A′(0,0,4). הנקודה PPP נמצאת על המקצוע AA′AA'AA′.

מצאו את כל הנקודות PPP על המקצוע AA′AA'AA′ שבעבורן הזווית BPC′BPC'BPC′ ישרה.

שאלה 2 · הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישורשאלה קצרה · בינונית

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(5,0,0)B(5,0,0)B(5,0,0), D(0,2,0)D(0,2,0)D(0,2,0), A′(0,0,3)A'(0,0,3)A′(0,0,3).

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים CCC ו-D′D'D′.

ב.

הנקודה PPP נמצאת על המקצוע ABABAB. מצאו את כל המיקומים של PPP שבעבורם הזווית D′PCD'PCD′PC ישרה.

שאלה 3 · פירמידה ישרה במערכת צירים: מציאת הקודקוד ונקודה על הגובהשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=6AO=6AO=6, BO=8BO=8BO=8. כל המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים ל-13, והקודקוד SSS נמצא מעל מישור xyxyxy.
OABSxyz

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על הקטע DSDSDS.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

ד.

האם יש על הקטע DSDSDS נקודה PPP שעבורה ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ∠OPA=90∘? נמקו.

שאלה 4 · פירמידה במערכת צירים: גובה ונפחשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=4AO=4AO=4, BO=6BO=6BO=6, ושיעורי הנקודה SSS הם (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4). הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB.
OABSDxyz

א.

רשמו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-DDD.

ב.

חשבו את אורכי המקצועות SASASA, SBSBSB ו-SOSOSO. מה אפשר להסיק על הפירמידה?

ג.

הראו כי DS→⊥OA→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OA}DS⊥OA ו-DS→⊥OB→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OB}DS⊥OB, והסבירו מדוע DSDSDS הוא גובה הפירמידה.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה.

ה.

חשבו את גודל הזווית SODSODSOD בעזרת הווקטורים OS→\overrightarrow{OS}OS ו-OD→\overrightarrow{OD}OD.

שאלה 5 · הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישורשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה הישרה SABCDSABCDSABCD נתונים קודקודי הבסיס A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0)B(4,0,0), C(4,4,0)C(4,4,0)C(4,4,0), D(0,4,0)D(0,4,0)D(0,4,0) והקודקוד S(2,2,4)S(2,2,4)S(2,2,4).

א.

הראו כי BD⊥SCBD\perp SCBD⊥SC.

ב.

הנקודה PPP נמצאת על המקצוע SCSCSC, כך שהמישור PBDPBDPBD מאונך לישר SCSCSC. מצאו את שיעורי PPP ואת היחס SP:PCSP:PCSP:PC.

שאלה 6 · מנסרה ישרה: מציאת קודקוד מתוך נפחשאלה מלאה · קשה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה: A(1,0,1)A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,2,3)B(2,2,3)B(2,2,3), C(4,3,5)C(4,3,5)C(4,3,5), D(3,1,3)D(3,1,3)D(3,1,3).
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו כי המרובע ABCDABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשבו את זוויות המעוין ואת שטחו.

ג.

נתון כי נפח המנסרה הוא 34, והשיעור zzz של הקודקוד D′D'D′ חיובי. מצאו את שיעורי D′D'D′.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הישר DD′DD'DD′ ומקיימת DE→=k⋅DD′→\overrightarrow{DE}=k\cdot\vec{DD'}DE=k⋅DD′, כאשר k>0k>0k>0. נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE שווה לנפח המנסרה. מצאו את kkk ואת שיעורי EEE. האם EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′?

שאלה 7 · מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: זווית ונפחיםשאלה מלאה · קלה

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ נתונים הקודקודים: A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,2,2)B(3,2,2)B(3,2,2), C(3,4,4)C(3,4,4)C(3,4,4), D(1,2,4)D(1,2,4)D(1,2,4), D′(4,−1,7)D'(4,-1,7)D′(4,−1,7).
ABCDA'B'C'D'

א.

הראו כי AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC וכי ∣AB→∣=∣AD→∣|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|∣AB∣=∣AD∣. מה ניתן להסיק על המרובע ABCDABCDABCD?

ב.

חשבו את גודל הזווית DABDABDAB.

ג.

הראו כי DD′→\vec{DD'}DD′ מאונך ל-DA→\overrightarrow{DA}DA ול-DC→\overrightarrow{DC}DC. מה ניתן להסיק על המנסרה?

ד.

חשבו את שטח הבסיס ABCDABCDABCD ואת נפח המנסרה.

ה.

הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′. חשבו את נפח הפירמידה ABCDEABCDEABCDE.

שאלה 8 · הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישורשאלה קצרה · בינונית

הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט, שאורך מקצועה 222, ממוקמת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,0,0)B(2,0,0)B(2,0,0), D(0,2,0)D(0,2,0)D(0,2,0), A′(0,0,2)A'(0,0,2)A′(0,0,2).
AA'BB'CC'DD'

א.

הוכיחו כי אלכסון הקובייה AC′AC'AC′ מאונך למישור A′BDA'BDA′BD.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך HHH של האלכסון AC′AC'AC′ עם המישור A′BDA'BDA′BD, ואת היחס AH:HC′AH:HC'AH:HC′.

שאלה 9 · פירמידה במרחב: מציאת הקודקוד מתנאי ניצבות וגובה מקודקוד אחרשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות A(3,1,5)A(3,1,5)A(3,1,5), B(2,−1,3)B(2,-1,3)B(2,−1,3), C(5,−1,−1)C(5,-1,-1)C(5,−1,−1), והנקודה D(x,y,0)D(x,y,0)D(x,y,0).
ABCD

א.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את xxx ואת yyy שעבורם הווקטור BD→\overrightarrow{BD}BD מאונך למישור ABCABCABC.

ג.

חשבו את נפח הפירמידה ABCDABCDABCD.

ד.

חשבו את אורך הגובה של הפירמידה היוצא מהקודקוד AAA אל הפאה BCDBCDBCD.

שאלה 10 · משולש ישר-זווית במרחב ופירמידה מעליושאלה מלאה · קלה

נתונות שלוש נקודות: A(3,1,2)A(3,1,2)A(3,1,2), B(1,2,0)B(1,2,0)B(1,2,0), C(3,4,−1)C(3,4,-1)C(3,4,−1).
ABC

א.

הראו כי שלוש הנקודות לא נמצאות על ישר אחד.

ב.

(1)

הראו כי הזווית ABCABCABC ישרה.

(2)

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

(3)

חשבו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

נתונה נקודה D(−1,6,4)D(-1,6,4)D(−1,6,4).

(1)

הוכיחו כי הווקטור BD→\overrightarrow{BD}BD מאונך למישור ABCABCABC.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה ABCDABCDABCD.

עוד 14 שאלות על הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המשולש $ABC$ שקודקודיו $A(1,0,2)$ , $B(7,3,8)$ ו- $C(4,-1,4)$ . הנקודה $H$ נמצאת על הצלע $AB$ , ו- $CH$ הוא גובה במשולש.
מנסרה בהצגה אלגברית: קודקוד עליון לא ידוע ונקודה נעה על מקצוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,0,2)$ , $B(3,2,1)$ , $D(5,-2,6)$ , $B'(7,p,q)$ , כאשר $p$ ו- $q$ מספרים.
מנסרה בהצגה אלגברית: קודקוד חסר, תיבה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(2,1,0)$ , $B(5,1,4)$ , $D(2,3,0)$ , $A'(-2,1,3)$ .
הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור (שאלה קצרה · בינונית)
קודקודי המרובע $ABCD$ הם $A(1,0,0)$ , $B(3,1,2)$ , $C(2,3,2)$ ו- $D(0,2,0)$ .
מציאת נקודה שהווקטור אליה מאונך למישור (שאלה קצרה · קשה)
נתונות הנקודות $A(3,1,5)$ , $B(2,-1,3)$ , $C(5,-1,-1)$ , והנקודה $D(x,y,0)$ .
הוכחה שזווית במשולש במרחב ישרה (שאלה קצרה · קלה)
נתונות שלוש נקודות: $A(3,1,2)$ , $B(1,2,0)$ , $C(3,4,-1)$ .
פירמידה במערכת צירים: בסיס במישור xz (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $z$ בהתאמה (ראו ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.…
בסיס ריבועי, זווית בפירמידה ישרה וגובה שעבורו זווית ישרה (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ , $B(3,4,2)$ ו- $D(-3,2,2)$ . הנקודה $C$ נבחרת כך ש- $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $S(0,3,8)$ היא קודקוד הראש של פירמידה…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שלוש נקודות: $A(6,-2,6)$ , $B(3,1,3)$ , $C(6,4,-2)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(1,-2,3)$ , $C(5,-4,8)$ , $D(3,-6,7)$ , $B'(7,-2,0)$ .
הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה המקבילית $ABCD$ . נתון: $A(1,0,-1)$ , $B(2,2,1)$ , $D(3,1,-3)$ , $A'(5,-4,1)$ .
הוכחה שמקצוע צדדי מאונך לבסיס ושהמנסרה היא תיבה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מלבן. נתון: $A(2,1,0)$ , $B(5,1,4)$ , $D(2,3,0)$ , $A'(-2,1,3)$ .
פירמידה ישרה: מקצועות צדדיים שווים והוכחה שקטע הוא גובה (שאלת ביניים · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה, ו- $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $AO=4$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה (ראה ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $BO=4$ , $AO=2$ .…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות למישור ונפח פירמידה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונות שלוש נקודות: $A(1,0,7)$ , $B(3,2,1)$ , $C(3,-2,-2)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: הוכחה שהיא תיבה, נפח וזווית בין אלכסונים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
נתונה מנסרה $ABCDA'B'C'D'$ . בסיס המנסרה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $A(0,1,-1)$ , $C(3,-1,-2)$ , $D(1,1,0)$ , $B'(8,11,-9)$ .