שאלות פתוחות: הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על הזזה אנכית של פונקציה מעריכית והאסימפטוטה האופקית, לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מוצאים את ערך ההזזה מנקודת חיתוך עם ציר ה-x או מנקודה שהגרף עובר בה, כותבים את משוואת האסימפטוטה, מחשבים שטח של משולש עם ראשית הצירים, ומוצאים נקודות חיתוך בין שני גרפים מוזזים כמו e בחזקת x ועוד 1 ו-7 פחות פעמיים e בחזקת x. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. כדאי לשלב אותן בבוחן על טרנספורמציות של פונקציה מעריכית; לכל שאלה יש פתרון מלא, והדף יורד לוורד.

12 שאלותקלה: 5בינונית: 4קשה: 3

שאלה 1 · הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+kf(x)=2^x+kf(x)=2x+k, kkk הוא פרמטר.

א.

מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ואת קבוצת הערכים שלה (הביעו באמצעות kkk).

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx, וגם כל הגרף נמצא מעל הישר y=−1y=-1y=−1.

שאלה 2 · הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax+kf(x)=a^x+kf(x)=ax+k, כאשר a>0a>0a>0, a≠1a\ne1a=1, ו-kkk פרמטר.

האם ייתכן שגרף הפונקציה חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,2)(0,2)(0,2), והאסימפטוטה האופקית שלו היא y=2y=2y=2? נמקו.

שאלה 3 · הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקיתשאלה קצרה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=4x−10f(x)=4^x-10f(x)=4x−10 ו-g(x)=2x+2g(x)=2^x+2g(x)=2x+2.

א.

מצאו את נקודת החיתוך של גרפי הפונקציות.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם גרף f(x)f(x)f(x) נמצא מתחת לגרף g(x)g(x)g(x).

שאלה 4 · הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקיתשאלה קצרה · קלה

גרף הפונקציה f(x)=2x+kf(x)=2^x+kf(x)=2x+k חותך את ציר ה-xxx בנקודה A(2,0)A(2,0)A(2,0) ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את שטח המשולש AOBAOBAOB.

שאלה 5 · הפונקציות eˣ+1 ו-7−2eˣ: חקירה, חיתוך ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונות שתי הפונקציות: f(x)=ex+1f(x)=e^x+1f(x)=ex+1, g(x)=7−2exg(x)=7-2e^xg(x)=7−2ex.

א.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם הצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) (אם יש כאלה).

(3)

רשמו את האסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yyy (אם יש כאלה).

(4)

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ב.

חשבו את השיעורים של נקודת החיתוך של שתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

(1)

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצות של הגרפים של שתי הפונקציות.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הצירים והגרפים של שתי הפונקציות.

שאלה 6 · eˣ ו-a−2eˣ: שטח עם פרמטר וחלוקה לשני חלקים שוויםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex ו-g(x)=a−2exg(x)=a-2e^xg(x)=a−2ex, כאשר a>3a>3a>3 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x)g(x) עם הצירים, ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלו.

ב.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע היא נמצאת מימין לציר ה-yyy.

ג.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי שני הצירים והגרפים של שתי הפונקציות.

ד.

הישר האנכי העובר דרך נקודת החיתוך של הגרפים מחלק את התחום מסעיף ג לשני חלקים. מצאו את aaa שעבורו שטחי שני החלקים שווים.

שאלה 7 · הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקיתשאלה קצרה · קלה

גרף הפונקציה g(x)=2x−cg(x)=2^x-cg(x)=2x−c, כאשר c>0c>0c>0, חותך את ציר ה-xxx בנקודה (3,0)(3,0)(3,0).

א.

מצאו את ccc.

ב.

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של גרף g(x)g(x)g(x) ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yyy.

שאלה 8 · הזזה אנכית של 3 בחזקת x: אסימפטוטה, חיתוך עם הצירים וישרים אופקייםשאלת ביניים · בינונית

גרף הפונקציה f(x)=3x+kf(x)=3^x+kf(x)=3x+k, כאשר kkk פרמטר, עובר דרך הנקודה (1,−6)(1,-6)(1,−6).

א.

מצאו את kkk. רשמו את משוואת האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x) ואת קבוצת הערכים שלה.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך AAA של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת נקודת החיתוך BBB שלו עם ציר ה-yyy. האסימפטוטה חותכת את ציר ה-yyy בנקודה CCC. חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ג.

מצאו את ערכי mmm שעבורם הישר y=my=my=m אינו חותך את גרף f(x)f(x)f(x). מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם הישר y=18y=18y=18.

שאלה 9 · גרף מוזז אנכית שנפגש עם גרף אחר בנקודה אחת בלבדשאלת ביניים · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=4x+kf(x)=4^x+kf(x)=4x+k ו-g(x)=2x+3g(x)=2^{x+3}g(x)=2x+3, כאשר kkk פרמטר. הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) נחתכים בנקודה ששיעור ה-xxx שלה הוא 222.

א.

מצאו את kkk. רשמו את משוואת האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x) ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy.

ב.

הראו כי f(x)−g(x)=(2x−4)2f(x)-g(x)=\left(2^x-4\right)^2f(x)−g(x)=(2x−4)2 לכל xxx, והסיקו שהנקודה שבה x=2x=2x=2 היא נקודת החיתוך היחידה של שני הגרפים.

ג.

הסבירו מדוע גרף f(x)f(x)f(x) אינו נמצא אף פעם מתחת לגרף g(x)g(x)g(x). מצאו את ערך xxx שעבורו המרחק האנכי בין שני הגרפים הוא 161616.

שאלה 10 · הפונקציות eˣ ו-9−2eˣ: חקירה ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונות שתי הפונקציות: f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex, g(x)=9−2exg(x)=9-2e^xg(x)=9−2ex.

א.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם הצירים.

(2)

הראו כי g′(x)=−2exg'(x)=-2e^xg′(x)=−2ex, והסיקו שהפונקציה g(x)g(x)g(x) יורדת לכל xxx.

(3)

רשמו את האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

(1)

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצות של הגרפים של שתי הפונקציות.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי ציר ה-yyy.

עוד 1 שאלות על הזזה אנכית והאסימפטוטה האופקית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

האסימפטוטה האופקית וקבוצת הערכים של 2 בחזקת x ועוד k (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2^x+k$ , $k$ הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציות eˣ ו-4−eˣ: חקירה, חיתוך ושטח עם הצירים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=e^x$ , $g(x)=-e^x+4$ .